1、第二課時導數與函數的極值、最值【選題明細表】知識點、方法題號利用導數研究函數的極值2,3,5,6,9,11利用導數研究函數的最值1,4,7,8利用導數研究函數的極值與最值綜合問題13,14利用導數研究優化問題10,12基礎鞏固(時間:30分鐘)1.函數f(x)=ln x-x在區間(0,e上的最大值為(B)(A)1-e(B)-1 (C)-e (D)0解析:因為f(x)=-1=,當x(0,1)時,f(x)>0;當x(1,e時,f(x)<0,所以f(x)的單調遞增區間是(0,1),單調遞減區間是(1,e,所以當x=1時,f(x)取得最大值ln 1-1=-1.2.若函數f(x)=x(x-c

2、)2在x=2處有極小值,則常數c的值為(C)(A)4(B)2或6(C)2(D)6解析:因為f(x)=x(x-c)2,所以f(x)=3x2-4cx+c2,又f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值,所以f(2)=12-8c+c2=0,解得c=2或6,c=2時,f(x)=x(x-c)2在x=2處有極小值;c=6時,f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值;所以c=2.3.函數f(x)=3x2+ln x-2x的極值點的個數是(A)(A)0(B)1(C)2(D)無數解析:函數定義域為(0,+),且f(x)=6x+-2=,不妨設g(x)=6x2-2x+1.由于x>0,令g(x)=6x2-2x+

3、1=0,則=-20<0,所以g(x)>0恒成立,故f(x)>0恒成立,即f(x)在定義域上單調遞增,無極值點.4.已知y=f(x)是奇函數,當x(0,2)時,f(x)=ln x-ax(a>),當x(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于(D)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由題意知,當x(0,2)時,f(x)的最大值為-1.令f(x)=-a=0,得x=,當0<x<時,f(x)>0;當x>時,f(x)<0.所以f(x)max=f()=-ln a-1=-1,解得a=1.5.設函數f(x)在R上可導,其導函數為f(x),且函數y=

4、(1-x)f(x)的圖象如圖所示,則下列結論中一定成立的是(D)(A)函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)(B)函數f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)(C)函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)(D)函數f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)解析:由題圖可知,當x<-2時,f(x)>0;當-2<x<1時,f(x)<0;當1<x<2時,f(x)<0;當x>2時,f(x)>0.由此可以得到函數f(x)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得極小值.故選D.6.設x1,x2是函數f(x)=x3-2ax2+a2x的兩

5、個極值點,若x1<2<x2,則實數a的取值范圍是. 解析:由題意得f(x)=3x2-4ax+a2的兩個零點x1,x2滿足x1<2<x2.所以f(2)=12-8a+a2<0,解得2<a<6.答案:(2,6)7.已知奇函數f(x)=則函數h(x)的最大值為. 解析:當x>0時,f(x)=-1,f(x)=,所以當x(0,1)時,f(x)<0,函數f(x)單調遞減;當x>1時,f(x)>0,函數f(x)單調遞增.所以x=1時,f(x)取到極小值e-1,即f(x)的最小值為e-1.又f(x)為奇函數,且x<0時,

6、f(x)=h(x),所以h(x)的最大值為-(e-1)=1-e.答案:1-e8.若函數f(x)=2x2-ln x在其定義域的一個子區間(k-1,k+1)內存在最小值,則實數k的取值范圍是. 解析:因為f(x)的定義域為(0,+),f(x)=4x-,所以由f(x)=0解得x=,由題意得解得1k<.答案:1,)能力提升(時間:15分鐘)9.若函數y=f(x)存在(n-1)(nN*)個極值點,則稱y=f(x)為n折函數,例如f(x)=x2為2折函數.已知函數f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,則f(x)為(C)(A)2折函數(B)3折函數(C)4折函數(D)5折函數解析:f(x

7、)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)(ex-3x-2),令f(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.易知x=-2是f(x)的一個極值點,又ex=3x+2,結合函數圖象,y=ex與y=3x+2有兩個交點.又e-23×(-2)+2=-4.所以函數y=f(x)有3個極值點,則f(x)為4折函數.10.傳說中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來的.這定海神針在變形時永遠保持為圓柱體,其底面半徑原為12 cm且以每秒1 cm等速率縮短,而長度以每秒20 cm等速率增長.已知神針的底面半徑只能從12 cm縮到4 cm,且知在這段變形過程中,當底面半徑為10 cm時其體

8、積最大.假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒,則此時金箍棒的底面半徑為 cm. 解析:設神針原來的長度為a cm,t秒時神針的體積為V(t) cm3,則V(t)=(12-t)2·(a+20t),其中0t8,所以V(t)=-2(12-t)(a+20t)+(12-t)2·20.因為當底面半徑為10 cm時其體積最大.所以10=12-t,解得t=2,此時V(2)=0,解得a=60,所以V(t)=(12-t)2·(60+20t),其中0t8.V(t)=60(12-t)(2-t),當t(0,2)時,V(t)>0,當t(2,8)時,V(t)<0,從而V

9、(t)在(0,2)上單調遞增,在(2,8)上單調遞減,V(0)=8 640,V(8)=3 520,所以當t=8時,V(t)有最小值3 520,此時金箍棒的底面半徑為4 cm.答案:411.設函數f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差為d的等差數列.(1)若t2=0,d=1,求曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程;(2)若d=3,求f(x)的極值.解:(1)由已知,得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f(0)=-1.又因為曲線y=f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y-f

10、(0)= f(0)(x-0),故所求切線方程為x+y=0.(2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f(x)= 3x2-6t2x+3-9.令f(x)=0,解得x= t2-或x= t2+.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如表:x(-,t2-)t2-(t2-,t2+)t2+(t2+,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值所以函數f(x)的極大值為f(t2-)=(-)3-9×(-)=6,函數f(x)的極小值為f(t2+)=()3-9×=-6.12.某商場銷售某種商

11、品的經驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數.已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解:(1)因為x=5時,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,該商品每日的銷售量為y=+10(x-6)2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.從而,f(x)=10(x-6)

12、2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)·(x-6),于是,當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)+0-f(x)單調遞增極大值42單調遞減由上表可得,x=4時,函數f(x)取得極大值,也是最大值,所以,當x=4時,函數f(x)取得最大值,且最大值等于42.故當銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.13.已知函數f(x)=ax-1-ln x(aR).(1)討論函數f(x)在定義域內的極值點的個數;(2)若函數f(x)在x=1處取得極值,x(0,+),f(x)bx-2恒成立,求實數b的最大值.解:(1)f(x)的定義域為(

13、0,+),f(x)=a-=.當a0時,f(x)<0在(0,+)上恒成立,函數f(x)在(0,+)上單調遞減.所以f(x)在(0,+)上沒有極值點.當a>0時,由f(x)<0,得0<x<由f(x)>0,得x>,所以f(x)在(0,)上單調遞減,在(,+)上單調遞增,故f(x)在x=處有極小值.綜上,當a0時,f(x)在(0,+)上沒有極值點;當a>0時,f(x)在(0,+)上有一個極值點.(2)因為函數f(x)在x=1處取得極值,所以f(1)=a-1=0,則a=1,從而f(x)=x-1-ln x.因此f(x)bx-21+-b,令g(x)=1+-,則

14、g(x)=,令g(x)=0,得x=e2,則g(x)在(0,e2)上單調遞減,在(e2,+)上單調遞增,所以g(x)min=g(e2)=1-,即b1-.故實數b的最大值是1-.14.已知函數f(x)=(a>0)的導函數y=f(x)的兩個零點為-3和0.(1)求f(x)的單調區間;(2)若f(x)的極小值為-e3,求f(x)在區間-5,+)上的最大值.解:(1)f(x)=.令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,由于ex>0.令f(x)=0,則g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c=0,所以-3和0是y=g(x)的零點,且f(x)與g(x)的符號相同.又因為a>0,所以-3<x<0時,g(x)>0,即f(x)>0,當x<-3或x>0時,g(x)<0,即f(x)<0,所以f(x)的單