1、部分壓開井滲流井底瞬時壓力計算摘要:論文將實際的垂直裂縫井簡化成裂縫高度小于地層有效厚度的矩形,在此基礎上采用乘積解給出該問題滲流的地層壓力及井底瞬時壓力（詳見）. 使用Laplace 變換技術,給出考慮井筒存儲及表皮系數的部分壓裂垂直裂縫井在Laplace 空間上的井底壓力解,最后通過Laplace 數值反演給出考慮井筒存儲及表皮系數的部分壓開垂直裂縫井無量綱壓力及導數.1、引言水力壓裂是開發低滲油氣藏的重要措施之一. 在對油氣藏進行水力壓裂時,一般認為油層埋藏深度在1 000 m 以下的裂縫是垂直裂縫,為了評價垂直裂縫井的壓裂效果,就必須對垂直裂縫井的井底壓力進行分析.垂直裂縫井由于計算模

2、型復雜,所以目前對所有的垂直裂縫井井底瞬時壓力都假設垂直裂縫的高度與油層有效厚度相等,即認為是完全壓裂油層. 在此假設下,垂直裂縫井井底瞬時壓力的求解方法比較成熟1,2,3 . Gringarten4等人用誤差函數給出了無限大地層均勻流量型垂直裂縫和無限傳導型垂直裂縫井的瞬時地層壓力,同時給出了時間較小時和時間較大時的井底瞬時壓力漸近解. Cinco-ley5等人將滲流方程變成一組積分方程,然后采用數值方法求解積分方程,得到了裂縫內壓力和流量的數值解. Cinco-ley6,7等人進一步研究了有限傳導垂直裂縫,提出了有限傳導垂直裂縫雙線性流模型,考慮井筒存儲(C) 及表皮系數(S) , 利用L

3、aplace 變換及數值反變換技術,得到了雙線性流模型下考慮無量綱井筒存儲(CD) 及表皮系數(S) 和不考慮CD 、S 有限傳導垂直裂縫井底瞬時壓力及其導數解.Lee8發展了Cinco-ley 等人的有限傳導垂直裂縫雙線性流模型,提出了考慮井筒存儲、表皮系數和裂縫存儲的有限傳導垂直裂縫三線性流模型,同樣利用Laplace 變換及數值反變換技術,得到了三線性流模型有限傳導垂直裂縫井底瞬時壓力及其導數解. 針對有界地層垂直裂縫井這一難題,給出了考慮井筒存儲、表皮系數的有界地層垂直裂縫井井底瞬時壓力及其導數解.上述所有的模型及方法都是基于垂直裂縫的高度與油層有效厚度相等這一假設. 然而,實際水力壓

4、裂井垂直裂縫形狀往往非常不規則,垂直裂縫的高度與地層有效厚度也并不相等,實際的垂直裂縫在井壁附近的高度與地層有效厚度近似相等. 隨著裂縫半長的增加垂直裂縫高度小于地層有效厚度,形成“舌形”,如圖1 所示. 圖1 實際垂直裂縫形狀 圖2 部分壓開垂直裂縫井模型本文針對實際垂直裂縫復雜的形狀,將垂直裂縫簡化成矩形且假設垂直裂縫高度小于地層有效厚度,即部分壓裂垂直裂縫井(如圖2 所示) . 在此基礎上給出井底瞬時壓力解,同時考慮井筒存儲及表皮系數對井底瞬時壓力的影響.2、數學模型及求解在對油井實施水井壓裂，如果產生垂直裂縫，則不可能是理解的情況，即垂直裂縫高度與油藏有效厚度相等，而多數垂直裂縫形狀是

5、不規則的，為比較真實地反應實際情況，假定裂縫為矩形且垂直裂縫的高度小于油藏有效厚度，我們稱之為部分壓裂垂直裂縫井。對于這種情況下的井底壓力計算采用以下圖形表示，如圖2所示。 （1） （2） （3） （4） （5）對于微可壓縮的流體,地層壓力與流體密度之間為線性關系. 從圖2 可以看出: x 、y 方向為無限大, z 方向有界,而密度方程及定解條件都為線性. 則可以使用乘積解給出無限大地層中,該模型無表皮及井筒儲存情況下的壓力分布,如下式所示:（6）其中: 為徑向導壓系數, 為垂向導壓系數.為使方程的解更加簡潔,需要定義如下無量綱參數:式中: kr 、kz 分別為徑向與垂向地層滲透率(m2) ;

6、 b、xf 、zw 分別為垂直裂縫半高、垂直裂縫半長、垂直裂縫(位置見圖2,m) ; q 為油氣井地面產量(m3/ d) ; 為地層條件下的流體粘(mPa·S) ; 為地層孔隙度; Ct 為地層綜合壓縮系數(1/MPa) ; h 為地層有效厚度(m) .通過以上無量綱量,可以得到無量綱壓力（8）其中: 分別是無量綱形式函數,表達式如下:石油工程中人們關心的是井底壓力,對于無限大地層的垂直裂縫井,可采用均勻流量及無限傳導的假設,對均勻流量垂直裂縫取方向取平均值. 對方程(8) 在ZD 方向取其平均值得到井底瞬時壓力 （9）式中如果考慮井筒存儲及表皮系數,則井底壓力PWD 可表示成（10

7、）對方程(10) 進行Laplace 變換,最終得到Laplace 空間上的井底壓力為 （11）其中: 是PfD 的Laplace 空間上的解; u 為Laplace 空間的變量; 為無量綱井筒存儲系數; S 為表皮系數.3 解的結果及討論對Laplace 空間上的井底壓力進行Laplace 數值反演,可以得到實際空間上的井底無量綱壓力及導數,圖3 為考慮井筒存儲及表皮系數的均勻流量型垂直裂縫壓力及其導數雙對數圖,圖4 為該參數下井底無量綱壓力半對數圖. 圖3 及圖4 的計算參數都為 CD =0.01 , S = 1 , ZWD = 0. 682 5 , BD = 0. 365 , hD =

8、1600. 從圖3 及圖4 可以看出:圖3 雙對數壓力及導數圖 圖4 無量綱井底壓力半對數圖1) 當無量綱時間較小時,無量綱壓力與導數雙對數圖重合,且斜率為1 的直線段,表明受井筒存儲影響;2) 無量綱時間在110 范圍內,由于受裂縫壁面的污染影響,存在井筒存儲段向裂縫線性流段過渡;3) 無量綱時間在10100 范圍出現裂縫線性流段,在井底無量綱導數雙對數圖上表現為斜率為存在一條1/ 2 的直線段.4) 無量綱時間在102104 時間段時,是假定油藏有效厚度為b 時的徑向流段, 在井底無量綱導數雙對數圖上表現為數值為1 (2BD) 的水平線段. 在井底無量綱壓力的半對數圖上有一條直線段,如圖4

9、 中的虛線.5) 無量綱時間在104105 時間段,為部分壓開時的流動特征,在井底無量綱導數雙對數圖上表現為存在斜率為- 1/ 2 直線段,即部分壓開的球形流段.6) 無量綱時間大于105 的時間段為地層的總徑向流動段,在井底無量綱導數雙對數圖上表現為數值為0. 5 的水平線段. 在井底無量綱壓力的半對數圖上有一條直線段,該直線段與第一條直線段相交,該直線段的斜率是第一條直線段斜率的2BD 倍, 如圖4 中的實線.我們可以從上述方程的精確解中,得到部分時間段下井底無量綱壓力的漸近解. 當無量時間較小時,即當tD 0 時,Laplace 變換的變量u , 方程(11) 可近似簡化成 （12）對方

10、程(12) 進行Laplace 變換,可以得到無量綱時間較小時的井底無量綱壓力表達式PSD =tD/ CD. 該式表明:當無量綱時間較小時,無量綱壓力雙對數圖上有一條斜率為1 的直線段.當井筒存儲結束后,地層可能會出現裂縫線性流,進一步簡化方程(9) ,井底無量綱壓力(無井筒存儲及表皮系數) 可近似成 （13）式中: 為誤差函數；為指數積分函數；當無量綱時間較小時erf ( x) 1 ,而- Ei ( - x) 0 , 方程(13) 可近似成線性流解 （14） 采用同樣方法可以得到在球形流動期間和徑向流動期間的無量綱井底壓力的近似解,由于受文章篇幅限制,本文不一一推導.4 結論1) 本文使用乘積原理與Laplace 變換技術給出部分壓開垂直裂縫井底無量綱壓力及其導數的半解析半數值解;2) 在受