1、.1剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標，以垂直于梁軸線方以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標，分別繪制表示向的剪力或彎矩為縱坐標，分別繪制表示F FQQ (x) (x)和和M(x)M(x)的圖線。的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱F FQQ圖和圖和MM圖。圖。 正彎矩畫在正彎矩畫在x軸下側，負彎矩軸下側，負彎矩畫在畫在x軸上側，即把彎矩畫在梁受軸上側，即把彎矩畫在梁受拉的一側。拉的一側。 繪圖時一般規定正號的剪力繪圖時一般規定正號的剪力畫在畫在x軸的上側，負號的剪力畫軸的上側，負號的剪

2、力畫在在x軸的下側；軸的下側； .2例題例題1 1 圖所示，懸臂梁受集中力圖所示，懸臂梁受集中力F F作用，試作此作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖梁的剪力圖和彎矩圖解：解：1.1.列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程FxFQ)( (0 (0 x xl ) l ) FxxM)( (0 x (0 xl) l) 2.2.作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖由剪力圖和彎矩圖可知：由剪力圖和彎矩圖可知：FlMFFQmaxmax一、根據內力方程作內力圖一、根據內力方程作內力圖剪力方程剪力方程表示橫截面上表示橫截面上剪力剪力FQ隨橫截面位置隨橫截面位置x而變化的函數關系；而變化的函數關系；彎矩方程彎矩方程表示

3、橫截面上表示橫截面上彎矩彎矩M隨橫截面位置隨橫截面位置x而變化的函數關系。而變化的函數關系。.3例題例題2 2 簡支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩簡支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。圖。解：解：1.1.求約束反力求約束反力由對稱關系，可得：由對稱關系，可得：qlFFByAy21最大剪力發生在梁端，其值為最大剪力發生在梁端，其值為qlFQ21max2.2.列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程qxqlqxFxFAyQ21)(222121921)(qxqlxxxFxMAy3.3.作剪應力圖和彎矩圖作剪應力圖和彎矩圖最大彎矩發生在跨中，它的數值為最大彎矩發生在跨中

4、，它的數值為MMmaxmax281ql.4例題例題3 3 簡支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。簡支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求約束反力求約束反力lFaFlFbFByAy,2.2.列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程lFbFxFAyQ)( （0 xa0 xa） lFbxFxMAy)( (0 xa) (0 xa) ACAC段：段：CBCB段：段：lFaFlFbFFxFAyQ)( (axl) (axl) )()()(xllFaaxFxFxMAy (0 xl) (0 xl) 3.3.作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖.5圖 三Q圖M圖經分析可得出經分析可

5、得出：剪力、彎矩剪力、彎矩隨荷載變化的規律隨荷載變化的規律無無 荷荷 載載 區區 段：剪力圖水平段：剪力圖水平線；彎矩圖斜直線（剪力為線；彎矩圖斜直線（剪力為正斜向下，傾斜量等于此段正斜向下，傾斜量等于此段剪力圖面積）。剪力圖面積）。集中荷載作用點：剪力圖有集中荷載作用點：剪力圖有突變（突變方向與荷載方向突變（突變方向與荷載方向相同，突變量等于荷載的大相同，突變量等于荷載的大小）；彎矩圖有尖點（尖點小）；彎矩圖有尖點（尖點方向與荷載方向相同）。方向與荷載方向相同）。口訣表述：口訣表述：剪力圖剪力圖 沒有荷載沒有荷載水平線，集中荷載有突變。水平線，集中荷載有突變。彎矩圖彎矩圖 沒有荷載斜直沒有荷

6、載斜直線線, 集中荷載有尖點。集中荷載有尖點。.6例題例題4 4 簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求約束反力求約束反力lMFlMFeByeAy,2.2.列剪應力方程和彎矩方程列剪應力方程和彎矩方程ABAB段：段：lMxFeQ)(（0 xl0 xl）CBCB段：段：eeAYMxlMMexFxM)( (axl)(axl)ACAC段：段：xlMexFxMAy)( (0 xa)(0 xa)3.3.繪出剪力圖和彎矩圖繪出剪力圖和彎矩圖 .7 力偶荷載作用點：力偶荷載作用點：剪力圖無變化；彎矩圖剪力圖無變化；彎矩圖

7、有突變（荷載逆時針轉向，向上突變，突有突變（荷載逆時針轉向，向上突變，突變量等于荷載的大小）。變量等于荷載的大小）。 口訣表述：口訣表述：剪力圖剪力圖 力偶荷載無影響。力偶荷載無影響。 彎矩圖彎矩圖 力偶荷載有突變。力偶荷載有突變。.8（）在均布荷載作用段，（）在均布荷載作用段， F FQQ圖是斜直線，傾斜方向與荷載指向相同圖是斜直線，傾斜方向與荷載指向相同(2)(2)無荷載作用區段，即無荷載作用區段，即q(x)=0q(x)=0，F FQQ圖為平行圖為平行x x軸的直線。軸的直線。(3)(3)在集中力作用處，在集中力作用處，FQFQ圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數值等圖有突變，突變方向

8、與外力一致，且突變的數值等于該集中力的大小。于該集中力的大小。(4)(4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQFQ圖是連續無變化。圖是連續無變化。2.2.彎矩圖與荷載的關系彎矩圖與荷載的關系 在均布荷載作用的區段，在均布荷載作用的區段，MM圖為拋物線。圖為拋物線。(2)(2)當當q(x)q(x)朝下時，朝下時，0)()(22xqdxxMdMM圖為上凹下凸。圖為上凹下凸。當當q(x)q(x)朝上時，朝上時，0)()(22xqdxxMdMM圖為上凸下凹。圖為上凸下凹。二、根據內力圖規律做圖二、根據內力圖規律做圖.剪力圖與荷載的關系剪力圖與荷載的關系.9(3) (

9、3) 在集中力作用處，在集中力作用處，MM圖發生轉折。如果集中力向下，則圖發生轉折。如果集中力向下，則MM圖向下轉折；反之，則向上轉折。圖向下轉折；反之，則向上轉折。(4) (4) 在集中力偶作用處，在集中力偶作用處，MM圖產生突變，順時針方向的集中力偶圖產生突變，順時針方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數值等于該集使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數值等于該集中力偶矩的大小。中力偶矩的大小。(1)(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。(2) (2) 當當F FQQ圖為斜直線時，對應梁段的圖為斜直線時，對

10、應梁段的MM圖為二次拋物線。當圖為二次拋物線。當F FQQ圖為平行于圖為平行于x x軸的直線時，軸的直線時，MM圖為斜直線。圖為斜直線。3. 3. 彎矩圖與剪力圖的關系彎矩圖與剪力圖的關系(3) (3) 剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、負號的截面，彎矩也具有極值。負號的截面，彎矩也具有極值。.10解：解： 1. 1. 求約束反力求約束反力例題例題 簡支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分簡支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎

11、矩間的微分關系作此梁的剪力圖和彎矩圖。關系作此梁的剪力圖和彎矩圖。kNFkNFByAy15,152. 2. 畫畫F FQQ圖圖各控制點處的各控制點處的FQFQ值如下：值如下：F FQAQA右右=F=FQCQC左左=15kN =15kN F FQCQC右右=F=FQDQD=15 kN =15 kN 10kN=5kN 10kN=5kN F FQDQD=5kN =5kN F F QB QB左左= =15kN15kN3. 3. 畫畫MM圖圖MMA A = 0, M = 0, MCC =15kN =15kN2m=30 kN.m 2m=30 kN.m M MD D = 15kN = 15kN4m4m10k

12、N10kN2m=40kN.m 2m=40kN.m M MD D右右= 15kN= 15kN4m4m5kN5kN4m4m2m=20 kN.m2m=20 kN.mMB=0MB=0mkNmmmkNmkNME5.22233/5315.11例題例題6 6 一外伸梁如圖示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關一外伸梁如圖示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關系作此梁系作此梁的的F FQQ、MM圖圖。解：解：1.1.求約束力求約束力kNFkNFByAy13,52.2.畫內力圖畫內力圖(1)(1)剪力圖。剪力圖。ACBACB段：段： F FQAQA右右=F=FQCQC=F=FQBQB左左= =5kN5kNF F

13、QQ圖為一水平直線圖為一水平直線 BDBD段：段：FQFQ圖為右下斜直線。圖為右下斜直線。FQB右 F FQBQB左左+13=8kN +13=8kN FQD=0(2) (2) 彎矩圖彎矩圖 ACAC段：段：F FQQ00，故，故MM圖為一右上斜直線圖為一右上斜直線 MMA A=0=0，MMCC左左= =5kN5kN2m=2m=10kN.m 10kN.m CBCB段：段： F FQQ0,0,故故MM圖為一右上斜直線，圖為一右上斜直線，在在CC處彎矩有突變。處彎矩有突變。 MMCC右右= =5kN5kN2m+12kN.m2m+12kN.mMMB B= =4kN/m4kN/m2m2m1m=1m=8k

14、N.m8kN.mBDBD段：段： 段內有向下均布荷載，段內有向下均布荷載，MM圖為下凸圖為下凸拋物線，拋物線， MMB B= =8KN.m8KN.m，MMD D=0=0.12例例7 外伸梁如圖所示，試畫出該梁的內力圖。外伸梁如圖所示，試畫出該梁的內力圖。解：解： （1）求梁的支座反力）求梁的支座反力由由 0 Am 0221352 aqmaRaPB解得解得 kNqaamPRA102431 由由 0Y 02qaRRPBA解解得得 kNRqaPRAB52 q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB.13 （2）畫內力圖：）畫內力圖：CACA段段

15、: q=0: q=0，剪力圖為水平直線；剪力圖為水平直線；彎矩圖為斜值線。彎矩圖為斜值線。 kNPQQAC3 0CMkNaPMA8 . 1 ADAD段段:q=0,:q=0,剪力圖為水平直線； 彎矩圖為斜值線。kNaPMA8 . 1 kNRPQQADA7 mkNaRaPMAD 4 . 22DB段段:q0, :q0, 剪力圖為斜直線；彎矩圖為拋物線。 kNRQBB5 qxRxQBax200 xQ令：mxqRB5 . 0 mkNmaRaPMAD 2 . 12mkNqRMBE 25. 12/5 . 05 . 020BM.14根據根據Q QB B 5kN Q5kN QC C 3kN 3kN 、 Q QA A 7kN 7kN 、Q QA A 3kN 3kN 、Q QD D 7kN7kN的對應值便可作出圖的對應值便可作出圖(b)(b)所示的剪力圖所示的剪力圖 。可見，。可見， 在在ADAD段段剪力最大，剪力最大，kNQ7max mkNMMD 4 . 2max（Q）（M） q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB3kN7kN5kN1.8kNm2。4kNm1.