1、0 xdtxd222復復 習習簡諧運動的簡諧運動的速速 度度A簡諧運動的簡諧運動的加加 速速 度度A運動學方程運動學方程A0 xdtxd222動力學方程動力學方程AA最大最大最大彈簧振子彈簧振子A A振幅振幅 ： 的最大絕對值的最大絕對值周期周期：完成一次振動所需時間完成一次振動所需時間頻率頻率：角頻率角頻率：A AA A相位相位 ：運動狀態要由位置運動狀態要由位置 和速度和速度 同時描述，而同時描述，而 和和 取決于相位取決于相位 ，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。所謂所謂時質點的時質點的運動狀態運動狀態A AA A位置位置速度速度初始條件即為初

2、始條件即為初相初相 ：是是時，振子的相位。時，振子的相位。AAXXOj jM ( 0 )Aj j初相初相M ( t )t t M ( t )t M ( t )t M ( t )M ( t )t M ( t )t M (T )T 周期周期 TM ( t )t M ( t )t XOj jM ( 0 )j j初相初相M ( t )t A矢量端點矢量端點在在X X 軸上軸上的投影對的投影對應振子的應振子的位置坐標位置坐標t 時刻的時刻的振動相位振動相位( tj j ) )旋轉矢量旋轉矢量A以勻角速以勻角速逆時針逆時針轉動轉動循環往復循環往復x = = A cos ( tj j ) )簡諧振動方程簡諧

3、振動方程應用應用0jxto同相同相應用應用: :對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，的簡諧運動，相位差相位差表示它們間表示它們間步調步調上的上的差異差異. .（解決振動合成問題解決振動合成問題）)cos(111jtAx)cos(222jtAx)()(12jjjtt12jjjxtoj為其它為其它超前超前落后落后txoj反相反相例例10.040.0412簡諧振動的簡諧振動的曲線曲線完成下述簡諧振動方程完成下述簡諧振動方程A = 0.04 (m)T = 2 (s) = 2 p / p / T T = p ( p (rad /s )0.04p pp p2A = p p / 2 t = 0v0 從從

4、 t = 0 作反時針旋轉時，作反時針旋轉時，A矢端的投影從矢端的投影從x=0向向X軸的負方運動，軸的負方運動，即即 ，與，與 已知已知 X t 曲線一致。曲線一致。v0SI例例2彈簧振子彈簧振子x0 = 0t = 0 時時v0 = 0.4 ms - -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm - -1 完成下述簡諧振動方程完成下述簡諧振動方程v0 km0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知已知 相應的旋轉矢量圖為相應的旋轉矢量圖為20.2(SI)v0例例3 例例3 3 一質量為一質量為 的物體作簡諧運動，其振的物體作簡諧運動，其振幅為幅為 ，周期為

5、，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0處，向處，向 軸負方向運動（如圖）軸負方向運動（如圖）. .試求試求Ox （1 1） 時，物體所處的位置和所受的力；時，物體所處的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解m08. 0A1s22To08. 004. 004. 008. 0m/x0 0vm04. 0, 0 xt代入代入)cos(jtAx)m(cos08. 0m04. 0j3jA3)m)(32cos(08.0txm08. 0A1s22To08. 004. 004. 008. 0m/xvs0 . 1t代入

6、上式得代入上式得m069. 0 xxmkxF2)069. 0()2(01. 02N1070. 13kg01. 0m)m)(32cos(08.0txo08. 004. 004. 008. 0m/xv （2 2）由起始位置運動到由起始位置運動到 處所需要處所需要的最短時間的最短時間. .m04. 0 x 解法一解法一：設由起始位置運動到設由起始位置運動到 處所處所需要的最短時間為需要的最短時間為m04. 0 xt3)2cos()m08. 0(m04. 0ts23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二：解法二：33起始時刻起始時刻 時刻時刻t

7、t3ts667. 0s32t1s2例例4周期均為 T = 8.5s 用旋轉矢量法兩質點振動相位差兩質點第一次通過平衡點的時刻兩質點 1、2同在 X 軸上作簡諧振動t = 0 時 在 處 質點2 AA向平衡點運動質點1在 處向平衡點運動振幅 A 相同從旋轉矢量圖可以看出：時，質點1第一次通過平衡點A轉過1.06 (s)A轉過時，質點2第一次通過平衡點2.13(s)單擺單擺Acos Acos 或因且在第一象限應取Acos Acos 兩質點振動相位差AAlTFP轉轉動動正正向向mglmglMsinsin5，時時動力學分析：動力學分析：lgt22ddOAm22ddtJJmgl2mlJ 9-3 9-3

8、單擺和復擺單擺和復擺)cos(mjtlg2令令glT2222ddtlgt22ddlTFP轉轉動動正正向向OAm2mlJ 復擺復擺22ddtJmglJmgl2令令)5(*lP（C點為質心）點為質心）轉動正向轉動正向COFlM22ddsintJJmglMJmglt22dd222ddt)cos(mjtmglJT2角諧振動角諧振動mglJTJmgl22*lP（C點為質心）點為質心）轉動正向轉動正向CO描述和特征描述和特征kxF （1 1）物體受線性回復力作用物體受線性回復力作用能量能量xtx222dd （2 2）簡諧運動的動力學描述簡諧運動的動力學描述)sin(jtAv)cos(jtAx （3 3）簡

9、諧運動的運動學描述簡諧運動的運動學描述xa2 （4 4）加速度與位移成正比而方向相反加速度與位移成正比而方向相反( (以彈簧振子為例以彈簧振子為例) ) O x Xmk2m)(sin21)sin(212122222kjjtAmtAmmEv9-4 9-4 簡諧運動的能量簡諧運動的能量勢能勢能線性回復力線性回復力是是保守力保守力，作作簡諧簡諧運動運動的系統的系統機械機械能守恒能守恒。O x Xm)(cos2121222pjtkAkxE222pk2121kAAmEEE能量圖能量圖簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖tkAE22pcos21tAmE222ksin214T2T43T能量能量otTtx tvv, xtoTtAxcostAsinv221kAE 0j簡諧運動能量守恒，振幅不變簡諧運動能量守恒，振幅不變推導推導能量守恒能量守恒簡諧運動方程簡諧運動方程推導推導常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例例5 5動能動能A 勢能勢能A當當時時則則其中其中得得振動相位振動相位或或一一水平彈簧振子水平彈簧振子彈簧勁度彈簧勁度振子質量振子質量振幅振幅 A沿沿 X 軸振動軸振動 當振動系統的當振動系統的以平