1、2014屆高三實(shí)驗(yàn)班一輪教學(xué)案 編寫(xiě)、校對(duì)：陳維棟等差數(shù)列及應(yīng)用一、聚焦核心：1若Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a104，則S11的值為_(kāi)2在等差數(shù)列an中，a10，S4S9，則Sn取最大值時(shí)，n_.3在等差數(shù)列an中，若a1a4a739，a3a6a927，則S9_.4已知數(shù)列an，bn滿足a11，a22，b12，且任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)ijkl時(shí)，都有aibjakbl，則 (aibi)的值是_5設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若1a54,2a63，則S6的取值范圍是_6設(shè)等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13_.7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)

2、和為Sn2n2pn，a711.若akak112，則正整數(shù)k的最小值為_(kāi)二、典例分析：例1設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范圍例2已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn滿足關(guān)系式2SnSn1n12(n2，n為正整數(shù))，a1.(1)令bn2nan，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)在(1)的條件下，求Sn的取值范圍例3已知數(shù)列an滿足an2an12n1(nN*，n2)，且a327. (1)求a1，a2的值；(2)記bn(ant)(nN*)，問(wèn)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使數(shù)列bn是等

3、差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由三、課堂反饋1已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S11，4，則的值為_(kāi)2數(shù)列an是等差數(shù)列，若1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n_.3已知數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，Sn，Tn分別是它們的前n項(xiàng)和，且，則_.4已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式an12an2n1(nN*)，且為等差數(shù)列，則的值是_5已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立數(shù)列an滿足anf(2n)(nN*)，且a12.則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.6在等差數(shù)列an中，公差d0，前n項(xiàng)和為Sn，a2a345，a

4、1a518.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一個(gè)非零常數(shù)c，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由7在數(shù)列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)設(shè)cn()bn，試問(wèn)數(shù)列cn中是否存在三項(xiàng)，使它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說(shuō)明理由1若Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a104，則S11的值為_(kāi)解析S1122.2在等差數(shù)列an中，a10，S4S9，則Sn取最大值時(shí)，n_.解析因?yàn)閍10，S4S9，所以a5a6a7a8a90，所以a70，所以從而當(dāng)n6或7時(shí)Sn取最大值3在等差

5、數(shù)列an中，若a1a4a739，a3a6a927，則S9_.解析a1a4a739，a3a6a927，3a439,3a627，a413，a69.a6a42d9134，d2，a5a4d13211，S99a599.4已知數(shù)列an，bn滿足a11，a22，b12，且任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)ijkl時(shí)，都有aibjakbl，則 (aibi)的值是_解析：由題意得a11，a22，a33，a44，a55；b12，b23，b34，b45，b56.歸納得ann，bnn1；設(shè)cnanbn，cnanbnnn12n1，則數(shù)列cn是首項(xiàng)為c13，公差為2的等差數(shù)列，所以 (aibi)2 012.5設(shè)等差數(shù)列an的

6、前n項(xiàng)和為Sn，若1a54,2a63，則S6的取值范圍是_解析設(shè)ana1(n1)d，則由解所以S66a115d15(a14d)9(a15d)12,426設(shè)等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13_.解析由15a1a2a33a2，得a25.所以又公差d0，所以所以d3.所以a11a12a133a123(a111d)3(233)335105.7已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n2pn，a711.若akak112，則正整數(shù)k的最小值為_(kāi)解析因?yàn)閍7S7S62727p2626p26p11，所以p15，Sn2n215n，anSnSn14n17(n2)，當(dāng)n1時(shí)也

7、滿足于是由akak18k3012，得k5.又kN*，所以k6，即kmin6.8()設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范圍思路分析第(1)問(wèn)建立首項(xiàng)a1與公差d的方程組求解；第(2)問(wèn)建立首項(xiàng)a1與公差d的方程，利用完全平方公式求范圍解(1)由題意知S63，a6S6S58，所以解得a17，所以S63，a17.(2)法一：因?yàn)镾5S6150，所以(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210，故(4a19d)2d28，所以d28.故d的取值范圍為d2或d2.法二：把2a9da1

8、10d210看作關(guān)于a1的二次方程在R上有解，判別式必大于等于零即可得到d2或d2.【點(diǎn)評(píng)】 方程思想在數(shù)列中常常用到，如求通項(xiàng)an及Sn時(shí)，一般要建立首項(xiàng)a1與公差d(或公比q)的方程組9已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn滿足關(guān)系式2SnSn1n12(n2，n為正整數(shù))，a1.(1)令bn2nan，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)在(1)的條件下，求Sn的取值范圍(1)證明由2SnSn1n12，得2Sn1Snn2，兩式相減，得2an1ann，即2n1an12nan1，即bn1bn1，所以bn是公差為1的等差數(shù)列又b12a11，所以bnn,2nann，從而annn.(2

9、)解由條件得Snan2n1，所以Sn2(n2)n，又Sn1Sn0，所以數(shù)列Sn在nN*單調(diào)遞增，所以SnS1，又Sn2.故Sn.10已知數(shù)列an滿足an2an12n1(nN*，n2)，且a327. (1)求a1，a2的值；(2)記bn(ant)(nN*)，問(wèn)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使數(shù)列bn是等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由10. 解(1)由a327，得2a223127，所以a29.又由2a12219，得a12.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列bn是等差數(shù)列，則2bnbn1bn1，即2(ant)(an1t)(an1t)，即4an4an1an1t，所以4an42an2n1t1，所以t

10、1.故存在t1，使得數(shù)列bn是等差數(shù)列（二）1已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S11，4，則的值為_(kāi)解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列，由4得3，則S6S45S2，所以S44S2，S69S2，.2數(shù)列an是等差數(shù)列，若1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n_.解析由題意，可知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11a10，又因?yàn)?，所以a100，a11a10，由等差數(shù)列的性質(zhì)有a11a10a1a200，a10a10a1a190，所以Sn取得最小正值時(shí)n19.3已知數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，Sn，Tn分別是它們的前n項(xiàng)和，且，則

11、_.解析.4已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式an12an2n1(nN*)，且為等差數(shù)列，則的值是_解析由an12an2n1，可得，則，當(dāng)?shù)闹凳?時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列5已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立數(shù)列an滿足anf(2n)(nN*)，且a12.則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.解析由an1f(2n1)2f(2n)2nf(2)2an2n1，得1，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以n，ann2n.6在等差數(shù)列an中，公差d0，前n項(xiàng)和為Sn，a2a345，a1a518.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn(nN*)，是否存在一個(gè)非零常數(shù)c，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題設(shè)，知an是等差數(shù)列，且公差d0，則由得解得an4n3(nN*)(2)由bn，c0，可令c，得到bn2n.，bn1bn2(n1)2n2(nN*)， bn是公差為2的等差數(shù)列即存在一個(gè)非零常數(shù)c，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列7在數(shù)列an中，a11，an11，bn，其中nN*.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)設(shè)cn()bn，試問(wèn)數(shù)列cn中是否存在三項(xiàng)，使它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說(shuō)明理由(1)證明因?yàn)閎n1bn2(nN*)，且b12，所