1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題九 數(shù)學(xué)思想方法精析第一講函數(shù)與方程思想Z 一、函數(shù)思想就是用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，并用函數(shù)的解析式將其表示出來，從而通過研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，使問題獲解二、方程思想就是分析數(shù)學(xué)中的變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，轉(zhuǎn)化為對方程的解的討論， 從而使問題獲解三、函數(shù)思想與方程思想聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函數(shù)yf(x)的正(或負(fù))區(qū)間，再如方程f(x

2、)g(x)的解的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)的交點問題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)g(x)與x軸的交點問題，方程f(x)a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要 例1 (1)已知f(x)log2x，x2,16，對于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實數(shù)m，使x2mx4>2m4x恒成立的實數(shù)x的取值范圍為( D )A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)解析因為x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx4>2m4x恒成立，即為m(x2)(x2)2>0恒成立設(shè)g(m)(x2)m(x2)2，則此函數(shù)在區(qū)間1,4

3、上恒大于0，所以即解得x<2或x>2.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增若實數(shù)a滿足f(2|a1|)>f()，則a的取值范圍是(，).解析由f是偶函數(shù)且f在上單調(diào)遞增可知，f(x)在上單調(diào)遞減又因為f>f，ff，所以2<，即<，解得<a<.規(guī)律總結(jié)函數(shù)與方程思想在不等式問題中的應(yīng)用要點(1)在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的最值解決問題(2)要注意在一個含多個變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化一般地，已知范圍的量為變量，而待求范

4、圍的量為參數(shù)G 1(2018·太原一模)定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，滿足f(x)>f(x)，且f(0)1，則不等式<1的解集為( B )A(，0)B(0，)C(，2) D(2，)解析構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x).由題意得g(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減又因為g(0)1，所以<1.即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集為(0，)2若不等式x2ax10對一切x(0，恒成立，則a的最小值為( C )A0B2CD3解析因為x2ax10，即a(x)，令g(x)(x)，當(dāng)0<x時，g(x)(x)遞增，g(x)

5、maxg()，故a，即a的最小值為. 例2 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意xR，都有f(x4)f(x)，且當(dāng)x2,0時，f(x)()x6.若在區(qū)間(2,6內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)loga(x2)0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是(，2).解析由f(x4)f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4，因為當(dāng)x2,0時，f(x)()x6.所以若x0,2，則x2,0，則f(x)()x63x6，因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)3x6f(x)，即f(x)3x6，x0,2，由f(x)loga(x2)0得f(x)loga(x2)，作出函數(shù)f(x) 的圖象如圖當(dāng)a>1時，要使方程

6、f(x)loga(x2)0恰有3個不同的實數(shù)根，則等價于函數(shù)f(x)與g(x)loga(x2)有3個不同的交點，則滿足即解得<a<2，故a的取值范圍是(，2)規(guī)律總結(jié)利用函數(shù)與方程思想解決交點及根的問題的思路(1)應(yīng)用方程思想把函數(shù)圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，應(yīng)用函數(shù)思想把方程根的問題轉(zhuǎn)論為函數(shù)零點問題(2)含參數(shù)的方程問題一般通過直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)化為函數(shù)解決G 已知函數(shù)f(x)xcosx，則方程f(x)所有根的和為( C )A0BCD解析f(x)xcosx，f (x)sinx，當(dāng)x(，)時，sinx>，f (x)sinx>0，f(x)xcosx在(，)上是增

7、函數(shù)f()cos，在區(qū)間(，)上有且只有一個實數(shù)x滿足f(x).當(dāng)x時，有x，cosx1，x時，f(x)xcosx1<，由此可得：當(dāng)x時，f(x)沒有實數(shù)根同理可證：x時，f(x)1>，方程f(x)也沒有實數(shù)根綜上可知f(x)，只有實數(shù)根.故選C 例3 直線ya分別與曲線y2(x1)，yxln x交于點A，B，則|AB|的最小值為( D )A3B2CD解析當(dāng)ya時，2(x1)a，所以x1.設(shè)方程xln xa的根為t，則tln ta，則|AB|.設(shè)g(t)1(t>0)，則g(t)，令g(t)0，得t1，當(dāng)t(0,1)時，g(t)<0；當(dāng)t(1，)時，g(t)>0，所

8、以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值為.規(guī)律總結(jié)求最值或參數(shù)范圍的技巧(1)充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式(組)求解(2)充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后應(yīng)用函數(shù)知識求解(3)當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造方程再利用方程知識使問題巧妙解決(4)當(dāng)問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù)G 如圖，A是單位圓與x軸的交點，點P在單位圓上，AOP(0<<)，四邊形OAQP的面積為S，當(dāng)·S取得最大值時的值為( B )ABCD解析(1,0)，(cos

9、，sin)，·Scossinsin()，故·S的最大值為，此時.故選B 例4 橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，短軸長為，離心率為，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且3.(1)求橢圓C的方程；(2)求m的取值范圍解析(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，設(shè)c>0，c2a2b2，由題意，知2b，所以a1，bc.故橢圓C的方程為y21，即y22x21.(2)設(shè)直線l的方程為ykxm(k0)，l與橢圓C的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B2(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4

10、(k22m22)>0，(*)x1x2，x1x2，因為3，所以x13x2.所以則3(x2x2)24x1x20，即3·()24·0，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0，當(dāng)m2時，上式不成立；當(dāng)m2時，k2，由(*)式，得k2>2m22，又k0，所以k2>0，解得1<m<或<m<1，即所求m的取值范圍為(1，)(，1)規(guī)律總結(jié)利用判別式法研究圓錐曲線中的范圍問題的步驟第一步：聯(lián)立方程第二步：求解判別式.第三步：代換利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個等量關(guān)系，將其代換第四步：下結(jié)論將上述等量代換式代入>0或0中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍G 若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a>0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為( B