1、圓外切四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用01 雙心四邊形，外心為O，外接圓半徑為R，內(nèi)心為P，內(nèi)切圓半徑為r，OI = h證明 + = 證：如圖，分別過K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂線交于A、B、C、D LCM = 180°LPM = PLM + PML = (MLK + LMN), KAN = (LKN + KNM) A、B、C、D四點(diǎn)共圓我們?cè)O(shè)其半徑為r，易證 B、P、D；A、P、C分別三點(diǎn)共線 r = PL sin b = PB sin a sin b = PB·, PC·AP = r 2d 2 (d為ABCD的外心記為W與P的距離)又易證ACBD， = 

2、2; r = 延長(zhǎng)NP交BC于T，易證T為BC中點(diǎn)(卜拉美古塔定理) WTPS, WSPTWTPS中，4O¢T 2 = PS 2 + OS 2d 2 = 2r 2d 2又 O¢N = Þ O¢為KLMN的外心(即為O)且 R = ，h = d 由得 = = = + 02 證明圓外切四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)E、F與圓心O共線證：沿用上題的記號(hào)，對(duì)點(diǎn)X、Y、Z，用d(X, YZ)表示X到Y(jié)Z的距離設(shè)O半徑為r，BAD = 2a, ABC = 2b, BCD = 2g, CDA = 2d，則 a, b, g, d均為銳角且 a + b + g +

3、 d = p sin a, sin b, sin g, sin d > 0連結(jié)EF (若E與F重合，則結(jié)論顯然成立，以下設(shè)E與F不重合)在線段EF上取點(diǎn)O¢使 = 連OA、OD、OG (F為O與AD相切處)，則 OGAD, AG = OG cot a = r cot a, GD = OG cot d = r cot d故AD = r(cot a + cot d) d(A, CD) = r(cot a + cot d) sin 2d d(E, CD) = sin 2d (cot a + cot d)r = sin d cos d (cot a + cot d)r = (sin d

4、 cos d cot a + cos 2 d )r = (sin d cos d cot asin 2 d )r + r = sin d·r + r = ( + 1)r同理 d(F, CD) = ( + 1)r由 = 知 d(O¢, CD) = = r + r= r (因?yàn)?a + b + g + d = p，所以 cos (a + d) + cos (b + g) = 0)同理 d(O¢, AB) = d(O¢, BC) = d(O¢, DA) = r O¢與O重合，故知結(jié)論成立，證畢03 已知ABC，在BC、CA、AB上分別取點(diǎn)D

5、、E、F使四邊形AEDF、BDEF、CDEF均為圓外切四邊形求證AD、BE、CF三線共點(diǎn)證：作DEF內(nèi)切圓w，切EF、FD、DE于P、Q、R又設(shè)ABC內(nèi)切圓為I，AEF內(nèi)切圓為w1記w1、w、I半徑分別為R1, R, r由AEDF為圓外切四邊形知AF + DE = AE + DF FPPE = FDDE = FAAE w1切EF于P， w1與w外切， w1、P、w 三點(diǎn)共線另一方面，易知A、w1、I三點(diǎn)共線延長(zhǎng)AP交Iw于T，則對(duì)Iww1與截線AP用梅氏定理知 = 1注意到 = ，上式 Û = 1，即 = T為線段wI上一個(gè)定點(diǎn)， AP、BQ、CR三線共點(diǎn)于T由塞瓦定理知 = 1再用

6、角平分線定理知上式 Û = 1將FP = FQ, EP = ER, DQ = DR代入得 = 1由塞瓦定理即知 AD、BE、CF三線共點(diǎn)，得證04 四邊形ABCD既可外切于圓，又可內(nèi)接于圓，并且ABCD的內(nèi)切圓分別與它的邊AB、BC、CD、AD相切于點(diǎn)K、L、M、N，四邊形的A和B的外角平分線相交于點(diǎn)K¢，B和C的外角平分線相交于點(diǎn)L¢，C和D的外角平分線相交于點(diǎn)M¢，D和A的外角平分線相交于點(diǎn)N¢證明，直線KK¢、LL¢、MM¢、NN¢經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)證：如圖，設(shè)BCD的內(nèi)切圓圓心為I，BAI = IAD

7、= a, ABI = CBI = b, BCI = DCI = g, CDI = ADI = I半徑為r由ABCD還有外接圓可得 a + g = b + = K¢AB = g = N¢AI (由于K¢N¢為A外角平分線)，且A、K¢、B、I四點(diǎn)共圓，AB = r(cot a + cot B) = 即 = AK¢ = 同理 AN¢ = K¢N¢ = = ，K¢N¢AI而KNK¢N¢且 = 2r sin g 且KNAI KNK¢N¢且 = 2 sin

8、 a sin b sin sin g同理可得 MNM¢N¢, = 2 sin a sin b sin sin g, MLM¢L¢, = 2 sin a sin b sin sin g, LKL¢K¢, = 2 sin a sin b sin sin g于是四邊形KLMN與四邊形K¢L¢M¢N¢位似，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線K¢K、L¢L、M¢M、N¢N共點(diǎn)于位似中心，得證05 設(shè)凸四邊形ABCD外切于O，圓心O在對(duì)角線BD上的射影為M求證BD平分AMC證：設(shè)O在ABC

9、D四邊切點(diǎn)為A1、B1、C1、D1不妨設(shè)O半徑為1，以O(shè)為原點(diǎn)建立復(fù)平面，則O為單位圓令A(yù)1、B1、C1、D1所代表的復(fù)數(shù)為a, b, c, d，則由熟知結(jié)論可知 D = , A = , B = , C = 注意到過BD直線方程為 (BD )x + BD = (BD)x + B D將B、D代入化簡(jiǎn)得 (c + dab)x ab(c + d)cd(a + b)x = 2cdab 又過O且垂直于BD直線方程為 + = 0將B、D代入化簡(jiǎn)得 (c + dab)x + ab(c + d)cd(a + b)x = 0 得 x = ，此即為M的復(fù)數(shù)表示，M = 又 AMC被BD平分 Û AMD

10、= DMC Û Î R Û = 將A、B、C、D、M代入得 = = = 注意到 = = 比較知僅需證 4abcd(c + dab) 22(c + dab)(cdab)bc(a + d) + ad(b + c) = 4ab(c + d)cd(a + b) 22ab(c + d)cd(a + b)(abcd)(a + b + c + d) Û 2abcd(c + d) 2 + 2abcd(a + b) 24abcd(a + b)(c + d) + ab(c + d)cd(a + b)(abcd)(a + b + c + d) = 2a 2 b 2 (c +

11、d) 2 + 2c 2 d 2 (a + b) 24abcd(a + b)(c + d) + (c + dab)(cdab)(abc + abd + bcd + acd) Û 2(abcd)ab(c + d) 2cd(a + b) 2 = (abcd)ab(c + d)cd(a + b)(a + b + c + d) + (c + dab)ab(c + d) + cd(a + b) Û 2ab(c + d) 22cd(a + b) 2 = ab(c + d)(a + b) + ab(c + d) 2cd(a + b) 2cd(c + b) + ab(c + d) 2(a +

12、 b)ab(c + d) + cd(a + b)(c + d)cd(a + b) 2 Û 2ab(c + d) 22cd(a + b) 2 = 2ab(c + d) 22cd(a + b) 2，得證06 雙心四邊形ABCD，ACBD = E，內(nèi)、外心為I、O求證I、O、E三點(diǎn)共線證：引理：圓外切四邊形ABCD，切點(diǎn)為M、N、K、L，則AC、BD、MK、NL四線共點(diǎn)引理的證明：設(shè)ACKM = G，LNKM = G¢，由正弦定理得 = = = 同理 = = = = 即G = G¢故AC、NL、KM三線共點(diǎn)同理BD、KM、LN三線共點(diǎn)，引理得證回到原題：切點(diǎn)仍記為K、L

13、、M、N，由引理KMLN = E以I為中心，(KNM)為反演圓作反演，A¢、B¢、C¢、D¢分別為KLMN四邊中點(diǎn)由B¢C¢KMA¢D¢, A¢B¢NLD¢C¢知A¢B¢C¢D¢為平行四邊形而A、B、C、D共圓知A¢、B¢、C¢、D¢共圓，A¢B¢C¢D¢必為矩形，其中心設(shè)為Q，且有KMLN由反演性質(zhì)知Q、I、O三點(diǎn)共線設(shè)LN、KM中點(diǎn)為P、R，則 = (+

14、 + + ) = (+ + + ) = (+ )由垂徑定理知PIRE為矩形從而+ = = ，即I、Q、E三點(diǎn)共線，從而O、I、E三點(diǎn)共線平面幾何中兩個(gè)重要定理引理1:凸四邊形ABCD有內(nèi)切圓當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)（圖） 引理2:凸四邊形ABCD在角C有旁切圓當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)（圖）題目1:已知A,B,C,D為平面上四點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不共線,且CB-CA=DA-DB.設(shè)線段AD與線段BC相交于G,分別過A,B作AE/BD,BF/AC交直線BC,AD于點(diǎn)E,F.證明:EB-EA=FA-FB.證明一:設(shè)因?yàn)?所以 要證即證由余弦定理知,即 已知條件CB-CA=DA-DB.故證明二:記 由正弦定理知,已知條件等價(jià)于 由正弦定理知,要證明的結(jié)論等價(jià)于 因此,命題成立. 證明三:設(shè)凸四邊形GCQD在角G有旁切圓(引理2)(引理2)(平行四邊形AQBP中,)凸四邊形PAGB有內(nèi)切圓(引理1)(引理1).題目2:已知記為的邊BC的旁切圓.任意選取一條平行于BC的直線分別交線段AB,AC于點(diǎn)D,E.記的內(nèi)切圓為.過點(diǎn)D,E作的切線(不過點(diǎn)A)交于點(diǎn)P;過B,C作的切線(不過點(diǎn)A)交于點(diǎn)Q.證明: 無論如何選取直線直線PQ總過定點(diǎn).題記:本題是2009年捷克波蘭斯洛伐克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題3(見2010年中等數(shù)學(xué)增刊).利用引