1、第五章習題5.1 設計一個數字低通濾波器，在頻率的范圍內，低通幅度波紋不超過0.75,在頻率之間，阻帶衰減至少為20。試求出滿足上述指標的最低階巴特沃什濾波器系統函數H(Z)，并畫出它的級聯形式結構。（于2 138 3.1）解：假設T=1，若通帶在處歸一化為1，即有巴特沃斯濾波器的形式為將上式以dB表示，有將給定指標代入，得則模擬濾波器的系統函數為5.2 試證明一個N階FIR濾波器的沖激相應h(n)滿足下列條件之一者亦為線性相位濾波器。 1. N為偶數 2. N為奇數 (于2 138 3.3)證明：由定義可知，若FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)是實數，而且滿足偶對稱或奇對稱的條件，即或，則濾

2、波器具有嚴格的線性相位特性。（1）當N為偶數時， 奇對稱。因為，則因此同樣我們可以把表達為因此，得其幅度函數為，將其兩兩合并后得因此，由于在處為零，所以在處為零，即在上有零點、并對呈奇對稱。（2）當N為奇數時，h(n)為偶對稱。其幅度函數為再進行一次換元，即令，則上式可改為整理可得： 由于對這些點是偶對稱的，因此對都有偶對稱結構。5.3 假設一個數字系統其輸出序列y(n)和輸入序列x(n)之間滿足下列關系，試求該系統的頻率響應并畫出幅頻特性曲線： 1. 2. 3. 4. （于2 138 3.8）解：（1），其幅頻特性曲線如圖1所示： 圖1（2），其幅頻特性曲線如圖2所示： 圖2（3），其幅頻特

3、性曲線如圖3所示：圖3（4），其幅頻特性曲線如圖4所示：圖45.4 給定一理想低通FIR濾波器的頻率特性 1 0 現希望用窗函數設計該濾波器，要求具有線性相位。濾波器系數的長度為29點，即M/2=141. 用矩形窗2. 利用Hamming窗 （胡 261 8.1）解：線性相位理想低通濾波器的頻率特性：(1) 矩形窗：窗函數：(2) 漢明窗(Hamming)：窗函數: 5.5 設計一個切比雪夫低通濾波器，要求通帶截至頻率，通帶最大衰減，阻帶截至頻率，阻帶最小衰減。求歸一化傳輸函數和實際的。（西電 193 2）解：(1)確定濾波器技術指標(2)求階數N和為了滿足技術指標取N=4。(3)求歸一化傳輸

4、函數，其中由教材給出算法求解出來后結果如下(4)將去歸一化，求得實際濾波器函數：其中因為所以。將兩對共軛極點對應的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數全為實數。也可以得到分母多項式形式。5.6 已知模擬濾波器的傳輸函數為1.2.試采用脈沖響應不變法和雙線性變換法分別將其轉換為數字濾波器，設T=2。(西電，194，5)解： 用脈沖響應不變法直接按脈沖響應不變法設計公式，Ha(s) 的極點為 s1=-12+j32 ，s2=-12-j32Has=-j32s-（-12+j32）+j32s-（-12-j32）Hz=-j321-e（-12+j32）Tz-1+j321-e（-12-j32）Tz-1將T

5、=2代入上式，得Hz=-j321-e-1+j3z-1+j321-e-1-j3z-1 =233z-1e-1sin（3）1-2z-1e-1cos3+e-2z-2 用雙線性變換法Hz=Hass= 2T 1-z-11+z-1 ,T=2=1(1-z-11+z-1)2+1-z-11+z-1+1 (2) 5.7 設計低通數字濾波器，要求通帶內頻率低于0.2 rad時，允許幅度誤差在1 dB之內；頻率在0.3到之間的阻帶衰減大于10 dB，試采用巴特沃斯型模擬濾波器進行設計，用脈沖響應不變法進行轉換，采用T=1ms。（西電 194 9）解：由巴特沃斯濾波器的單調下降特性，數字濾波器指標描述如下：采用脈沖響應不

6、變法轉換，所以，相應的模擬低通巴特沃斯濾波器指標為(1) 求濾波器階數N以及歸一化系統函數G(p):取N=5，查閱教材中的表可知模擬濾波器系統函數的歸一化低通原型為將部分分式展開：其中，系數為(2) 去歸一化求得相應的模擬濾波器系統函數。我們希望阻帶指標剛好，讓通帶指標留有富余量，所以求3dB截止頻率為(3) 用脈沖響應不變法將轉換成數字濾波器的系統函數H(z):5.8 要求同題5.7，試采用雙線性變換法設計數字低通濾波器。（西電 194 10）解：已知條件如下：數字濾波器指標：采用雙線性變換法，所以要進行預畸形變校正，確定相應的模擬濾波器指標(為了方便取)：(1) 求相應的模擬濾波器階數N：

7、取N=4，查閱教材中的表可知模擬濾波器系統函數的歸一化低通原型為(2) 去歸一化求得相應的模擬濾波器系統函數。(3) 用雙線性變換法將轉換成系統函數H(z):5.9 設計一個數字高通濾波器，要求帶通截至頻率 ，通帶衰減不大于3，阻帶截至頻率 ，阻帶衰減不小于18，希望采用巴特沃斯型濾波器。（西電194 11）解：確定數字高通濾波器技術指標：確定相應模擬高通濾波器技術指標。由于設計的是高通數字濾波器，所以應選用雙線性變換法，因此進行預畸形變校正求模擬高通邊界頻率(假定采樣間隔T=2 s)：將高通濾波器指標轉換成歸一化模擬低通指標：，得到低通歸一化邊界頻率為(本題)設計歸一化低通：得到歸一化低通濾波器：頻率變換，求模擬高通：用雙線性變換將轉換成H(z)：5.10 通過查表確定4階切比雪夫低通濾波器，要求截至頻率為2KHz，通帶波紋為3dB。答：略5.11 試推導截至頻率的理想低通濾波器的單位沖激響應h(n