1、20XX級本科工程數(shù)學(xué)（二）期末試題一、 填空（10分，每題2分）將平面上直線映射成平面上的_曲線。如果在區(qū)域內(nèi)處處為零，則在內(nèi)為_。4. 沿的積分。二、1.設(shè)，是討論其可導(dǎo)性與解析性。（8分）2.證明：為調(diào)和函數(shù)，并求其共軛調(diào)和函數(shù)，和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)。（10分）三、計(jì)算下列積分1. 計(jì)算積分，其中為正向圓周：。（5分）2. 計(jì)算積分，其中為正向圓周：；為負(fù)向圓周：。（5分）3. 設(shè)為不經(jīng)過與的正向簡單閉曲線，為不等于零的任何復(fù)數(shù)，試就與跟的各種不同位置，計(jì)算積分的值。（10分）4. 。（8分）四、1.設(shè)函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)（8分）2.函數(shù)在有限復(fù)平面內(nèi)有些什么奇點(diǎn)？，

2、如果是極點(diǎn)，指出它的級。（8分）五、設(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1。（8分）六、設(shè)，求的傅氏變換，并求積分的值（12分）七、求微分方程的解（用拉氏變換法）（10分）20XX級本科工程數(shù)學(xué)（二）補(bǔ)考試題二、 填空（15分，每題3分）。如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于，為內(nèi)的任一點(diǎn)，則。三、 計(jì)算題（20分，每小題5分）2. 計(jì)算積分，其中為正向圓周：。2. 計(jì)算積分，其中為正向圓周：。3. 求冪級數(shù)的收斂半徑。4. 求方程的全部解。三、設(shè)函數(shù)，問取何值時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)處處解析？（10分）四、將函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。（10分）五、函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？，如

3、果是極點(diǎn)，指出它的級。（10分）六、計(jì)算積分（10分）七、求下列積分變換（15分）（1）求函數(shù)的傅氏變換。（2）求函數(shù)的拉氏變換。八、求微分方程的解（10分）20XX學(xué)年第2學(xué)期工程數(shù)學(xué)二期終試卷參考答案一、選擇題（每題3分，共15分）1、 C 2、 C 3、 B 4、 D 5、 B 二、填空題（每空3分，共15分）1、 18或6 2、 不存在 3、4、_1_， 可去奇點(diǎn) 5、三（每題5分，共20分）計(jì)算積分1、2、設(shè)，求和，并當(dāng)時(shí)，求的值。解：當(dāng)時(shí)，故， 3分當(dāng)時(shí)，由柯西古薩基本定理知5分3、，其中為正向圓周：解：在內(nèi)作互不相交互不包含的小圓周和，分別包圍0和1，則 1分 3分 5分4、 解

4、：設(shè)，則分母比分子高四次，在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，且在上半平面內(nèi)只有一個(gè)二級極點(diǎn)，故 2分 4分 5分四（每題5分，共10分）討論下列級數(shù)的收斂性，若收斂，是否絕對收斂1、解： 1分而 4分由達(dá)朗貝爾判別法知級數(shù)絕對收斂。 5分2、解：，而，故級數(shù)發(fā)散；2分4分由萊布尼茲定理知和均為收斂的交錯(cuò)級數(shù)故級數(shù)條件收斂。 5分五 (7分)討論級數(shù)的斂散性。解：級數(shù)的部分和當(dāng)時(shí)，此時(shí)級數(shù)收斂；2分當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)級數(shù)發(fā)散；4分當(dāng)時(shí)，此時(shí)級數(shù)收斂； 5分當(dāng)時(shí)，令，則，而和均不存在，則不存在，此時(shí)級數(shù)發(fā)散 7分六（6分）若是解析函數(shù)，求證證明：,故， 2分 由解析知滿足柯西黎曼方程，即故左端4分而右端故等式成立。

5、6分七(10分)將函數(shù)在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。解：1）在圓環(huán)域內(nèi)， 5分2）在圓環(huán)域內(nèi)， 10分八（7分）求函數(shù)的傅氏變換，并證明解： 5分證明：故 7分九(10分)利用Laplace變換求解微分方程滿足初始條件的解。解：令，方程兩端同時(shí)取拉式變換并代入初始條件得4分故，是的3級極點(diǎn)，是1級極點(diǎn)則 10分工數(shù)二期末試題A卷答案一、BCDAB二、1、-1+2i；2、2ki(k=0,±1,±2,)；3、22；4、1-e-tu(t)；5、lns+1s-1。三、1、被積函數(shù)的兩個(gè)奇點(diǎn)z1=-1+3i，z2=-1-3i均在z=1之外，利用柯西古薩定理即知積分值為零。2、當(dāng)a>

6、;1時(shí)，被積函數(shù)的奇點(diǎn)a在C之外，由柯西古薩定理知積分值為零，而當(dāng)a<1時(shí)奇點(diǎn)a在C內(nèi)，由高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式得z=1ezz-a3dz=2i12!ezz=a=iea3、z=3z15z2+12z4+23dz=-2iResf(z),=2iRes1z2f(1z),0=2iRes1z1+z221+2z43,0=2ilimz0z1z1+z221+2z43=2i；4、令z=ei，則dz=ieid=izd，d=dziz，于是0215+3sind=z=115+3z2-12izdziz=z=123z2+10iz-3dz=23z=12z+i3z+3idz=232i1z+3iz=-i3=25、-+xsinx

7、1+x2dx=2iReszeiz1+z2,i=2izeiz(1+z2)'z=i=ie-1兩邊取虛部-+xsinx1+x2dx=e四、因u=x+yx2+y2，v=x-yx2+y2ux=y2-x2-2xyx2+y22，uy=x2-y2-2xyx2+y22， vx=y2-x2+2xyx2+y22，vy=y2-x2-2xyx2+y22， 一階偏導(dǎo)在z0處連續(xù)（由此易知u,v可微），而且滿足柯西黎曼方程，ux=vy，uy=-vx，所以f(z)=u+iv在z0處是解析的。但u(x,y)與v(x,y)在(0,0)點(diǎn)都不連續(xù)（因?yàn)閘im&x0&y0x±yx2+y2不存在），從

8、而f(z)在z0處不連續(xù)也不解析。故f(z)的解析區(qū)域?yàn)閺?fù)平面除去原點(diǎn)，而且f'(z)=ux+ivx=y2-x21+i-2xy1-ix2+y22z0五、由柯西黎曼方程得vx=-uy=-2(x-1)(1)vy=ux=2y(2)由式(1)得v=-2(x-1)dx+g(y)=-(x-1)2+g(y)代入式(2)后，g'(y)=2yg(y)=y2+C，所以v(x,y)=-(x-1)2+y2+Cf(z)=u+iv=2(x-1)y+i-(x-1)2+y2+C=-i(z-1)2+iC又f(2)=-i-i+iC=-iC=0，即f(z)=-i(z-1)2六解：f(z)=11-z-12-z1) 在

9、0<z<1內(nèi)，11-z=1+z+z2+zn+， 12-z=1211-z2=12(1+z2+z222+zn2n+，因此，有f(z)=(1+z+z2+)-12(1+z2+z222+)=12+34z+78z2+2) 在1<z<2內(nèi)，11-z=-1z11-1z=-1z(1+1z+1z2+)因此，有f(z)=-1z(1+1z+1z2+)-12(1+z2+z222+)=-1zn-1zn-1-1z-12-z4-z28-七、1、一般項(xiàng)cosin2n=12nen+e-n2=12e2n+1212en不趨于0（當(dāng)n時(shí)）（因?yàn)?2e2n+1212en>12對所的n成立），所以級數(shù)n=1c

10、osin2n發(fā)散。2、一般項(xiàng)6+5in8n=58+68in，其公比58+68i的模58+68i=618<1，所以n=06+5in8n絕對收斂，因而也收斂。3)n=1(-1)nn為條件收斂，故原級數(shù)非絕對收斂；4) 一般項(xiàng)inn=1n(cosn2+isinn2)，而n=11ncosn2=k=112k(-1)k，n=11nsinn2=k=112k-1(-1)k-1為收斂的交錯(cuò)級數(shù)，所以n=1inn收斂。但inn=1n，而n=1inn發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂；八、函數(shù)f(t)=e-tcost為連續(xù)的偶函數(shù)，其傅氏變換為F()=-+f(t)e-itdt=-+e-tcoste-itdt=-+e-te

11、ti-e-ti2e-itdt=12-0e(1+i-i)tdt+-0e(1-i-i)tdt+0+e(-1+i-i)tdt+0+e-(1+i+i)tdt=12e(1+i-i)t1+i-i-0+e(1-i-i)t1-i-i-0+e(-1+i-i)t-1+i-i0+-e-(1+i+i)t1+i+i0+=1211+i-i+11-i-i+-1-1+i-i+11+i+i=22+44+4再由傅氏積分公式得f(t)=12-+F()eitd=10+F()costd=10+22+44+4costd即0+2+24+4costd=2e-tcost九、方程組中每個(gè)方程的兩邊取拉氏變換，并設(shè)Lx(t)=X(s)，Ly(t)=Y(s)，得s2X(s)-s(-32)-12-X(s)-2sY(s)-1=1s-1sX(s)-(-32)-s2Y(s)-s