1、第6章 幾種特殊濾波器及簡單一、二階數字濾波器設計主要內容n理解數字濾波器的基本概念n了解最小相位延時系統n理解全通系統的特點及應用n掌握沖激響應不變法n掌握雙線性變換法n掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點n了解利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器的設計過程n了解利用頻帶變換法設計各種類型數字濾波器的方法6.1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念1.1.數字濾波器的基本功能數字濾波器的基本功能是指輸入輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。 與模擬濾波器一樣，都是用來濾波的，將某些頻段的信號加以放大，另外一

2、些頻段的信號加以抑制。可以通過模數轉換對模擬信號進行處理。1. 1. 數字濾波器的基本功能數字濾波器的基本功能 濾波器的功能是對輸入信號進行濾波濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a a） 時域說明時域說明b b） 頻域說明頻域說明01( )( )( )( )( )1MiiiNiiib zY zB zH zX zA za z10( )()()NMiiiiy na y nib x ni(2) 系統函數系統函數（1）線性差分方程表示）線性差分方程表示2.2.數字濾波器的表示方法數字濾波器的表示方法(3) 單位抽樣響應單位抽樣響應h

3、(n)(4) 線性信號流圖（第線性信號流圖（第5章）章）(1) 按單位沖激響應分：按單位沖激響應分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n z有限長沖激響應有限長沖激響應(FIR)數字濾波器數字濾波器無限長沖激響應無限長沖激響應(IIR)數字濾波器數字濾波器3.3.數字濾波器的類型數字濾波器的類型 是是z-1的有理分式，有輸的有理分式，有輸出到輸入的反饋結構出到輸入的反饋結構 是是z-1的多項式，無輸出的多項式，無輸出到輸入的反饋結構到輸入的反饋結構(2)按幅度響應分：低通、高通、帶通、帶阻、全通按幅度響應分：低通、高通、帶通、帶阻、全通(3)按相位響

4、應分：線性相位、非線性相位按相位響應分：線性相位、非線性相位(4)按特殊要求分：按特殊要求分： 最小相位滯后、梳狀、陷波、全通最小相位滯后、梳狀、陷波、全通4、數字濾波器的實現步驟、數字濾波器的實現步驟q 數字濾波器設計的4個步驟: (1) 按任務的需要，確定濾波器性能指標； (2) 用一個因果穩定的LSI系統函數去逼近這一性能要求，有IIR和FIR兩種； (3) 用有限精度算法實現這個系統函數（包括選擇運算結構（第5章）、選擇合適的字長等）； （4）實際的技術實現；可以采用通用計算機，也可以采用DSP。5. IIR數字濾波器的設計方法分類數字濾波器的設計方法分類n間接法：先設計模擬濾波器，再

5、轉換為數字濾波器間接法：先設計模擬濾波器，再轉換為數字濾波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果穩定的離散LSI系統逼近給定的性能要求：, kkab即為求濾波器的各系數：n直接法：計算機輔助設計法直接法：計算機輔助設計法 s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數字濾波器6.2 全通濾波器全通濾波器對所有對所有w w，滿足：，滿足：()1()japHew或常數稱該系統為稱該系統為全通系統全通系統n一階全通系統：一階全通系統：11( )1apzaHzaaz為實數01aza極點：極點：1/za零點：零點：零極點以單位圓為鏡像對稱零極點以單位圓為鏡像對稱za極點：極點：1*1( )1ap

6、zaHzaaz為復數01a*1/za零點：零點：n實系數二階全通系統實系數二階全通系統1*111( )11*apzazaHzazaz1a 兩個零點（極點）共軛對稱兩個零點（極點）共軛對稱*zaa ，極點：極點：*1/zaa，1/零點：零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱零點與極點以單位圓為鏡像對稱1*()1()11111cos()sin()11cos()sin()jjjjjjjjz ezaerereeazreererjrrjrwww www wwww可以證明可以證明，一階全通節在任何頻率上，其頻率響應的模，一階全通節在任何頻率上，其頻率響應的模都為都為1：n N 階數字全通濾波器階數字全通濾波器

7、1*11( )1NkkkzaH za z 1(1)111(1)11.1.NNNNNNNNddzd zzd zdzd z 1()( )NzD zD z 極點：極點： 的根的根( )D z 1jpzrerw零點：零點： 的根的根1()D z1 1jozerrw*()()jjD eD eww因為所以()1jH ewn全通系統的應用全通系統的應用min( )( )( )apH zHzHz7 7. .任一因果穩定（非最小相位延時）系統任一因果穩定（非最小相位延時）系統H(z)H(z)都可都可以表示成全通系統以表示成全通系統H Hapap(z)(z)和和最小相位系統最小相位系統H Hminmin(z)(z

8、) ( (見見P321P321定義定義) )的級聯的級聯11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：其中：H H1 1(z)(z)為最小相位延時系統，為最小相位延時系統， 為單位圓外的一對共軛零點為單位圓外的一對共軛零點*0001/ 1zzz ，1/ ，*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把把H(z)H(z)單位圓外的零點：單位圓外的零點： 映射到單位圓內的鏡像位置：映射到單位圓內的鏡像位置：構成構成H

9、 Hminmin(z)(z)的零點。的零點。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度響應不變：而幅度響應不變：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHewwwwP319 圖圖6-28. 8. 級聯一個全通系統可以級聯一個全通系統可以使非穩定濾波器變成使非穩定濾波器變成一個穩定濾波器一個穩定濾波器把非穩定系統的單位圓外的極點映射到單位圓內把非穩定系統的單位圓外的極點映射到單位圓內單位圓外極點：單位圓外極點：1 1jzerr，1111( )11jjapjjzrezreHzrezre z( )( )( )dapH zHzHz0( )( )( )( )dapdd w

10、wwww 9.9.作為相位均衡器作為相位均衡器，校正系統的非線性相位，校正系統的非線性相位，而不改變系統的幅度特性而不改變系統的幅度特性()()()jjjdapH eHeHewww()()()()dapjjjdapHeHeewwww22200( )( )( )apde www利用均方誤差最小準則求均衡器利用均方誤差最小準則求均衡器H Hapap(z)(z)的有關參數的有關參數min( )( )( )apH zHzHz1.1.任意非最小相位延時系統任意非最小相位延時系統H(z)H(z)都可以表示成全都可以表示成全通系統通系統H Hapap(z)(z)和最小相位系統和最小相位系統H Hminmin

11、(z)(z)的級聯的級聯11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：其中：H H1 1(z)(z)為最小相位延時系統，為最小相位延時系統， 為單位圓外的一對共軛零點為單位圓外的一對共軛零點*0001/ 1zzz ，1/ ，6.3 最小相位滯后濾波器最小相位滯后濾波器6.3.1 6.3.1 最小最小( (最大最大) )相位系統與全通系統的關系相位系統與全通系統的關系*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把把

12、H(z)H(z)單位圓外的零點：單位圓外的零點： 映射到單位圓內的鏡像位置：映射到單位圓內的鏡像位置：構成構成H Hminmin(z)(z)的零點。的零點。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度響應不變：而幅度響應不變：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHewwwwP254 圖圖662.2. 最大相位系統：最大相位系統： 若全部極點在單位圓內，全部零點在單位圓外若全部極點在單位圓內，全部零點在單位圓外的因果穩定系統稱為最大相位延時系統。的因果穩定系統稱為最大相位延時系統。同樣：用級聯全通系統函數的辦法，可將最小同樣：用級聯全通系統函數的辦法，可將最小相位

13、系統的全部零點反射到單位圓外，得到最相位系統的全部零點反射到單位圓外，得到最大相位系統。大相位系統。6.3 最小相位滯后濾波器最小相位滯后濾波器3. 3. 混合系統混合系統。 P322, P322,例例6.16.1解解：此系統有一對復零點在單位圓外，利用式（此系統有一對復零點在單位圓外，利用式（.1）將將H H(z)(z)寫成寫成：例例6.1: 6.1: 試將以下因果穩定的混合相位系統分解為一試將以下因果穩定的混合相位系統分解為一個最小相位系統與一個全通系統的級聯。個最小相位系統與一個全通系統的級聯。/31/311/41/41(1 1.25e)(1 1.25e)(1 0.7)(

14、 )(1 0.6e)(1 0.6e)jjjjzzzH zzz1/31/312/41/41(0.8e)(0.8e)(1 0.7)( )(1.25)(1 0.6e)(1 0.6e)jjjjzzzH zzzmin/31/311/41/411/31/3/31/31( )( )( )(1 0.8e)(1 0.8e)(1 0.7)1.5625(1 0.6e)(1 0.6e)(0.8e)(0.8e)(1 0.8e)(1 0.8e)apjjjjjjjjH zHz Hzzzzzzzzzz再利用式（再利用式（.2），可得），可得：LSI系統的系統函數：1()11111(1)()( )(1)()MM

15、mmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeedwwwwww頻率響應：補充：補充：最小（最大）相位延時、超前系統：最小（最大）相位延時、超前系統：n模：模：11()MjjmmNjkkecH eKedwww各零矢量模的連乘積各極矢量模的連乘積11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKwwwwn相角：02 ,w2w當當位于單位圓內的零位于單位圓內的零/ /極矢量角度變化為極矢量角度變化為2 2 位于單位圓外的零位于單位圓外的零/ /極矢量角度變化為極矢量角度變化

16、為 0 0Re zIm jz011()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKwwwwiommMioppN令：令：單位圓內零點數為單位圓內零點數為m mi i單位圓外的零點數為單位圓外的零點數為m mo o單位圓內的極點數為單位圓內的極點數為p pi i單位圓外的極點數為單位圓外的極點數為p po o2()arg2 ()22jiiH eNMmpKww則：則：11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKwwww全部極點在單位圓內：全部極點在單位圓內：po = 0，pi = Nn因果穩定系統因果穩定系統2()arg222 ()jiiH empNMKw

17、w22imM1 1）全部零點在單位圓內：）全部零點在單位圓內：,0iomM marg02 2）全部零點在單位圓外：）全部零點在單位圓外：0,iommMarg2 M 20om 為為最小相位延時系統最小相位延時系統為為最大相位延時系統最大相位延時系統, 1 zr rn 0時，時，h(n) = 06.3.2 6.3.2 最小相位延時系統的性質最小相位延時系統的性質1.1.在在 相同的系統中，具有最小的相位滯后相同的系統中，具有最小的相位滯后()jH ew 2.2.最小相位延時系統的能量集中在最小相位延時系統的能量集中在n=0n=0附近，而總能附近，而總能 量相同量相同 故：最小相位延時系統故：最小相

18、位延時系統又稱為最小能量延時系統又稱為最小能量延時系統。22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn6.3.2 6.3.2 最小相位延時系統的性質最小相位延時系統的性質 6. 6.級聯一個全通系統，可以將一最小相位系統轉變成級聯一個全通系統，可以將一最小相位系統轉變成 一相同幅度響應的非最小相位延時系統一相同幅度響應的非最小相位延時系統 例例6.26.2，P257P2575.5.在在 相同的系統中，相同的系統中， 唯一唯一; ;()jH ewmin( )hn3.3.最小相位序列的最小相位序列的 最大：最大：min(0)hmin(0)(0)h

19、h例例6.2: 6.2: 設最小相位系統為設最小相位系統為Hmin(z)，混合系統為，混合系統為H(z)，最大相，最大相位系統為位系統為Hmax(z)，三個系統具有相同的幅度相應，試比較三者，三個系統具有相同的幅度相應，試比較三者的能量延遲特性。的能量延遲特性。解解：以以FIRFIR系統為例加以討論。系統為例加以討論。0.310.311min121123( )(1 0.8e)(1 0.8e)(1 0.9)1 1.6cos(0.3)0.64(1 0.9)1 1.84045641.48641080.576jjHzzzzzzzzzz （1 1）設最小相位設最小相位FIRFIR系統：系統：（2 2）如將一對共軛零點用全通函數反射到單位圓外，則可得混如將一對共軛零點用全通函數反射