1、21.2.3因式分解法【目標導航】1、會用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）法解某些簡單的數字系數的一元二次方程。2、能根據具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性。3、進一步讓學生體會以“降次”為目的的“轉化與化歸”的數學思想。【知識鏈接】約瑟夫問題與因式分解有一個古老的傳說，在古代的一場戰爭中有64名戰士被敵人俘虜了，敵人命令它們排成一個圈，編上號碼1，2，3，64。敵人把1號殺了，又把3號殺了，他們是隔一個殺一個這樣轉著圈殺。最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫，請問約瑟夫是多少號？在此給大家一個提示，敵人從l號開始，隔一個殺一個，第一圈把奇數號碼的戰

2、士全殺死了。剩下的32名戰士需要重新編號，而敵人在第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼。按照這個思路，看看你能不能解決這個問題？這就是數學上有名的“約瑟夫問題”。這個問題是用因式分解的方法解決的，因式分解不僅能解決這樣的問題而且還能幫助我們解一元二次方程。下面我們就開始學習用因式分解法解一元二次方程。【珍寶探尋】珍寶 一解一元二次方程的因式分解法1.對于一元二次方程，一邊是0，另一邊化為兩個一次因式的積，再使這兩個一次因式分別等于0，從而實現降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的根據是：如果a·b=0,那么a=0或b=0.據此把一元二次方程化為

3、兩個一元一次方程來解，達到降次的目的.3.只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式的乘積，而另一邊是0的時候，才能應用因式分解法解一元二次方程分解因式時，要根據情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法4.因式分解的方法：用因式分解法解一元二次方程的四種類型（1）平方差公式因式分解；（2）提取公因式因式分解；（3）完全平方公式因式分解；（4）十字相乘法因式分解珍寶 二 一元二次方程解法的選擇1.解一元二次方程解法基本思路，一般先考慮直接開平方法，再考慮分解因式法，最后考慮配方法與公式法.2.在解方程時，千萬注意兩邊不能同時除以一個含有未知數的代數式，否則可能丟失方程的一個根。珍寶三 各種方法之間區別與

4、聯系（1）三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的區別：配方法要先配方，再開方、解兩個一元一次方程求根注意：直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=±轉化為應用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達到降次轉化之目的。公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0（2）三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的聯系： 降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次 公式法是由配方法推導而得到 配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程【營養快餐】快餐

5、一 經典基礎題例1用因式分解法解下列方程： （1） （2）解：（1） 移項，得把方程左邊因式分解得x(4x11)=0得x=0或4x11=0所以=0，=. （2）移項，得=0=0把方程左邊因式分解得=0得x2=0或x4=0所以=2，=4點撥：本題用因式分解法解一元二次方程的實質是應用“a·b=0,則a=0或b=0”在進行因式分解時有提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）。例2用因式分解法解方程：解：用十字相乘法先分解：因為-5+1=-4，所以可分解成（x-5）（x+1）=0所以x-5=0，x+1=0。所以x1=5 x2=-1點撥：用十字相乘法解一元二次方程時，要先將方程化成一般

6、式后，找出方程的二次項系數和常數項，然后將它們進行分解，看交叉相乘的乘積是否等于一次項系數，相等則分解成立，反之，可繼續分解.例3用恰當的因式分解方法解下列方程：（1） （2）解：（1） 或（2）或點撥：用因式分解法解一元二次方程的一般步驟： （1）將方程右邊化為0； （2）將方程左邊分解為兩個一次因式乘積； （3）令每個因式分別為0；得到兩個一元一次方程； （4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.例4.方程(x+2)2=3(2+x)最適合的解法是( )(A)直接開平方法 (B)因式分解法 (C)公式法 (D)配方法【解析】(x+2)2=3(2+x)，(x+2)2-3(x+2)=0

7、,(x+2)(x+2-3)=0.即用提公因式法因式分解.【答案】B.例5.用兩種方法解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.【解析】方法一：(x-3)2+4x(x-3)=0，因式分解，得(x-3)(x-3+4x)=0，即(x-3)(5x-3)=0.于是得x-3=0或5x-3=0，x1=3,x2=3/5 .方法二：原方程可變形為x2-6x+9+4x2-12x=0，即5x2-18x+9=0.b2-4ac=(-18)2-4×5×9=144,點撥：對于含括號的一元二次方程，若能把括號看成一個整體來變形，把方程化成一邊為0，另一邊為兩個一次式的積，就不用去括號，否則先去括號，把方程

8、整理成一般形式，再看是否能將左邊分解成兩個一次式的積。例6. 已知9a24b2=0，求代數式的值 分析：要求的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的關系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發生錯誤 解：原式= 因為9a24b2=0 所以（3a+2b）（3a2b）=0 3a+2b=0或3a2b=0，a=b或a=b 當a=b時，原式=3 當a=b時，原式=3快餐 二 中考能力題例7. （云南中考）一元二次方程x2x2=0的解是（）Ax1=1，x2=2Bx1=1，x2=2Cx1=1，x2=2Dx1=1，x2=2解析：直接利用十字相乘法分解因式，進而得出方程的根. x2

9、x2=0（x2）（x+1）=0，解得：x1=1，x2=2答案：D點評：此題主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正確分解因式是解題關鍵例8. （舟山中考）方程x23x=0的根為 解析：因式分解得，x（x3）=0，解得，x1=0，x2=3.答案：D點撥：本題考查了解一元二次方程的方法，當方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用。例9.解方程：（x+1）(x-1)+2(x+3)=8【解析】利用整式的乘法及加減把一元二次方程化成一般形式，然后利用因式分解法.【答案】原方程可化為 解得【點評】在解一元二

10、次方程時一定要把方程變為一般形式后，然后根據直接開方法、配方法、因式分解法及求根公式法求解.快餐 三 易錯易混題例10.解方程：x(x-2)=x-2,錯解：對于x(x-2)=x-2,兩邊同除以x-2得：x=1;錯因分析：在方程兩邊都除以x-2，x-2可能為0，所以可能丟掉了x-2=0這一個解.解此類方程應移項后用因式分解法來解。正解：由x(x-2)=x-2，得(x-1)(x-2)=0,得x1=1,x2=2例12.解方程： （x-1）(x-2)=2錯解：由（x-1）(x-2)=2，得x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-

11、2= -1=2，=4，=3，=0錯因分析：由（x-1）(x-2)=2不能得出：x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-2= -1，因為x還可能為其它的數，例如分數、無理數等。還有 和都是矛盾的式子。正解：由（x-1）(x-2)=2，得x2-3x=0,因式分解得x(x-3)=0,所以原方程的解為x1=0,x2=3快餐 四 課堂練習題一、選擇題1. 下面一元二次方程的解法中，正確的是（ ）A（x-3）（x-5）=10×2，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）

12、（5x-3）=0，x1=，x2=C（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2 Dx2=x 兩邊同除以x，得x=12.(德州模擬)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )(A)2 (B)3 (C)-1,2 (D)-1,33.(臨沂模擬)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( )(A)-1 (B)2 (C)1和2 (D)-1和24. 方程的解是（ ）A B C， D，5.已知方程x2+bx+a=0有一個根是-a(a0)，則下列代數式的值恒為常數的是 ( )(A)ab (B) (C)a+b (D)a-b二、填空題6. x2-5x因式分解結果為_；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結果是_

13、.7.已知代數式3-x與-x2+3x的值互為相反數，則x的值是_.8. 小剛在解一元二次方程時，只得出一個根是，則被他漏掉的一個根是_.9.已知三角形的每條邊的長都是方程x2-6x+8=0的根，則這個三角形的周長是_.三、解答題10.用因式分解法解下列方程：（1）； （2）11方程較大根為，方程較小根為，求的值.12. 已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程的解，求這個三角形的周長課堂練習參考答案1【解析】B 用因式分解法解方程的關鍵是要將方程化為一邊為兩個一次式的乘積等于0的形式只有B是正確的.【答案】B.2.【解析】 (x+1)(x-2)=x+1變形為(x+1)(x-3)=0，于是得x

14、+1=0或x-3=0，解得x1=-1，x2=3.【答案】D.3.【解析】移項，得x(x-2)+(x-2)=0，即(x-2)(x+1)=0，解得x1=2，x2=-1.【答案】D.4.【解析】， x（x-1）=0 ，x1=0，x2=1.【答案】C.5.【解析】把x=-a代入方程x2+bx+a=0得，a2-ab+a=0，即a(a-b+1)=0，又因為a0，所以a-b+1=0，即a-b=-1.【答案】D.6.【解析】x2-5x=x（x-5）；2x（x-3）-5（x-3）=（x-3）（2x-5）【答案】：x（x-5）；（x-3）（2x-5）7.【解析】代數式3-x與-x2+3x的值互為相反數，(3-x)+(-x2+3x)=0，即(3-x)-x(x-3)=0，即(x-3)(x+1)=0，解得x1=3，x2=-1.【答案】：3或-18.【解析】，想（x-4）x=0，x1=0，x2=4【答案】：09.【解析】解方程x2-6x+8=0得：x1=2,x2