1、任課教師：王旭東任課教師：王旭東電話電話12510（辦）（辦）Email: 上講回顧上講回顧一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)j te()j tH je1()2j tE jd e1()()2j tE jH jd e1()2j tE jed1() ()2j tH jE jed( )e t1( )() ()r tH jE j F()() ()R jH jE j齊次性疊加性則依卷積定理有則依卷積定理有()()()R jE jH j() (j)()R jHE j所所以以頻域分析法步驟頻域分析法步驟設(shè)設(shè)( )(),e tE j ( )(),r tR j ( )(),h t

2、H j 1( )()r tR j F零狀態(tài)響應(yīng)為：零狀態(tài)響應(yīng)為：()0( )cos,: ()()()( )je ttH jH jeR jr t 設(shè)若，求0000000012()()( )()() cos()jtjjtjr tH jeeeeH jt ( )cos01 2TnnnaftAnt 若若 0102( )( )()cos() nnnar tHA H jnn tn 則則對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)分析法對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)分析法頻率響應(yīng)H(j)的求法1. H(j) = -1h(t)2. H(j) = R(j)/E(j)(1)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對(duì)微分方

3、程兩邊取傅里葉變換。 )(1tv)(2tvRC)()(d)(d122tvtvttvRC 221RCjVjVjVj(2)由電路直接求出。由電路直接求出。NoImageNoImageNoImageNoImage主要內(nèi)容主要內(nèi)容理想低通的頻率特性理想低通的頻率特性 理想低通的沖激響應(yīng)理想低通的沖激響應(yīng) 理想低通的階躍響應(yīng)理想低通的階躍響應(yīng) 重點(diǎn)重點(diǎn) 理想低通的頻率特性理想低通的頻率特性 難點(diǎn)難點(diǎn) 理想低通的階躍響應(yīng)理想低通的階躍響應(yīng) 理想頻率選擇性濾波器理想頻率選擇性濾波器1.1.頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）2.2.頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分

4、量）頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分量）The Ideal Frequency-Selective Filters一一. . 濾波濾波 通過(guò)系統(tǒng)改變信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小和相通過(guò)系統(tǒng)改變信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過(guò)程稱為位，甚至完全去除某些頻率分量的過(guò)程稱為濾波濾波。濾波器可分為兩大類：濾波器可分為兩大類：理想頻率選擇性濾波器的頻率特性理想頻率選擇性濾波器的頻率特性 理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個(gè)（或理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個(gè)（或幾個(gè)）頻段內(nèi)，頻率響應(yīng)為常數(shù)，而在其它頻段內(nèi)幾個(gè)）頻段內(nèi)，頻率響應(yīng)為常數(shù)，而在其它頻段內(nèi)頻率響應(yīng)等于零。頻率

5、響應(yīng)等于零。理想濾波器可分為理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。低通、高通、帶通、帶阻。 濾波器允許信號(hào)完全通過(guò)的頻段稱為濾波器的濾波器允許信號(hào)完全通過(guò)的頻段稱為濾波器的通帶（通帶（pass band ），完全不允許信號(hào)通過(guò)的頻，完全不允許信號(hào)通過(guò)的頻段稱為段稱為阻帶（阻帶（stop band）。連續(xù)時(shí)間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性連續(xù)時(shí)間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通低通cc01高通高通cc01帶阻帶阻011122帶通帶通011122 010j tcceHj 一理想低通的頻率特性一理想低通的頻率特性 0t 即：即：C C O )( HC C O )( 的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真的低

6、頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真(只有時(shí)移只有時(shí)移t0 )0 在在CC 為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡(jiǎn)為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡(jiǎn)稱頻帶。稱頻帶。 C 10ccHj dejHthtj)(21)(012CCjtjteed 0()CCSatt 二、理想低通的單位沖激響應(yīng)二、理想低通的單位沖激響應(yīng)方法方法1：利用傅氏變換定義來(lái)做：利用傅氏變換定義來(lái)做：由對(duì)稱性：由對(duì)稱性： 2()()CCCCttSa 方法方法2：利用傅氏變換性質(zhì)來(lái)做：利用傅氏變換性質(zhì)來(lái)做由變換對(duì)：由變換對(duì)： ()()CCCCSat 最后考慮時(shí)移因子，得最后考慮時(shí)移因子，得0( )()CCh tSatt )(tht0t

7、c C 0Sattthcc 波形波形t 1 t FF1 1比較輸入輸出，可見(jiàn)嚴(yán)重失真；比較輸入輸出，可見(jiàn)嚴(yán)重失真；2 2理想低通濾波器是個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)理想低通濾波器是個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾點(diǎn)認(rèn)識(shí) 當(dāng)當(dāng) 經(jīng)過(guò)理想低通時(shí)，經(jīng)過(guò)理想低通時(shí)， 以上的頻率成分都衰以上的頻率成分都衰 減為減為0,0,所以失真。所以失真。 t c 信號(hào)頻帶無(wú)限寬信號(hào)頻帶無(wú)限寬， 1t 而理想低通的通頻帶而理想低通的通頻帶( (系統(tǒng)頻帶系統(tǒng)頻帶) )有限的有限的 c 0 當(dāng)當(dāng) ， ，系統(tǒng)為全通網(wǎng)絡(luò)，可以，系統(tǒng)為全通網(wǎng)絡(luò)，可以 無(wú)失真?zhèn)鬏敓o(wú)失真?zhèn)鬏敗?c )()(tth 原因：從原因：從h(t)看，看

8、，t0時(shí)已有值。時(shí)已有值。續(xù)續(xù)3. 3. 信號(hào)邊沿變緩信號(hào)邊沿變緩高頻分量有損失。高頻分量有損失。 系統(tǒng)截止頻率越高，邊沿變化越陡峭。系統(tǒng)截止頻率越高，邊沿變化越陡峭。4. 4. 信號(hào)有延時(shí)信號(hào)有延時(shí)系統(tǒng)相頻特性的影響。系統(tǒng)相頻特性的影響。理想低通濾波器的沖激響應(yīng)與帶寬的關(guān)系理想低通濾波器的沖激響應(yīng)與帶寬的關(guān)系cccc10t)(0tt 010( ) jtcceh tH 01jtR jej )(cc 01112( )()( )dCCjtjtu tFR jeej 三理想低通的階躍響應(yīng)三理想低通的階躍響應(yīng) 001122ddccccjt tjt teej dsin222100 ctt 0ttx 令令

9、xxxttcdsin12100 激勵(lì)激勵(lì) 1( )( ) e t =tj 系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)響應(yīng) ( )( )( )u tth t 3. .最大值出現(xiàn)在最大值出現(xiàn)在 ， 最小值出現(xiàn)在最小值出現(xiàn)在 。 y y xxsinx1O 2 3 4 ySiyO2 2 1. 下限為下限為0 0； 2. 奇偶性：奇函數(shù)。奇偶性：奇函數(shù)。 正弦積分正弦積分 ydx0 xsinx=Si(y)tOSi011( )()2cu ttt )(t階躍響應(yīng)波形階躍響應(yīng)波形t( )u t0t0t 1 1 最最最最最最大大大大大大值值值值值值位位位位位位置置置置置置：ct 0，最小值位置：，最小值位置：ct 0 12rCtB 2CCB

10、f B是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。是將角頻率折合為頻率的濾波器帶寬（截止頻率）。幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)1 trtO210trtC C 2 2上升時(shí)間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時(shí)間，上升時(shí)間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時(shí)間， ： rt 記記作作3 3階躍響應(yīng)的上升時(shí)間階躍響應(yīng)的上升時(shí)間tr與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率B（帶寬）（帶寬） 成反比。成反比。 rt1 rtB例：已知系統(tǒng)圖，試畫(huà)出例：已知系統(tǒng)圖，試畫(huà)出A,B,C和和D點(diǎn)的頻譜。點(diǎn)的頻譜。H1( )H2( )HKCC10()x t ( )y t ( )tCcostC)cos(1ABCDHKCC20()X ()11A解

11、：解：FA()CC12AFB()CC12AKFC()C1()C114AK由卷積定理由卷積定理FD()142AK3.在工程應(yīng)用中，當(dāng)要設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器時(shí)，必須在工程應(yīng)用中，當(dāng)要設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器時(shí)，必須對(duì)對(duì)時(shí)域特性和頻域特性作出恰當(dāng)?shù)恼壑袝r(shí)域特性和頻域特性作出恰當(dāng)?shù)恼壑小?.理想濾波器理想濾波器是非因果系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。因而是。因而是物理不可實(shí)物理不可實(shí)現(xiàn)現(xiàn)的；的；( )h t( )h n2.盡管從頻域?yàn)V波的角度看，理想濾波器的頻率盡管從頻域?yàn)V波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最佳的。但它們的時(shí)域特性并不是最佳的。特性是最佳的。但它們的時(shí)域特性并不是最佳的。 或或 都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波

12、都有起伏、旁瓣、主瓣，這表明理想濾波器的器的時(shí)域特性與頻域特性并不兼容時(shí)域特性與頻域特性并不兼容。小結(jié)小結(jié)NoImage一一.佩利維納準(zhǔn)則佩利維納準(zhǔn)則 就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)就時(shí)域特性而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)在在 t 0時(shí)，時(shí)，必須為零必須為零。 或者說(shuō)或者說(shuō)h(t)波形的出現(xiàn)，必須是有起因的，不能在沖激作波形的出現(xiàn)，必須是有起因的，不能在沖激作 用于系統(tǒng)之前就產(chǎn)生響應(yīng)。這就是所謂的用于系統(tǒng)之前就產(chǎn)生響應(yīng)。這就是所謂的“因果條件因果條件”。 上述為線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的一個(gè)時(shí)域判據(jù)，即上述為線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的一個(gè)時(shí)域判據(jù)，即 h(t)在在t

13、0時(shí)，時(shí)，必須為零必須為零。 從頻域上來(lái)講，從頻域上來(lái)講，Paley 和和 Winner 證明了對(duì)于幅頻特性證明了對(duì)于幅頻特性|H(j)| 物理可實(shí)現(xiàn)的物理可實(shí)現(xiàn)的必要必要條件是條件是 2 2Ln H jLn H jd d1+1+而且而且|H(j)|必須平方可積，即必須平方可積，即 2H jdjd這就是佩利這就是佩利 維納準(zhǔn)則維納準(zhǔn)則續(xù)續(xù) 若系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性在某一頻段為零，即若系統(tǒng)函數(shù)幅頻特性在某一頻段為零，即|H(j)|0， 則有則有|Ln |H(j)|。則不滿足佩利維納準(zhǔn)則，是物理。則不滿足佩利維納準(zhǔn)則，是物理 不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。顯然，理想低通，高通，不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。顯然，理想低通，高通，

14、帶通和帶阻都帶通和帶阻都是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。例如：理想低通濾波器例如：理想低通濾波器 0|,cHj時(shí)時(shí)，違反了佩利維納準(zhǔn)則違反了佩利維納準(zhǔn)則 ，則系統(tǒng)不可實(shí)現(xiàn)。，則系統(tǒng)不可實(shí)現(xiàn)。 21ln Hjd 于于是是不收斂不收斂 ln,Hj 因?yàn)橐驗(yàn)槔m(xù)續(xù)討論一高斯函數(shù)討論一高斯函數(shù)(鐘形鐘形)幅頻特性的物理可實(shí)現(xiàn)性，即幅頻特性的物理可實(shí)現(xiàn)性，即 2He j j解：解： 鐘形頻譜對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)也是鐘形信號(hào)，即系統(tǒng)的沖激鐘形頻譜對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)也是鐘形信號(hào)，即系統(tǒng)的沖激 響應(yīng)為高斯函數(shù)。則在響應(yīng)為高斯函數(shù)。則在t = 時(shí)信號(hào)就不為零，是非因果時(shí)信號(hào)就不為零，是非因果系統(tǒng)。系統(tǒng)。下面討論

15、利用佩利維納準(zhǔn)則來(lái)判斷系統(tǒng)的因果性。下面討論利用佩利維納準(zhǔn)則來(lái)判斷系統(tǒng)的因果性。241( )2tf te 續(xù)續(xù) LnLnjddddtgtg2-2222211111111lim2limBBBBeHBB 所以系統(tǒng)非因果。所以系統(tǒng)非因果。說(shuō)明：說(shuō)明：若系統(tǒng)的幅頻特性滿足佩利維納準(zhǔn)則，但相頻特性是一若系統(tǒng)的幅頻特性滿足佩利維納準(zhǔn)則，但相頻特性是一 斜率為正的直線，則也是非因果系統(tǒng)，因?yàn)轫憫?yīng)提前。斜率為正的直線，則也是非因果系統(tǒng)，因?yàn)轫憫?yīng)提前。所以，佩利維納準(zhǔn)則只是因果系統(tǒng)的必要條件。而希爾伯特所以，佩利維納準(zhǔn)則只是因果系統(tǒng)的必要條件。而希爾伯特變換是因果系統(tǒng)的充分且必要條件。變換是因果系統(tǒng)的充分且必要

16、條件。二、非理想濾波器二、非理想濾波器 對(duì)理想特性逼近得越精確，實(shí)現(xiàn)時(shí)付出的代價(jià)對(duì)理想特性逼近得越精確，實(shí)現(xiàn)時(shí)付出的代價(jià)越大，系統(tǒng)的復(fù)雜程度也越高。越大，系統(tǒng)的復(fù)雜程度也越高。 由于由于理想濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的理想濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的，工程應(yīng)用，工程應(yīng)用中就必須尋找中就必須尋找一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的頻率特性去逼近一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的頻率特性去逼近理想特性，這種物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)就稱為理想特性，這種物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)就稱為非理想非理想濾波器。濾波器。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。非理想濾波器的頻率特性以容限方式給出。 通常將偏離單位增益的通常將偏離單位增益的 稱為稱為通帶起伏通帶起伏（或（或波紋），波紋）， 稱為稱為阻帶起伏阻帶起伏（或波紋），（或波紋）， 稱為稱為通通帶邊緣帶邊緣， 為為阻帶邊緣阻帶邊緣， 為為過(guò)渡帶過(guò)渡帶。12spsp非理想低通濾波器的容限非理想低通濾波器的容限12非理想濾波器特性非理想濾波器特性1.1.通帶絕對(duì)平坦，通帶通帶絕對(duì)平坦，通帶內(nèi)衰減為零。內(nèi)衰減為零。理想濾波器特性理想濾波器特性2.2.阻帶絕對(duì)平坦，阻帶阻帶絕對(duì)平坦，阻帶內(nèi)衰減為內(nèi)衰減為 。通帶內(nèi)允許有起伏，通帶內(nèi)允許有起伏，有一定衰減范圍有一定衰減范圍3.3.無(wú)過(guò)渡帶。無(wú)過(guò)渡帶。阻帶內(nèi)允許有起伏，阻帶內(nèi)允許有起伏，有一定衰減范圍有一定衰減范圍有一定的過(guò)渡帶寬度有一定的過(guò)渡帶