1、圓錐曲線的解題技巧三、常規(guī)七大題型：（1）中點(diǎn)弦問題 具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論），消去四個(gè)參數(shù)。如：（1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p. 典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) 及，求線段的中點(diǎn)P的軌跡方程。（2）焦點(diǎn)三角形問題 橢圓或雙

2、曲線上一點(diǎn)P，與兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，。（1）求證離心率； （2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn) （2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OAOB，求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。（4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值

3、（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 <1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對(duì)于（2）首先要把NAB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。最值問題的處理思路： 1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方

4、程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2曲線的形

5、狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（>0）,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6） 存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題 在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。（當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（7）兩線段垂直問題 圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來處理。典型例題 已知直線的斜率為，且過點(diǎn)

6、，拋物線，直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖）。 （1）求的取值范圍；（2）直線的傾斜角為何值時(shí)，A、B與拋物線C的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面： 在教學(xué)中，學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計(jì)算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形 解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時(shí)，除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算量。 典型例題 設(shè)直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值。（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”

7、的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題 已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于P、Q兩點(diǎn)，且，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題 求經(jīng)過兩已知圓和0的交點(diǎn)，且圓心在直線：上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題 P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，A為長軸的右端點(diǎn)，B為短軸的上端點(diǎn)，求四邊形OAPB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。（5）線段長的幾種簡便計(jì)算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程 一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設(shè)為，判別式為，則，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過程。例 求直線被橢圓所截得的線段AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合