1、1. 已知單位反饋系統的開環傳遞函數，試繪制參數b從0的根軌跡，并寫出b=2時系統的閉環傳遞函數。 (1) (2)答案:提示 求等效開環傳遞函數，畫根軌跡。(1)分離點坐標：d1=-8.472，d2=0.472(舍)，出射角p=153.4°；(2)兩支根軌跡，分離點的坐標-202. 已知系統的開環傳遞函數為 (1)確定實軸上的分離點及K*的值； (2)確定使系統穩定的K*值范圍。答案:(1)實軸上的分離點d1=-1，d2=-1/3，對應的K*1=0，K2*=22/27；(2)穩定范圍0K*63. 設單位負反饋系統的開環傳遞函數如下： (1)繪制系統準確的根軌跡圖； (2)確定使

2、系統臨界穩定的開環增益Kc的值； (3)確定與系統臨界阻尼比相應的開環增益K。答案:(1)分離點坐標：d1=-79(舍)，d2=-21；(2)Kc=150；(3)K=9.64. 設單位負反饋控制系統開環傳遞函數已知，要求： (1)確定產生純虛根的開環增益K； (2)確定產生純虛根為±j1的z值和K*值。答案:(1)用勞斯判據求臨界穩定點得K*=110，化成開環增益K=11 (2)將±j1任一點代入閉環特征方程得K*=30，z=199/305. 反饋系統的開環傳遞函數為 試用根軌跡法確定出階躍響應有衰減的振蕩分量和無振蕩分量時的開環增益K值范圍。答案:

3、提示 特征根全為負實數時無振蕩分量，為復數時有振蕩分量6. 已知系統的特征方程為 (1)s3+9s2+K*s+K*=0 (2)(s+1)(s+1.5)(s+2)+K*=0 (3)(s+1)(s+3)+K*s+K*=0 試繪制以K*為參數的根軌跡圖。答案:提示 將帶K*項合并，方程兩端同除不帶K*項的多項式，求出等效的開環傳函7. 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為 試繪制閉環系統的根軌跡圖。答案:提示 開環極點分布圖分離點有3個，不要畫錯。分離點的坐標為d1=-2，6:6088/Latex/latex.action?latex=ZF97MiwzfT0tMlxw

4、bWpcc3FydHs2fQ%3D%3D，與虛軸的交點坐標為6:6088/Latex/latex.action?latex=c197MSwyfT1ccG1qXHNxcnR7MTB9，此時K*=2608. 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為 (1)畫出系統的根軌跡草圖(其中根軌跡在實軸上的分離點，根軌跡與虛軸的交點要精確算出)； (2)用根軌跡法確定使系統的階躍響應不出現超調時K的取值范圍； (3)為使系統的根軌跡通過-1±j1兩點，擬加入串聯微分校正裝置(s+1)，試確定的取值。答案:提示 (1)要變為根跡增益的形式畫軌跡；(2)當特征根

5、全為負實數時，不超調，范圍0K0.1924 (3)將通過的2個點任意一個代入加入校正環節的閉環特征方程，可求=1，K=19. 系統結構如下圖所示。試畫出閉環系統根軌跡，并分析K值變化對系統在單位階躍擾動作用下響應c(t)的影響。答案:提示 (1)注意求出射角和終止角，出射角p=±60°，180°，終止角z=135°；(2)當0K1時，系統不穩定，當K1時，閉環系統穩定，隨著K的增加，閉環極點左移，階躍響應加快10. 系統結構圖如下圖所示。 (1)繪制以為變量的根軌跡； (2)求系統在欠阻尼狀態下的值范圍。答案:提示 將2個反

6、饋環節看成并聯，求等效的開環傳遞函數，畫根軌跡，05/911. 設單位負反饋系統的開環傳遞函數為 試畫出系統根軌跡圖，并求出系統具有最小阻尼比時的閉環極點和對應的增益K。答案:相應的閉環極點s1,2=-2±j2，K=212. 設系統的結構如下圖所示。 (1)繪制T從0變化時的根軌跡圖； (2)確定系統在欠阻尼狀態下T的取值范圍； (3)求閉環極點出現重根時的閉環傳遞函數。答案:提示 (1)畫參變量的根軌跡；(2)0T1；(3)13. 設系統開環傳遞函數為 試證明K從0時，根軌跡的復數部為圓弧。并求系統無振蕩分量的K值范圍。答案:(+1)2+2=1，無振蕩分量時K314.

7、設系統結構圖如下圖所示。為使閉環極點位于s6:6088/Latex/latex.action?latex=cz0tMVxwbWpcc3FydHszfQ%3D%3D，試確定增益K和速度反饋系數Kh的值，并以計算得到的K及Kh值為基準值，畫出以Kh為變量的根軌跡。答案:K=4，Kh=0.515. 試求下列函數的z變換： (1) (2)e(t)=t2e-3t (3) (4) (5)答案:(1) (2) 由移位定理得 (3) (4) (5)將原函數表達式變換為 由定義z=esT知，式中即為，對各部分查表，可得 故 提示 根據z變換的定義以及z變換的性質，可以用多種方

8、法求出z變換。16. 試分別用部分分式法、冪級數法和反變換公式法求下列函數的z反變換： (1) (2)答案:(1) 部分分式法： e(nT)=-10+10×2n=10(2n-1) 冪級數法：用長除法可得 e*(t)=10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+ 反變換公式法： e(nT)=-10×1+10×2n=10(2n-1) (2) 部分分式法： 冪級數法：用長除法可得 e*(t)=-3(t)-58(t-T)-7(t-2T)-9(t-3T)+ 反變換公式法：提示 熟悉z反變換的基本技能，解決同一問題的方法可以有多種，但結果

9、是相同的。注意在利用部分分式法時，需要對進行部分分式展開，然后再進行反變換。17. 用z變換法求解差分方程。 (1)c(k+2)-6c(k+1)+8c(k)=r(k) r(k)=1(k) c(k)=0 (k0) (2)c(k+2)+2c(k+1)+c(k)=r(k) c(0)=c(T)=0 r(n)=n (n=0，1，2，)答案:(1)令t=-T，代入原方程可得c(T)=0。對差分方程兩端取z變換，整理得 (2)對差分方程兩端取z變換，整理得提示 利用z變換的實平移定理，對差分方程等式兩端馭z變換，需要考慮到初始條件的影響。目的是訓練如何根據差分方程和初始條件求出輸出序列。18. 設開環離散系

10、統分別如圖7-2(a)、(b)、(c)所示，試求開環脈沖傳遞函數G(z)。答案:圖7-2(a) 圖7-2(b) 圖7-2(c) 提示 當兩個連續環節之間有采樣開關時圖7-2(a)，開環脈沖傳遞函數G(z)等于兩個連續環節的分別z變換后相乘；當兩個連續環節之間無采樣開關時圖7-2(b)，開環脈沖傳遞函數G(z)等于兩個連續環節相乘之后再取z變換；當連續環節前有零階保持器時，開環脈沖傳遞函數為。19. 求下圖所示采樣系統的脈沖傳遞函數和輸出z變換表達式。答案:E(z)=R(z)-C(z)H2(z) 而 D(z)=E(z)G1H1(z)-D(z)G1H1(z) 所以 整理得輸出的z變換表達式為 系統

11、的脈沖傳遞函數為提示 求解復雜離散系統的脈沖傳遞函數時，由于采樣開關在不同位置時，即使各動態環節的傳遞函數不變，所求的脈沖傳遞函數也不同，有時，采樣開關沒置的位置，有可能求不出脈沖傳遞函數，而只能求出輸出的z變換表達式。20. 下圖所示的離散系統，試求其單位階躍響應(采樣周期T=1s)。答案:系統的開環脈沖傳遞函數為 閉環系統的脈沖傳遞函數為 故 =0.368z-1+z-2+1.34z-3+1.34z-4+1.147z-5+0.894z-6+ 對C(z)進行反變換，就可以得到各采樣時刻的輸出值： c(0)=0 c(1T)=0.368 c(2T)=1.000 c(3T)=1.340 c(4T)=

12、1.340 c(5T)=1.147 c(6T)=0.894提示 求出開環脈沖傳遞函數G(z)；由得出C(z)，再利用長除法，得到冪級數形式。21. 利用勞斯判據分析下圖所示二階離散系統，在改變K和采樣周期T時，對系統穩定性的影響。答案:開環脈沖傳遞函數為 閉環特征方程為 即 z2+K(1-e-T)-(1+e-T)z+e-T=0 令，進行w變換，化簡整理后得 2(1+e-t)-K(1-e-T)w2+2(1-e-T)w+K(1-e-T)=0 可得如下勞斯表：6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthc

13、nJheX17Y2NjfXdeezJ9JjIoMStlXnstVH0pLUsoMS1lXnstVH0pJkso%0D%0AMS1lXnstVH0pXFwgd157MX0mMigxLWVeey1UfSkmIFxcIHdeezB9JksoMS1lXnstVH0pJiBcZW5k%0D%0Ae2FycmF5fQ%3D%3D 得系統穩定的條件，勞斯表的第一列元素全都大于零，得6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30yKDErZV57LVR9KS1LKDEtZV57LVR9Ke%2B

14、8njBcXCBLKDEt%0D%0AZV57LVR9Ke%2B8njBcXCBL77yeMFxlbmR7YXJyYXl9 解得 提示 求出開環脈沖傳遞函數G(z)；將雙線性變換代入閉環特征方程1+G(z)=0；在w平面利用勞斯判據得出K和T的對應關系。22. 下圖所示的采樣系統，周期T=1s，e2(k)=e2(k-1)+e1(k)，試確定系統穩定時的K值范圍。答案:由于 e2(k)=e2(k-1)+e1(k) E2(z)=z-1E2(z)+E1(z) 則 廣義對象脈沖傳遞函數為 開環脈沖傳遞函數為 閉環特征方程為 1+D(z)G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0 令

15、，進行w變換，化簡后得)w2+1.264w+0.632K=0 列出勞斯表如下：6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y2NjfXdeezJ9JiAyLjczNi0wLjYzMksgJjAuNjMySyBcXCB3%0D%0AXnsxfSYgMS4yNjQgJjAgXFwgd157MH0mIDAuNjMySyAmIFxlbmR7YXJyYXl9 若系統穩定，必須滿足0，K0，即 0K4.329提示 由圖知，需要將e2(k)=e2(k-1)+e1(k)兩邊取z變換(利用后向差分的位

16、移定理)；依次求出帶有零階保持器的開環傳遞函數和閉環特征方程，引入雙線性變換，利用勞斯判據列勞斯表即得。23. 下圖所示的采樣控制系統，要求在r(t)=t作用下的穩態誤差ess=0.25T，試確定放大系數K及系統穩定時T的取值范圍。答案: 因為 所以 由上式求得K=4。 該系統的特征方程為 1+G(z)=(z-1)(z-e-T)+4z(1-e-T)=0 即 z2+(3-5e-T)z+e-T=0 令代入上式得 4(1-e-T)w2+2(1-e-T)w+6e-T-2=0 列出勞斯表如下：6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZn

17、Rce1xiZWdpbnthcnJheX17Y2NjfXdeezJ9JiA0KDEtZV57LVR9KSAmNmVeey1UfS0yIFxc%0D%0AIHdeezF9JiAyKDEtZV57LVR9KSAmMCBcXCB3XnswfSYgNmVeey1UfS0yICYgXGVuZHthcnJheX0%3D 系統若要穩定，則勞斯表得第一列系數必須全部為正值，即有 1-e-T0，T0 6e-T-20，Tln3 由此得出0Tln3時，該系統是穩定的。提示 求出開環脈沖傳遞函數G(z)；由穩態誤差ess=0.25T，利用終值定理(或誤差系數)得到K值；將雙線性變換代入閉環特征方程1+G(z)=0，進

18、而得T的對應關系。24. 下圖所示的采樣控制系統，K=10，T=0.2s，。求系統的穩態誤差。答案:系統的開環脈沖傳遞函數為 將T=0.2s代入得 閉環特征方程為 D(z)=z2-0.8z+0.2 求得特征根為 z1,2=0.4±j0.2 由于|z1,2|1，故系統穩定。 方法1：由開環傳遞函數可知，系統為型系統，可以求出如下系數。 位置誤差系數 速度誤差系數 加速度誤差系數 所以系統的穩態誤差為 方法2：誤差脈沖傳遞函數為 由 求得系統穩態誤差為提示 由圖知，在求開環脈沖傳遞函數G(z)時，應將兩個反饋通路等效變換。求穩態誤差前，要先判斷系統穩定性。關鍵是求出閉環系統的開環脈沖傳遞函數。25. 所示的某單位負反饋離散控制系統如下圖所示，采樣周期T=1s，輸入r(t)=1(t)，試求： (1)輸出z變換C(z)； (2)采樣瞬時的輸出響應c*(t)； (3)輸出響應的終值c()。答案:(1)開環脈沖傳遞函數： 閉環脈沖傳遞函數為 因，故 (2)將C(z)展開成冪級數形式，可得