1、明槽充分發展層流流動的精確解和數值解摘 要：在四種不同形狀的流道中，用數學分析和分離變量方法求解充分發展層流明槽流動的速度場精確解，這其中包括坐標系旋轉和對稱面選取等技巧。同時，在結構化網格與非結構化網格中，用有限容積數值計算方法求得其數值解；并且通過比較解析解與數值解，互相驗證彼此的正確性。從兩者之間的一致性，可以充分證明這些方法的可靠性，互補性和實用性。關鍵詞：明槽流動；精確解；數值解明槽流動是自然界和人類現實生活中最常見的一種流動，天然河流，引水和灌溉渠道，人工運河以及很多水工建筑物中的流動都屬于明槽流動。明槽流動最主要的一個特點是具有一個暴露于大氣中的自由水面。自由水面不受固體邊界的約

2、束而可以自由變動。1769 年，謝才（A.de Chezy）建立的明槽均勻流公式延用至今。由于生產實踐和人類生活的需要，對明槽流動的研究和認識具有悠久的歷史。近年來科學和技術的進步和生產的發展都促使人們不僅需要了解明槽流動中，流速的斷面平均值，而且還需要知道流速及其它有關物理量在時間上合空間上的分布，從而發展了對明槽充分發展流動精確解和數值解的研究1。本文通過四個算例，分別給出解析解。并在結構化網格與非結構化網格中，用兩套計算程序求得數值解。并且進行兩者的比較分析，以此展示它們的精彩之處2-7。1 一維有重力作用的明槽平行流動明槽流動是具有自由水面的，粘性為 的不可壓縮流體的水流運動。一般自由

3、水面上作用有大氣壓力，如果考慮相對壓力（壓強），可認為其為零值（ 0 a p = ）。對于充分發展層流的明槽流動，可認為壓力梯度等于零（ dp/dx =0）。假設流動為恒定（u/t=0），對于一維平板流動的數學描述可寫成2-3，22 d u g sin 0dy + = （1-1a）邊界條件為，0, 0, / 0y uy h du dy= = =（1-1b）此處水面高度為h 。積分（1-1）式得,sin 2 22u g h y yh h = （1-2）沿斷面積分（1-2）式可得流量公式，-2-3 20 03 2 3 30sin 22sin 1 sin2 3 3h hhQ udy g h y y

4、d yh h hg h y y ghh h = = = = （1-3）當斜度為零時，顯然無流動和流量。由于本問題的簡單性，本文不給出數值計算。2 二維矩形通道有重力作用的明槽流動對于底面寬度為L ，高度為b=L/ 2 的二維矩形域斷面的明槽流動，假設流道與重力的夾角為 。在直角坐標系中，其Z 軸動量方程的數學描述可寫成3，2 22 2 w w g sin 0x y + + =（2-1a）邊界條件為，0, 0; , 00, 0; / 2, / 0x w x L uy w y b L w y= = = = = = = =（2-1b）用分離變量法求解（2-1）式得4, 22 3 30( , ) 1

5、1 1 ( 1) cos ( ) cosh ( )sin / 8 2 coshnn nn n nw x y x a x a y bg L a a b = （2-2）其中, (2 1) / n = n+ L, n = 0, 1, 2, 3, ，a=L/ 2 and b=L/ 2 。沿斷面積分（2-2）式可得流量公式，/ 2 2 20 0 3 50sin 1 ( 1) sin( )sinh( )24 cosh( )L L n n nn n nQ wdxdy g L L a ba b = = = （2-3）下面進行該問題的數值模擬。物性參數選取如下（單位為國際標準單位）， =1 L=1 =1 =/6

6、 （2-4）計算區域采用結構化網格，網格數40 20 ，圖1 為網格。圖2 為計算結果，背景云圖為數值解，虛線為精確解。從圖2 的計算結果可以看出，兩者吻合的很好。圖1 結構化網格圖 圖2 數值解與精確解速度場分布-3-3 二維三角形（直角等邊）通道有重力作用的明槽流動對于直角等邊（ L ）三角形斷面通道，此問題的數學描述如同式（2-1）可寫成，2 2w2 w2 g sin 0x y + + =（3-1a）邊界條件為，0, 0; 2 / 2, / 0, 0y w y L w yx y w= = = = =（3-1b）方程（3-1）的精確解可以通過正方形問題3-5，讓坐標系逆時針旋轉 = / 4

7、=450 度得到, 22 3 30( , ) 1 1 1 ( 1) cos ( ) cosh ( )sin / 8 2 coshnn nn n nw x y x a x a y bg L a a b = （3-2）其中, (2 1) / n = n+ L, n = 0, 1, 2, 3, ，a=b=L/ 2。坐標變換如下，cos( ) sin( )sin( ) cos( )x x yy x y = + = +（3-3）沿斷面的流量計算可用式（2-3）。本算例計算區域采用非結構化網格，網格數為820（見圖3）。圖3 為計算結果，背景云圖為數值解，虛線為精確解。從圖3 的計算結果可以看出，兩者吻合

8、的很好。本算例采用了對稱面技巧和坐標系的旋轉，從此處我們可以看到數學的完美性。圖3 非結構網格和速度場分布4 半圓通道有重力作用的明槽流動對于半徑為（ 0 r=r =1）的半圓形斷面通道，在極坐標中此問題的數學描述可寫成2，drdw gsin 0r dr dr + = （4-1a）邊界條件為，-4-r=r0 w= 0 （4-1b）利用對稱性，可得到精確解為,( 2 2)0( ) sin( )4w r g r r = （4-2）沿斷面積分（4-2）式可得流量公式，0 40 0 0sin( )16Q r wdrd g r = = （4-3）本算例計算區域采用非結構化網格，網格數為1092（見圖4）

9、。圖4 為計算結果，背景云圖為數值解，虛線為精確解。從圖4 的計算結果可以看出，兩者吻合的很好。圖4 非結構網格和速度場分布5 結束語本文通過四個算例，分別給出解析解。并在結構化網格與非結構化網格中，用兩套計算程序求得數值解。并且進行兩者的比較分析，以此展示它們的精彩之處。參考文獻1 章梓雄 董曾春 著，粘性流體力學北京： 清華大學出版社，1998.2 MN奧齊西克 著，俞昌銘 譯熱傳導M北京：高等教育出版社，1984.3 Patankar, S.V., Computation of Conduction and Duct Flow Transfer, Innovative Research,

10、 Inc, Maple Grove.1991.4 Zhang, M., Modeling of Radiative Heat Transfer and Diffusion Processes Using Unstructured Grid. PhD.Dissertation, 2000, Tennessee Technological University, USA.5 張敏 John C. Chai 許彬，方形通道充分流動中的精確解與數值解，中國科技論文在線，2007.10.6 劉亞 張敏 彭文杰 李媛媛，平板流直接變量法與無量綱法的比較分析，中國科技論文在線，2009.11.7 李媛媛 張

11、敏 劉會娟 劉亞，重力作用下的平行流動分析與計算，中國科技論文在線，2009.11.-5-Exact and Numerical Solutions in the Fully DevelopedLaminar Open Channel FlowQiaoyu GE Min ZHANG Yuanyuan LI and Ya LIUSchool of Power Engineering, Nanjing University of Science & Technology, Nanjing (210094)AbstractThe four problems of the fully developed laminar open channel flow were solved using analyzing andnumerical methods. Meanwhile, numerical problems were also calculated in structured meshes andunstructured meshes. Comparing with the exact solutions and these