1、考點19 等比數列的運算和性質【考點分類】熱點一 等比數列的基本計算1.設首項為，公比為的等比數列的前項和為，則（ ）（A） （B） （C） （D）2.等比數列x，3x+3，6x+6，的的第四項等于（ ）A.-24B.0C.12D.243.等比數列an的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（ ）（A） （B）- （C） （D）- 4.設數列是首項為，公比為的等比數列，則 .5. .6若等比數列滿足，則公比_;前項_.7.設公比為q(q0)的等比數列a n的前n項和為S n.若,則q =_.【答案】 8已知等比數列為遞增數列,且,則數列的通項公式_.9已知為等

2、比數列.下面結論中正確的是（）AB C若,則D若,則10（已知等比數列an為遞增數列.若a10,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,則數列an的公比q = _.11等比數列的前n項和為Sn,若S3+3S2=0,則公比=_.12等比數列的前項和為,公比不為1.若,且對任意的都有,則_.13.在等比數列中，且為和的等差中項，求數列的首項、公比及前項和. 14. 已知等比數列滿足：，.（）求數列的通項公式；（）是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由. 【方法總結】1.對于等比數列的有關計算問題，可類比等差數列問題進行，在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法，同時要注

3、意整體代入(換元)思想方法的應用2在涉及等比數列前n項和公式時要注意對公式q是否等于1的判斷和討論3.關于等比數列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，容易出現的問題主要有兩個方面：一是計算出現失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，忽略根的符號的判斷，導致出錯；二是不能靈活利用等比數列的基本性質轉化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大了運算量熱點二 等比數列性質的應用15.若等比數列an滿足a2a4=20，a3a5=40，則公比q= ；前n項和Sn= .16.在正項等比數列中，. 則滿足的最大正整數的值為 .17（2012年高考（新課標理）已知為等比數列,則（）ABCD18（201

4、2年高考（安徽理）公比為等比數列的各項都是正數,且,則（）ABCD19（2012年高考（廣東文）(數列)若等比數列滿足,則_.20.已知首項為的等比數列不是遞減數列, 其前n項和為, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數列. () 求數列的通項公式; () 設, 求數列的最大項的值與最小項的值. 【方法總結】1.等比數列的單調性(1)或an為遞增數列；(2)或an為遞減數列；(3)q1an為非零常數列；(4)q0an為擺動數列2等比數列其他性質(1)若數列an是等比數列，則can(c0)，|an|，a，也是等比數列，若bn是等比數列，則anbn也是等比數列(2)數列am

5、，amk，am2k，am3k，仍成等比數列(3)若等比數列an的項數為2n，則q，其中S偶，S奇分別是數列的偶數項的和與奇數項的和(4)qnm(m，nN*)熱點三 等比數列定義以其應用21.已知數列滿足，則的前10項和等于（ ）A B C D22.已知等比數列的公比為，記，則以下結論一定正確的是（）A. 數列為等差數列，公差為 B. 數列為等比數列，公比為 C. 數列為等比數列，公比為 D. 數列為等比數列，公比為 ，所以等比，且以為公比.23（2012年高考（湖北理）定義在上的函數,如果對于任意給定的等比數列, 仍是等比數列,則稱為“保等比數列函數”. 現有定義在上的如下函數:; ; ; .

6、則其中是“保等比數列函數”的的序號為（）A B C D 24.某住宅小區計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數等于 .25.設是公比為q的等比數列. () 推導的前n項和公式; () 設q1, 證明數列不是等比數列. 26.設Sn表示數列的前n項和. () 若為等差數列, 推導Sn的計算公式; () 若, 且對所有正整數n, 有. 判斷是否為等比數列. 并證明你的結論.解：()解法一：設公差為d,，則又 【方法總結】1.等比數列的判定方法：(1)定義法：若q(q為非零常數)或q(q為非零常數且n2)，則an是等比數列(2)中項公式法：若數列a

7、n中an0且aanan2(nN*)，則數列an是等比數列(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成ancqn1(c，q均為不為0的常數，nN*)，則an是等比數列(4)前n項和公式法：若數列an的前n項和Snkqnk(k為常數且k0，q0,1)，則an是等比數列需要說明的是：對于第一、二種方法適用于任何題型，強調推理過程，而第三、四種方法適合于選擇、填空題，強調結論的應用，若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比即可2解決與等比數列有關問題的常見思想方法：(1)函數思想：在等比數列an中，anqn，它的各項是函數yqx圖象上的一系列孤立的點(2)方程思想：準確分析a1，q，an

8、，Sn，n之間的關系，通過列方程 (組)可做到“知三求二”(3)分類討論思想：無論是等比數列的前n項和公式的給出，還是等比數列單調性的劃分都體現了分類討論思想的具體運用 (4)類比思想：等差數列中的“和”“倍數”可以與等比數列中的“積”“冪”相類比關注它們之間的異同有助于我們從整體上把握，同時也有利于類比思想的推廣(5)整體思想：等比數列an的前n項和公式Snqn(q1)，常把視為一個整體，其前n項和公式可寫成Snkkqn，k(q1)的形式，這對于解答選擇題、填空題是很有幫助的【考點模擬】一扎實基礎1.已知正數數列是等比數列，若，則公比q=（ ）A2 B C D【答案】A【解析】.2.設數列a

9、n是以2為首項，1為公差的等差數列，bn是以1為首項，2為公比的等比數列，則 等于（ ）A. 78B. 84C. 124D. 1263.各項均為正數的等比數列的前n項和為，若2，14，則等于（ ）A80 B30 C26 D164.已知在等比數列中， ，則該等比數列的公比為（ ）A.B.C.2D.85.在正項等比數列中，和為方程的兩根，則( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)256.選C.6.在正項等比數列中，已知，則（ ）A. 11B. 12C. 14D. 167. 在等比數列中，若a3=9，a7=1，則a5的值等于（ ）A3或3 B3 C3 D不存在8.設數列（ ）A若，則為等比數

10、列B若，則為等比數列C若，則為等比數列D若，則為等比數列D若9.在等比數列中，則公比 ， .10. 等比數列中，則等于 .二能力拔高11.在等比數列中,若,則 （ ）A B C D 【答案】D【解析】由，所以，故選D12.在正項等比數列中， ,則的值是 ( )A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 1013.已知為等比數列的前n項和，為數列的前n項和，若，則等于（ ）A B C D14.已知數列為等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則等于( )A B C D15.等比數列中，公比，記（即表示數列的前項之積）， ，中值為正數的個數是（ ）A B C D 16.已知數列為

11、等比數列，則的值為（ ）A B C D 17. 已知是等比數列, ，則的取值范圍是（ ）A. 12,16)B.8,16)C. D. 【答案】C【解析】依題意知，.18.設等比數列的前n項積為，（），已知，且，則m= .19.已知在公比不等于1的等比數列中，成等差數列.（1） 求證：成等差數列；（2） 若，數列的前項和為，求證：解得(舍去)，=-. (10分)= =2 . (12分)20.各項均為正數的數列前項和為,且. (1)求數列的通項公式;(2)已知公比為的等比數列滿足，且存在滿足,求數列的通項公式.三提升自我21. 已知等差數列首項為，公差為，等比數列首項為，公比為，其中 都是大于1的正整數，且，對于任意的，總存在，使得成立，則 【答案】5n-3【解析】以及，則，是大于1的正整數得a=222. 已知，把數列的各項排列成如下的三角形狀， 記表示第行的第個數，則=（ ） A. B. C. D.23. 已知等比數列滿足，且是，的等差中項.（）求數列的通項公式；（）若，求使 成立的正整數的最小值.24.（本小題滿分12分）已知數列的前n項和Sn滿足（1）求數列的前三項a1，a2，a3；（2）求證：數列為等比數列，并求出的通項公式.25.設數列滿足：點均在直線上.（I）證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式;（I