1、第8節函數與方程【選題明細表】知識點、方法題號函數零點(個數)及所在區間1,2,4,8,9,10利用函數零點個數確定參數的取值(范圍)3,5,6,7,11,14函數零點的綜合問題12,13基礎鞏固(時間:30分鐘)1.已知函數f(x)=則函數f(x)的零點為(D)(A),0 (B)-2,0 (C) (D)0解析:當x1時,則f(x)=2x-1=0,解得x=0.當x>1時,由f(x)=1+log2 x=0,解得x=,又因為x>1,所以此時方程無解.綜上函數f(x)的零點只有0.2.函數f(x)=ln x-的零點所在的區間為(B)(A)(0,1)(B)(1,2) (C)(2,3)(D)

2、(3,4)解析:易知f(x)=ln x-在定義域(0,+)上是增函數,又f(1)=-2<0,f(2)=ln 2->0,則f(1)·f(2)<0,故f(x)的零點在區間(1,2)內.3.函數f(x)=2x-a的一個零點在區間(1,2)內,則實數a的取值范圍是(C)(A)(1,3)(B)(1,2)(C)(0,3)(D)(0,2)解析:因為函數f(x)=2x-a在區間(1,2)上單調遞增,又函數f(x)=2x-a的一個零點在區間(1,2)內,則有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<

3、3.4.已知函數f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零點依次為a,b,c,則(A)(A)a<b<c(B)a<c<b (C)b<c<a(D)b<a<c解析:令函數f(x)=2x+x+1=0,可知x<0,即a<0;令g(x)=log2x+x+1=0,則0<x<1,即0<b<1;令h(x)=log2x-1=0,可知x=2,即c=2.顯然a<b<c.5.已知f(x)是奇函數且是R上的單調函數,若函數y=f(2x2+1)+f(-x)只有一個零點,則實數的值是(C)(

4、A)(B)(C)-(D)-解析:令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,則f(2x2+1)=f(x-),因為f(x)是R上的單調函數,所以2x2+1=x-,只有一個實根,即2x2-x+1+=0只有一個實根,則=1-8(1+)=0,解得=-.6.已知函數f(x)=若函數y=f(x)-k有三個不同的零點,則實數k的取值范圍是(C)(A)(-2,2)(B)(-2,1) (C)(0,2) (D)(1,3)解析:當x<0時,f(x)=x3-3x,則f(x)=3x2-3,令f(x)=0,所以x=±1(舍去正根),故f(x)在(-,-1)上單調遞增,在(-1,0)上單調遞減,又f(x)=ln

5、(x+1)在x0上單調遞增,則函數f(x)的圖象如圖所示.f(x)極大值=f(-1)=2,且f(0)=0,故當k(0,2)時,y=f(x)-k有三個不同零點.7.已知函數f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函數F(x)有2個零點,則實數a的取值范圍為(C)(A)(-,0(B)1,+) (C)(-,1)(D)(0,+)解析:由題意,x0,F(x)=ex-x-1,有一個零點0;x>0,F(x)=xx+(a-1),因為函數F(x)有2個零點,所以1-a>0,所以a<1.故選C.8.函數f(x)=-()x的零點個數為. 解析:令f(x)=0,得=()x.在平面直角坐標系

6、中分別畫出函數y=與y=()x的圖象.如圖所示.由圖可知兩函數圖象有1個交點,故f(x)的零點只有一個.答案:19.已知函數f(x)=則函數y=2f2(x)-3f(x)的零點個數是. 解析:由y=2f2(x)-3f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=.作出y=f(x)的圖象(如圖).由圖象知,f(x)=0時,方程有2個實根,f(x)=時,方程有3個實根.故y=2f2(x)-3f(x)共有5個零點.答案:5能力提升(時間:15分鐘)10.函數f(x)=ln x+ex(e為自然對數的底數)的零點所在的區間是(A)(A)(0,)(B)(,1) (C)(1,e)(D)(e,+)解析:函數f

7、(x)=ln x+ex在(0,+)上單調遞增,因此函數f(x)最多只有一個零點.f(e-3)=-3+<-3+e<0,又f()=ln +=-1>0,所以函數f(x)=ln x+ex(e為自然對數的底數)的零點所在的區間是(0,).11.已知函數f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a等于(C)(A)- (B) (C) (D)1解析:因為y=x2-2x在x=1處有最小值-1,y=ex-1+e-x+1在x=1處有最小值2.又因為f(x)有唯一的零點,所以當x=1時,f(x)有最小值f(1)=-1+2a=0,所以a=.故選C.12.定義在R上的偶函數f(x)滿

8、足f(x+1)=-f(x),當x0,1時,f(x)=-2x+1,設函數g(x)=()|x-1|(-1<x<3),則函數f(x)與g(x)的圖象所有交點的橫坐標之和為(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:因為f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期為2.由于f(x)為偶函數,所以f(1-x)=f(x-1)=f(x+1),故f(x)的圖象關于直線x=1對稱.又函數g(x)=()|x-1|的圖象關于直線x=1對稱,在同一坐標系內作出f(x)與g(x)在(-1,3)上的圖象,如圖,由圖可知四個交點的橫坐標關于x=1對稱,其和為2×2=4.13.若曲線y=log2(2x-m)(x>2)上至少存在一點與直線y=x+1上的一點關于原點對稱,則m的取值范圍為. 解析:因為直線y=x+1關于原點對稱的直線為y=x-1.依題意,方程log2(2x-m)=x-1在x(2,+)上有解,則m=2x-1在x(2,+)上有解,所以m>2.又2x-m>0在x(2,+)上恒成立,則m<(2x)min,所以m4.所以實數m的取值范圍為(2,4.答案:(2,414.已知函數f(x)=若方程f(x)=ax有三個不同的實數根,則實數a的取值范圍是. 解析:在同