1、1、根據(jù)算符的微分性與矢量性，推導(dǎo)下列公式：推導(dǎo)：由算符的微分性，可得 其中下標(biāo)C表示將該矢量看成是常矢量，不對它作用由矢量公式可得即，代入，可得略去下標(biāo)C，即為證明的第一式再令即可得證明的第二式2、設(shè)是空間坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，證明：，證明：3、電荷Qf均勻分布于半徑為a球體內(nèi)，求空間各點的電場.解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上的電場強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向.當(dāng)r>a時，根據(jù)高斯定理得：從而有：當(dāng)r<a時，球面所包圍的電荷為：由高斯定理有可得 4、在均勻外電場中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用分離變數(shù)法求下列兩種情況的電勢：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持

2、電勢差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q. （25分）解答：（1）當(dāng)導(dǎo)體上接有電池，與地保持電勢差時。以地為電勢零點。本問題的定解條件有 且 其中是未置入導(dǎo)體球前坐標(biāo)原點的電勢.根據(jù)題意設(shè)根據(jù)邊界條件可求得， ， ， ， ， 所以有（2）當(dāng)導(dǎo)體球上帶總電荷Q時，定解問題存在的條件：根據(jù)邊界條件設(shè)根據(jù)邊界條件可以求得5、真空中有電場強(qiáng)度為的均勻電場，將半徑為R的一個均勻介質(zhì)球放到這個電場中。已知球的電容率為，求各處的電場強(qiáng)度和極化電荷。解：先求電勢，然后由電勢求得電場強(qiáng)度，再求極化電荷。由于沒有自由電荷，電勢滿足拉普拉斯方程。以球心為原點，方向為極軸方向，取球坐標(biāo)。根據(jù)對稱性可知，電勢只是和的函數(shù)。因為

3、所考慮的區(qū)域包括極軸（）在內(nèi)，電勢在極軸上應(yīng)該是有限值，所以所求電勢可寫為如下形式，剩下的問題就是由邊界條件定出各個系數(shù) 由于球內(nèi)外是兩個不同的區(qū)域，電勢的表達(dá)式不同，令球內(nèi)的電勢為，球外的電勢為，再由邊界條件分別定出他們的系數(shù)。（1）無窮遠(yuǎn)處的邊界條件在無窮遠(yuǎn)處，電場應(yīng)該趨向于原來的電場，即為方便，將原來的電場在點的電勢取為零。比較兩者的系數(shù)，可得所以（2）球心的邊界條件在球心處，電勢應(yīng)該是有限值，所以其中的系數(shù)所以（3）球面上的邊界條件在球面上電勢連續(xù)，即的法向分量連續(xù)將前面得到的電勢方程在R代入電勢連續(xù)方程，比較兩邊的系數(shù)，可得，將前面得到的電勢方程在R代入法向連續(xù)方程，比較兩邊的系數(shù)，

4、可得，比較得到的四個方程，可得到，這些系數(shù)分別代入前面的和，即得到所求得電勢為有了電勢即可求得電場強(qiáng)度：，所以介質(zhì)球的極化強(qiáng)度為所以球內(nèi)的極化電荷密度為球面上極化電荷的面密度為注：真空中有電場強(qiáng)度為的均勻電場，將半徑為R的一個不帶電導(dǎo)體球放到這個電場中。求各處的電勢分布、電場強(qiáng)度分布和感應(yīng)的電偶極矩解法和前面一樣，只不過把導(dǎo)體球當(dāng)作是很大的介質(zhì)，這樣均勻極化介質(zhì)球在球內(nèi)產(chǎn)生均勻退極化電場：導(dǎo)體內(nèi)的電場，所以導(dǎo)體內(nèi)的極化強(qiáng)度為：感應(yīng)的電偶極矩：球內(nèi)的電勢為零，球外的電勢：球外電場：6、電容率為的無窮大均勻介質(zhì)中有電場強(qiáng)度為的均勻電場，將半徑為R的一個均勻介質(zhì)球放到這個電場中。已知球的電容率為，求

5、各處的電場強(qiáng)度和極化電荷。解：對于這個問題，只要將前題求得的，等表達(dá)式中的換成、換成，就可以得到相應(yīng)的結(jié)果。這時，球內(nèi)的極化強(qiáng)度為球外介質(zhì)的極化強(qiáng)度為：球內(nèi)外的極化電荷密度分別為：，球內(nèi)介質(zhì)在球面上的極化電荷面密度為球外介質(zhì)在球面上的極化電荷面密度為球面上總的極化電荷面密度為7、真空中有一電荷量為的點電荷，它到一無限大導(dǎo)體平面的距離為，已知導(dǎo)體的電勢，如圖所示。試求（1）導(dǎo)體外的電勢分布；（2）導(dǎo)體面上的電荷分布；（3）受導(dǎo)體上電荷的作用力解：本題用電像法求解最簡單（1）以導(dǎo)體平面為平面，通過的法線為軸，如圖取迪卡爾坐標(biāo)系。設(shè)想導(dǎo)體不存在，而在軸上處有一電荷量為的點電荷，則邊界條件處可以滿足。

6、就是的像電荷。于是，根據(jù)唯一性定理，可以得到導(dǎo)體外任一點的的電勢：，（2）導(dǎo)體上的電荷面密度為（3）根據(jù)對稱性，以原點為圓心，在導(dǎo)體表面取半徑為，寬度為的圓環(huán)帶。環(huán)帶上的電荷量為，它作用在上的庫倫力為所以受導(dǎo)體上電荷的作用力為注：電荷受導(dǎo)體上電荷作用力的簡單算法導(dǎo)體表面電荷作用在上的力等于像電荷作用在上的力所以8、在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b（b>a），試用電像法求空間電勢。圖解答：如圖，利用鏡像法，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平面板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電

7、量和位置。方法：在處放，與在平面上合電勢為0；但在球面上電勢不為0。再引入關(guān)于球面的鏡像電荷，即在處放，以及關(guān)于球面的鏡像電荷，即在處放。這樣總電勢在平面和球面上都是零。9、設(shè)有無窮長的線電流沿軸流動，以空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，區(qū)域為真空，試用唯一性定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后求出磁化電流分布。解：由麥克斯韋方程組，有本題中，即所以，即 由，可得因為，所以可以得到：，在介質(zhì)表面的位置，磁化電流面密度為當(dāng)時，在電流線表面存在的磁化電流為10、設(shè)空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，區(qū)域為真空，有線電流沿軸流動，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：由邊界條件可知，即再由麥克斯韋方程組，有所以，即，由上面已經(jīng)得到所以，可以得到：由，得到：磁化電流為：因為所以得到：11、一平面電磁波以從真空中入射到的介質(zhì)。電場強(qiáng)度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)解：設(shè)入射波振幅為，入射角；反射波振幅，反射角；折射波振幅，折射角由菲涅耳公式，有：，又因為可由折射定律得：，代入，得到：即平面電磁波的平均能流密度為所以反射系數(shù)透射系數(shù)12、對一矩形波導(dǎo)，電磁波沿z方向傳播，求可能傳播的電磁波和每種波模的截止頻率. 解答：設(shè)兩導(dǎo)體平板與y軸垂直，兩板間電場為滿足亥姆霍茲方程通過求解可得，根據(jù)邊界條件可求得截止頻率為13、頻率為 Hz的微波，在的矩形波導(dǎo)管中能以什么波模傳播？在的矩形波導(dǎo)管中