1、講義-平面向量與三角形四心的交匯一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內心角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合（1）是的重心.證法1：設 是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設,是三角形的三條邊長，O是ABC的內心為的內心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（

2、)化簡得（4）為的外心。三、典型例題：例1：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心例2：（03全國理4）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心例3：1)是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心 2)已知O是平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, 則動點P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內心3)已知O是平面上的一定點，A、B

3、、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, , 則動點P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內心例4、已知向量滿足條件，求證：是正三角形例5、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數m = 例6、點O是三角形ABC所在平面內的一點，滿足，則點O是的（）A三個內角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交點C三條中線的交點D三條高的交點例7在內求一點，使最小例8已知為所在平面內一點，滿足，則為的心例9.已知O是ABC所在平面上的一點，若，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心例10 已知O為ABC所在平面內一點，滿足=，則O點

4、是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內心 D. 外心例11已知O是ABC所在平面上的一點，若= 0，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心例12：已知O是ABC所在平面上的一點，若= 0，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心例13：已知O是ABC所在平面上的一點，若(其中P是ABC所在平面內任意一點)，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心四、配套練習：1已知三個頂點及平面內一點，滿足，若實數滿足：，則的值為（ ）A2 B C3 D62若的外接圓的圓心為O，半徑為1，則( )A B0 C1 D

5、3點在內部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（ ）A0 B C D4的外接圓的圓心為O，若，則是的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心 5是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（ ）A外心 B內心 C重心 D垂心6的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數m = 7（06陜西）已知非零向量與滿足(+)=0且= , 則ABC為( )A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D等邊三角形8已知三個頂點，若，則為（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形9.已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, . 則P點的軌跡一定通過ABC的( )A. 外心 B. 內心 C. 重心 D. 垂心10.已知O是ABC所在平面上的一點，若= 0, 則O點是ABC的( )A. 外心 B.