1、Part 2 路面的力和變形經典路面力學分析Part2. 力和變形經典路面力學分析 1.路面力學分析的發展路基路路基路面力學面力學分析需分析需求求剛性路面柔性柔性路面路面1929洛夫圓形均布荷載下解（均勻體）洛夫圓形均布荷載下解（均勻體）1884赫茲的液體支承板理論1924奧爾德的板角懸臂梁理論1925威斯特卡德的理論解1885布辛布辛尼斯克尼斯克半空間半空間體理論體理論1938霍格、舍赫捷爾無限大板理論解1945波密波密斯特層狀斯特層狀體系理論體系理論1954福斯脫圓形均布荷載計算諾模圖（均勻體）福斯脫圓形均布荷載計算諾模圖（均勻體）19481959科崗等科崗等人使層狀解析理人使層狀解析理論

2、不斷完善論不斷完善19571962希夫希夫曼等人發展了曼等人發展了數值解法數值解法一系列彈性體系一系列彈性體系計算程序計算程序1960s后粘彈體系后粘彈體系理論和數值解法理論和數值解法很多有限尺寸板修正理論解彈性層狀體系數值解 2.軸對稱空間問題的一般解軸對稱空間問題的一般解 路面分析便于簡化為軸對稱空間問題路面分析便于簡化為軸對稱空間問題 荷載荷載 結構結構 還可進一步簡化為平面對稱問題還可進一步簡化為平面對稱問題 分析目的：分析目的： 解算荷載作用下的應力分量和位移分量解算荷載作用下的應力分量和位移分量 解決方法解決方法 彈性空間體結構分析彈性空間體結構分析 引入軸對稱簡化為柱坐標引入軸對

3、稱簡化為柱坐標 解算空間問題方程解算空間問題方程 得到應力分量和位移分量表達式得到應力分量和位移分量表達式1.軸對稱空間問題的方程軸對稱空間問題的方程xyzyzzyzxxzxyyx、xyzyzzxxy、 、uvw、 、空間問題共有15個未知函數：6個應變分量：3個位移分量：6個應力分量：15個函數應該滿足15個基本方程（用15個方程求解）：3個平衡微分方程（應力之間的關系）：個平衡微分方程（應力之間的關系）： 000000yzxzxxyzyxyyyzxzZzFXxyzFYyzxFZzxy6個幾何方程（應變和變形之間的關系）：個幾何方程（應變和變形之間的關系）： ,xyzyzzxxyuvwxyz

4、wvuwvuyzzxxy6個物理方程（應力與應變的關系）：個物理方程（應力與應變的關系）： ()11 2()11 2()11 2,2(1)2(1)2(1)()1 2 ()xxyyzzyzyzzxzxxyxyxyzxyzEeEeEeEEEeE1()1()1()2(1)2(1)2(1)xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyEEEEEE 或 直角坐標情況，轉換柱坐標直角坐標情況，轉換柱坐標：x =r cos ， y =r sin ， z = z空間軸對稱問題 彈性層狀體系空間軸對稱，在柱坐標中，微分單元體上，應力分量有三個法向應力（ ）和三對剪應力 當層狀體系表面作用軸對稱荷載時，各應力、

5、形變和位移分量也對稱于對稱軸，即它們僅是r 和的函數。因而 , ，三對剪應力只剩下一對。 由此可將柱坐標下的方程組化簡0rr0zz1.軸對稱空間問題的方程軸對稱空間問題的方程rzrrzzrzzr、rzrzrz、 、ruuuw= 、6個應變分量：3個位移分量：6個應力分量：15個函數應該滿足15個基本方程，空間軸對稱問題化簡為10個2個平衡微分方程： 4個幾何方程： 4個物理方程： 或 柱坐標空間軸對稱情況柱坐標空間軸對稱情況 00rrzrzrrzrzzrzrrrzrzururzurzzrzrrzzrzzrrEEEE1211111 211 211 22 1rrzzzzEEEE0110110111

6、20112222222222222zrrzrrrrrzrzrzrrr平衡微分方程中平衡微分方程中3個未知量，卻只有兩個方程，是一個超靜定問題為進一步求個未知量，卻只有兩個方程，是一個超靜定問題為進一步求解，引入變形協調方程解，引入變形協調方程/相容方程，表征變形連續性相容方程，表征變形連續性:222221zrrrzr拉普拉斯算子拉普拉斯算子P40，3-2由幾何方程消去由幾何方程消去u和和w，得變形協調方程：得變形協調方程：222222222212011110rzzrzzrrrrrrrzrrrzrzr zr zrzrz 再將物理方程再將物理方程代入上式，得代入上式，得變形協調方程變形協調方程的應

7、力表示式：的應力表示式：第一應力不變量第一應力不變量引入洛夫應力函數 ，洛夫應力函數表達為洛夫應力函數表達為: ),(zr2222222222121zrzzrrzrzrzzrzr根據前述方程已經可以解得各種分量，但這種解法相當困難，采用洛夫根據前述方程已經可以解得各種分量，但這種解法相當困難，采用洛夫（1925）提出的應力函數可以簡化計算）提出的應力函數可以簡化計算將洛夫應力函數表達式代入平衡微分方程和變形協調方程，除了平衡微分方將洛夫應力函數表達式代入平衡微分方程和變形協調方程，除了平衡微分方程的第一個公式恒等于程的第一個公式恒等于0外，其他的方程都轉化為重調和方程：外，其他的方程都轉化為重

8、調和方程：022如果應力函數是重調和方程的解，則能滿足平衡微分方程和變形協調方程。因此，只要根據重調和方程求得應力函數，就能計算各應力分量。只要根據重調和方程求得應力函數，就能計算各應力分量。解重調和方程可以采用分離變量法或漢克爾積分變換法，習慣上采用較為簡單的后者路面力學計算路面力學計算P40，式，式3-3式式3-32.應用漢克爾積分變換求解重調和方程應用漢克爾積分變換求解重調和方程（1）形如下式的微分方程稱為貝塞爾方程，其解含有貝塞爾函數（）形如下式的微分方程稱為貝塞爾方程，其解含有貝塞爾函數（Jn，n=0,1,2）：）：（含有拉普拉斯算子的方程常能展開成貝塞爾方程，（含有拉普拉斯算子的方

9、程常能展開成貝塞爾方程，重調和方程變化成貝塞爾方程之后重調和方程變化成貝塞爾方程之后求解，應將應力函數表達成貝塞爾函數）求解，應將應力函數表達成貝塞爾函數）22222()0d ydyxxxnydxdx（2）按照傅里葉定理，在任意區間滿足收斂的函數可以展開成傅里葉級數）按照傅里葉定理，在任意區間滿足收斂的函數可以展開成傅里葉級數,在無限區間時在無限區間時可寫成無窮積分的形式：可寫成無窮積分的形式：()1( )( )2ixf xdfed0000( )()( )()f rJrdfJd （3）若函數）若函數f(r)能按照貝塞爾函數的積分形式展開如下（適合于二維傅里葉積分在一定條能按照貝塞爾函數的積分形

10、式展開如下（適合于二維傅里葉積分在一定條件下按極坐標展開）：件下按極坐標展開）：0000( )( )()( )( )()ff r Jr rdrf rfJrd 則變換式成立：則變換式成立：兩式互為反演，互稱為對兩式互為反演，互稱為對方的漢克爾積分變換式。方的漢克爾積分變換式。且且0階可以推廣到階可以推廣到n階階傅里葉級數的指數表傅里葉級數的指數表達式。達式。P30，式，式2-111,P32，式，式2-1142.應用漢克爾積分變換求解重調和方程應用漢克爾積分變換求解重調和方程（5）推廣到帶有拉普拉斯算子的形式：）推廣到帶有拉普拉斯算子的形式：0022120220220()()()ddJrddrdr

11、JrdrrJrdzz 222222202022222220201( , )( , ) ()1( , )( , ) ()r zr zrrrzJrdzr zr zrrrzJr rdrz （4）推廣到洛夫應力函數的漢克爾積分變換式為：）推廣到洛夫應力函數的漢克爾積分變換式為：0000( , )( , )()( , )( , )()zr z Jr rdrr zz Jrd 其中其中為引入積分參變量為引入積分參變量P35，式，式2-136,2-137積分變換法求解問題的步驟：1）.對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變為常微分方程2）.對定解條件做相應的積分變換，導出新方程變為定解條件3）.對常微分方程，求

12、原定解條件解的變換式4）.對解的變換式取相應的逆變換，得到原定解問題的解2.應用漢克爾積分變換求解重調和方程應用漢克爾積分變換求解重調和方程經過上述的準備工作，已經可以將偏微分方程偏微分方程變為常微分方程常微分方程244222200020002222220220( , )( , )()()()( , )()( , ) ()( , )()()( , )0dr zrr z Jr drrJr drrr z Jr drr zdzddrr z Jr drzdzdz 按一般方法解這個常微分方程常微分方程(四階齊次線性貝塞爾方程四階齊次線性貝塞爾方程)，其通解形式為：( , )()()zzzAB z eCD

13、 z e 根據漢克爾積分變換反演：00( , )()()()zzr zJr dAB z eCD z e式中式中是引入的參變量，是引入的參變量，A 、B 、C 、D 都是都是的函數，值由邊界和層間結合條件來確定的函數，值由邊界和層間結合條件來確定P433-11a3.軸對稱空間問題的精確解軸對稱空間問題的精確解當然也可以按照應力函數的微分關系求得應力、應變、位移的一般表達式（將應力函數微分關系式代入前述洛夫應力函數的定義式，位移分量通過幾何方程積分得到）：323013002220120032030222120201()()(1)1()()(1)(2)()(1)()1rzzrdddJr dJr dr

14、dzdzdzdddJr dJr ddzdzrdzddJr ddzdzdJr ddzuE 122020()1(12)2(1)()Jr dzJr dEz 223223(1)(1)(2)(2)(3)(3)zzzzzzdAz BCz DeedzdAz BCz DeedzdAz BCz Deedz ( , )()()zzzAB z eCD z e 又又代入應力、應變一般表達式代入應力、應變一般表達式P45，3-173.軸對稱空間問題的精確解軸對稱空間問題的精確解000000101()(12)(12)12()()()(1 2)(1 2)()(2)(2)11(24zzrzzzzzzzzreeJr dUAz

15、BCz DrBeDeJr dUreeJr dAz BCz DeeJr dAz BCz DuUEAE 00()(24)zzeeJr dz BCz D式中：式中：323210,()(1)(1)zzAA BB CCDDUeeJr dAz BCz D上述上述6式為應力與位移分量的一般表達式，它適用于任何類型的軸對稱空間問題。式為應力與位移分量的一般表達式，它適用于任何類型的軸對稱空間問題。今后對解決某一軸對稱的具體問題，只要根據其邊界條件和層間結合條件求得今后對解決某一軸對稱的具體問題，只要根據其邊界條件和層間結合條件求得A、B、C、D，就能獲得該課題的全部，就能獲得該課題的全部精確解精確解。P46,

16、3-184.應力和位移分量的數值解應力和位移分量的數值解貝塞爾函數是數學上的一類特殊函數的總稱，整數階的貝塞爾函數可以展開成級數級數（其具有波動衰減特性（其具有波動衰減特性收斂，則可近似計算）或用無窮積分表示。收斂，則可近似計算）或用無窮積分表示。2246022222( )( 1)!()!(1)!2!(2)!3!(3)!nknnnnknkxxxxxJxk nknnnn當宗量（當宗量（x）的大小確定，函數的階數確定時，可采用一系列的近似公式計算。如）的大小確定，函數的階數確定時，可采用一系列的近似公式計算。如路路面力學計算面力學計算P16-24：3.3.軸對稱空間問題解在彈性半無限空間體的推廣軸

17、對稱空間問題解在彈性半無限空間體的推廣 1.彈性半空間體問題及推廣xyxyyzzxzuvw軸對稱空間彈性體問題，假定在點軸對稱空間彈性體問題，假定在點o附近有組附近有組很小的面力，它的分布不明確，但等效于集很小的面力，它的分布不明確，但等效于集中力中力P，在，在o點處力的平衡方程為：點處力的平衡方程為：022222220/zrdrPRrzxyzr ztg2.集中荷載作用下Boussinesq 解22225222533(1 2 )()23P2(1(1 2(1)2()(1 2 )22)23132zrrzPzRRRRzrzRPrzuERRRzPzwEPRPRr zRRRzRzR 藍色藍色、綠色綠色和

18、和紅紅色色是最關心的三是最關心的三個解個解P53，4-4P50，ab兩個邊界條件，引入力的平衡條件兩個邊界條件，引入力的平衡條件c，引入洛夫位移函數，引入洛夫位移函數d。代入。代入3-18，求得，求得ABCD四個待定系數，得到式四個待定系數，得到式4-4：2.集中荷載作用下Boussinesq 解352 5/222331221 ( / ) zP zPPKRr zzzK-集中力作用下的應力分布系數22(1)2(1)2PzwERR20,0(1)zrPwEr集中荷載下任意位置處的豎向應力：集中荷載下任意位置處的豎向應力：集中荷載下水平邊界（表面）的變形：集中荷載下水平邊界（表面）的變形：3.任意斜向

19、軸對稱荷載作用下的解P55，abcd四個邊界條件代入式3-18，消去待定系數ABCD得到式4-8(P56): 公式公式4-8可以推廣到圓形均布、半球形、碗形等其他與實際輪載作用更接近的軸對稱可以推廣到圓形均布、半球形、碗形等其他與實際輪載作用更接近的軸對稱荷載，見路面力學分析教材第四章荷載，見路面力學分析教材第四章P57-584.圓形均布荷載下的力和變形彈性半空間體上為圓形均布荷載時，可按集中荷載的解，由積分法求出應力與位移分量，也可直接由任意斜向軸對稱荷載公式推出4圓形均布荷載下的力和變形 1柔性板軸對稱解3z22 1.53220.522 1.5220.5220.51()2(1)122()(

20、)(1)1 2()()rzqazqzzazazqaawazzEaza2max(0,0)2(1)zrqawE4圓形均布荷載下的力和變形 2剛性板軸對稱解220.52220.52( ) , 2()2 ()(1)2zqaPq rqaraqaarqawE 2max(0)2(1)4zqawE5.半空間問題解的實際應用 如果路面與土基的模量比接近1，例如很薄的瀝青面層和很薄的粒料基層，應用該理論可以確定土基的應力、應變和撓度 如果路面與土基的模量比相差較大，則可以采用平平均模量法均模量法或路面當量厚度路面當量厚度法將其換算為一層，從而可以求算變形。但求得應力（尤其是我們關心的層底幅向應力）不準確 當為雙輪

21、荷載時，可按柔性板分別計算后疊加得到應力、應變和撓度。（注意：課件中給出公式都為ra的情況，疊加計算需要采用ra的解，具體可參考朱照宏-路面力學計算）4.4.軸對稱空間問題解在層狀體系的推廣軸對稱空間問題解在層狀體系的推廣1.基本假定基本假定 各層材料均質，連續、各向同性、完全彈性 路基路面體系的位移微小 路面各層有確定的厚度，在水平方向假定是無限大的。土基在水平和深度方向都是無限大的。 不考慮路面自重對應力的影響 路面和土基水平方向無限遠處，應力、應變和位移等于零。土基無限深處，應力、應變和位移等于零。 層間接觸情況，或者完全連續或者完全滑動2.任意斜向荷載作用下雙層體系的解為建立邊界條件引

22、入脫離體結構（為建立邊界條件引入脫離體結構（1代表上層，代表上層，0代表下代表下層）層） 邊界條件2.任意斜向荷載作用下雙層體系的解上層表面上層表面( )( )zzhzrzhq rs r 0001000100( )( )zzzrzzzzzp rg ruuww 層間結合處層間結合處由邊界條件，按由邊界條件，按P126介紹的方法求出待定系數介紹的方法求出待定系數ABCD，再將待定系數代入，再將待定系數代入3-18可得到可得到上層上層應力與位移分量表達式。應力與位移分量表達式。P127給出了兩個位移分量表達式（式給出了兩個位移分量表達式（式7-1和和7-2）。）。由層間邊界條件和已經求得的由層間邊界

23、條件和已經求得的ABCD，取得，取得p（r）和）和g（r）的表達式，將）的表達式，將 其代入其代入4-8，得到得到下層下層內任一點的解析表達式內任一點的解析表達式。 P128給出垂直應力給出垂直應力zz表達式（式表達式（式7-3）。）。2.圓形垂直荷載作用下雙層連續體系圓形垂直荷載的漢克爾圓形垂直荷載的漢克爾積分變換式（積分變換式（P57-58，式式4-10）：）：代入代入任意斜向荷載作用下ABCD表達式（P127），得到式7-4：2.圓形垂直荷載作用下雙層連續體系再將再將7-4代入代入3-18，令，令h=x得得上層上層應力與位應力與位移分量表達式（移分量表達式（7-5）：）：將將荷載的漢克爾

24、積分變換式代入荷載的漢克爾積分變換式代入未知反力積分變換式，得未知反力積分變換式，得7-6：2.圓形垂直荷載作用下雙層連續體系將將7-6代入代入4-8，得到圓形垂直荷載，得到圓形垂直荷載下層下層應力和位移分量表達式應力和位移分量表達式7-7：2.圓形垂直荷載作用下雙層連續體系按按P58，4-11，若荷載為圓形垂直均布。則，若荷載為圓形垂直均布。則m=1貝塞爾函數為貝塞爾函數為1階：階：得到雙層連續體系圓形均布荷載下的解。其中垂直位移分量列于本科教材（程）得到雙層連續體系圓形均布荷載下的解。其中垂直位移分量列于本科教材（程）P382的式的式14-152211122201010101102(1)(

25、 )2414(34)(34)34(34) 11(1)(1)xxxxpaJ xexMewDxExMLMeLexmLmmMmEmE本科教材本科教材（程）（程）P382的式的式14-15雙層滑動體系的解在P134-136，7-8和7-9，此處不再贅述。在此我們還可以看出，雙層均布荷載下的解與荷載作用半徑與層厚之比（貝塞爾函數中的a/h），以及相鄰層間模量比（m變量）相關。這和我們在本科生階段反復強調的結構組合原則相關。3.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數值解圓形垂直荷載作用下雙層體系的數值解取各種應力分量和位移取各種應力分量和位移分量的系數表達式：分量的系數表達式：7-11c(連連續結構上續結構上層豎

26、向應層豎向應力力)7-12c（連（連續結構下層續結構下層豎向應力）豎向應力）計算雙層體系在圓形軸對稱垂直荷載作用下的應力和位移值?？刹捎眯疗丈╯impson）公式或高斯積分公式等數值積分方法。但是計算工作量很大，用人工計算十分困難，故一般可以用電子計算機來完成這些計算工作。同時通常也進行一定程度的簡化。貝塞爾函數可以按上節所述展開3.圓形垂直荷載作用下雙層體系的數值解圓形垂直荷載作用下雙層體系的數值解上述的計算工作仍然難以完成，可將計算結果繪制成諾模圖求解（如本科上述的計算工作仍然難以完成，可將計算結果繪制成諾模圖求解（如本科教材教材p383,14-16）：）：更多情況下可直接使用應用程序求解。典型殼牌更多情況下可直接使用應用程序求解。典型殼牌BISAR3.0 黃仰賢黃仰賢KENLAYER，我國，我國APDS/HPDS等等 BISAR 對應殼牌瀝青路面設計法,用于分析力和變形 BISAR1.0發布于1978 年 1995 年發布DOS 版本的 BISAR2.0 1998年發布windows 版本的 BISAR3.0 BISAR3.0只能用于windows NT4.0以前版本（98、2000、me等）5.5.路面力學分析應用軟件路面力學分析應用軟件主菜單子菜單輸出KENPAVE美黃仰賢教授開發80年代末發布DOS版本基于FORTRAN,開放式版本，代碼可修