1、第 5 講數(shù)列的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一_等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題_(2014高考北京卷)已知an是等差數(shù)列，滿足 a13，a412，數(shù)列bn滿足b14，b420，且bnan為等比數(shù)列(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，由題意得da4a1312333，所以 ana1(n1)d3n(n1，2，)設(shè)等比數(shù)列bnan的公比為 q，由題意得q3b4a4b1a12012438，解得 q2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.從而 bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，)數(shù)列3n的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)，

2、數(shù)列2n1的前 n 項(xiàng)和為12n122n1.所以，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為32n(n1)2n1.規(guī)律方法解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列， 部分項(xiàng)成等比數(shù)列， 要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解1.(2013高考課標(biāo)全國卷)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a125 ，且 a1，a11，a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求 a1a4a7a3n2.解：(1)設(shè)an的公差為 d，由題意得 a211a1a13，即(a110d)2

3、a1(a112d)于是 d(2a125d)0.又 a125，所以 d0(舍去)，d2.故 an2n27.(2)令 Sna1a4a7a3n2.由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首項(xiàng)為 25，公差為6 的等差數(shù)列從而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n.考點(diǎn)二_數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題_某企業(yè)在第 1 年初購買一臺(tái)價(jià)值為 120 萬元的設(shè)備 M，M 的價(jià)值在使用過程中逐年減少從第 2 年到第 6 年，每年初 M 的價(jià)值比上年初減少 10 萬元；從第 7 年開始，每年初 M 的價(jià)值為上年初的 75%.(1)求第 n 年初 M 的價(jià)值 an的表達(dá)式；(2)設(shè) Sn表示數(shù)列an的前

4、n 項(xiàng)和，求 Sn(n7)解(1)當(dāng) n6 時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為 120，公差為10 的等差數(shù)列，an12010(n1)13010n；當(dāng) n6 時(shí)，數(shù)列an是以 a6為首項(xiàng)，34為公比的等比數(shù)列又 a670，所以 an7034n6.因此，第 n 年初，M 的價(jià)值 an的表達(dá)式為an13010n，n6，7034n6，n7.(2)由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng) n7 時(shí)，由于 S6570，故 SnS6(a7a8an)57070344 134n678021034n6.規(guī)律方法解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟：(1)確定模型類型：理解題意，看是哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡單的遞推數(shù)列模

5、型基本特征見下表：數(shù)列模型基本特征等差數(shù)列均勻增加或者減少等比數(shù)列指數(shù)增長，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題簡單遞推數(shù)列指數(shù)增長的同時(shí)又均勻減少如年收入增長率為20%， 每年年底要拿出 a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列an滿足 an11.2ana(2)準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確；(3)給出問題的答案：實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)2.現(xiàn)有流量均為 300 m3/s 的兩條河 A，B 匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為 2 kg/m3和 0.2 kg

6、/m3，假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干觀測(cè)點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的過程中， 其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1 s內(nèi)交換100 m3的水量，即從 A 股流入 B 股 100 m3水，經(jīng)混合后，又從 B 股流入 A 股 100 m3水并混合，問從第幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開始，兩股河水的含沙量之差小于 0.01 kg/m3(不考慮沙沉淀)解：設(shè)第 n 個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處 A 股水流含沙量為 ankg/m3，B 股水流含沙量為 bnkg/m3，則a12，b10.2，bn1400(300bn1100an1)14(3bn1an1)，an1400(300an1100bn1)14(3an1bn1)，anbn12(an1bn

7、1)，anbn是以(a1b1)為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列anbn9512n1.解不等式9512n1180，n9.因此，從第 9 個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開始，兩股水流的含沙量之差小于 0.01 kg/m3.考點(diǎn)三_數(shù)列與不等式的綜合問題(高頻考點(diǎn))_數(shù)列與不等式的綜合問題是每年高考的難點(diǎn)，多為解答題，難度偏大高考對(duì)數(shù)列與不等式的綜合問題的考查常有以下兩個(gè)命題角度：(1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；(2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題等比數(shù)列an滿足 an1an92n1，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若不等式 Snkan2 對(duì)一切 nN*恒成立，求

8、實(shí)數(shù) k 的取值范圍解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，an1an92n1，nN*，a2a19，a3a218，qa3a2a2a11892.2a1a19，a13.an32n1，nN*.(2)由(1)知 Sna1（1qn）1q3（12n）123(2n1)，3(2n1)k32n12，k2132n1對(duì)一切 nN*恒成立令 f(n)2132n1，則 f(n)隨 n 的增大而增大，f(n)minf(1)21353，k53.實(shí)數(shù) k 的取值范圍為，53 .規(guī)律方法數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題此類問題常構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問題；(2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問

9、題解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等3.(1)(2015高考安徽卷)設(shè) nN*，xn是曲線 yx2n21 在點(diǎn)(1，2)處的切線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；記 Tnx21x23x22n1，證明：Tn14n.(2)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn22n1an(nN*)求證：數(shù)列ann 是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列2nan的前 n 項(xiàng)和為 Tn，An1T11T21T31Tn，試比較 An與2nan的大小解：(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線 yx2n21 在點(diǎn)(1，2)處的切線斜率為 2n2，從而切線方程為 y2(2n2)(x1

10、)令 y0，解得切線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) xn11n1nn1，所以數(shù)列xn的通項(xiàng)公式 xnnn1.證明：由題設(shè)和中的計(jì)算結(jié)果知，Tnx21x23x22n11223422n12n2.當(dāng) n1 時(shí)，T114.當(dāng) n2 時(shí)，因?yàn)?x22n12n12n2（2n1）2（2n）2（2n1）21（2n）22n22nn1n，所以 Tn1221223n1n14n.綜上可得，對(duì)任意的 nN*，均有 Tn14n.(2)證明：由 a1S123a1，得 a112，當(dāng) n2 時(shí)，由 anSnSn1，得ann12an1n1，所以ann 是首項(xiàng)和公比均為12的等比數(shù)列由得ann12n，于是 2nann，所以 Tn123nn

11、（n1）2，則1Tn21n1n1 ，于是 An211n1 2nn1，而2nan2n1n2，所以問題轉(zhuǎn)化為比較2nn2與nn1的大小設(shè) f(n)2nn2，g(n)nn1，當(dāng) n4 時(shí)，f(n)f(4)1，而 g(n)g(n)經(jīng)驗(yàn)證當(dāng) n1，2，3 時(shí)，仍有 f(n)g(n)因此對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 f(n)g(n)即 An2nan.交匯創(chuàng)新數(shù)列與函數(shù)的交匯(2014高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù) f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若 a12，點(diǎn)(a8，4b7)在函數(shù) f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn；(2)若 a11， 函數(shù) f(x)的圖象在

12、點(diǎn)(a2， b2)處的切線在 x 軸上的截距為 21ln 2， 求數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和 Tn.解(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有 2a842a72a72.解得 da8a72.所以 Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù) f(x)2x在(a2，b2)處的切線方程為 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 軸上的截距為 a21ln 2.由題意知，a21ln 221ln 2，解得 a22.所以 da2a11，從而 ann，bn2n.所以 Tn12222323n12n1n2n，2Tn1122322n2n1.因此，2TnTn11212212n1n2n212

13、n1n2n2n1n22n.所以 Tn2n1n22n.名師點(diǎn)評(píng)數(shù)列與函數(shù)的交匯創(chuàng)新主要有以下兩類：(1)如本例，已知函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，再利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)求解；(2)已知數(shù)列，在求解中利用函數(shù)的性質(zhì)、思想方法解答提醒解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決，同時(shí)要注意 n 的范圍(2015云南省統(tǒng)一檢測(cè))在數(shù)列an中，a135，an121an，設(shè) bn1an1，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和是 Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求 Sn；(2)比較 an與 Sn7 的大小解：(1)bn1a

14、n1，an121an，bn11an111an11bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為 1 的等差數(shù)列由 a135，bn1an1得 b152，Sn5n2n（n1）2n223n.(2)由(1)知：bn52n1n72.由 bn1an1得 an11bn11n72.anSn7n223n61n72.當(dāng) n4 時(shí)，yn223n6 是減函數(shù)，y1n72也是減函數(shù)，當(dāng) n4 時(shí)，anSn7a4S470.又a1S1739100，a2S27830，a3S37720，nN*，anSn70，anSn7.1(2015山西省四校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn首項(xiàng)都是 1，公差與公比都是2，則 ab1ab2ab3ab4

15、ab5()A54B56C58D57解析：選 D.由題意，an12(n1)2n1，bn12n12n1，ab1ab5a1a2a4a8a16137153157.2已知數(shù)列an滿足：a1m(m 為正整數(shù))，an1an2，當(dāng) an為偶數(shù)時(shí)，3an1，當(dāng) an為奇數(shù)時(shí).若 a61，則 m 所有可能的取值為()A4，5B4，32C4，5，32D5，32解析： 選 C.an1an2，當(dāng) an為偶數(shù)時(shí)，3an1，當(dāng) an為奇數(shù)時(shí)，注意遞推的條件是 an(而不是 n)為偶數(shù)或奇數(shù)由 a61 一直往前面推導(dǎo)可得 a14 或 5 或 32.3(2014高考遼寧卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d.若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列

16、，則()Ad0Ca1d0解析： 選 C.設(shè) bn2a1an， 則 bn12a1an1， 由于2a1an是遞減數(shù)列， 則 bnbn1， 即 2a1an2a1an1.y2x是單調(diào)增函數(shù)，a1ana1an1，a1ana1(and)0，a1(anand)0，即 a1(d)0，a1d0.4在數(shù)列an中，若 a12，an1ann2n，則 an()A(n2)2nB112nC.23114nD.23112n解析：選 A.因?yàn)?an1ann2n，所以 an1ann2n，所以 ana1(anan1)(an1an2)(a2a1)(n1)2n1(n2)2n2222121(n2)設(shè) Tn(n1)2n1(n2)2n2222

17、121(n2)，則 2Tn(n1)2n(n2)2n1(n3)2n2223122，兩式相減得 Tn(n2)2n2(n2)，所以 an(n2)2n2a1(n2)2n(n2)又 n1 時(shí)，上式成立，所以選 A.5(2015湖南澧縣一中等三校聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，0a1a41，則能使不等式a11a1a21a2an1an0 成立的最大正整數(shù) n 是()A5B6C7D8解析：選 C.設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q，則1an為等比數(shù)列，其公比為1q，因?yàn)?0a11 且 a11q3.又因?yàn)閍11a1a21a2an1an0，所以 a1a2an1a11a21an，即a1（1qn）1q1a111qn11q，把 a11

18、q3代入，整理得 qnq7，因?yàn)?q1，所以 n7，故選C.6(2013高考江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的 2 倍，則需要的最少天數(shù) n(nN*)等于_解析：每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以 2 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 Sna1（1qn）1q2（12n）122n12.由 2n12100，得 2n1102.由于 2664，27128.則n17，即 n6.答案：67 在等比數(shù)列an中， 若 an0， 且 a1 a2 a7 a816， 則 a4a5的最小值為_解析：由等比數(shù)列性質(zhì)得，a1a2a7a8(a4a5)416，又 an

19、0，a4a52.再由基本不等式，得 a4a52 a4a52 2.a4a5的最小值為 2 2.答案：2 28設(shè) Sn是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，若S2nSn(nN*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為“和等比數(shù)列”若數(shù)列2bn是首項(xiàng)為 2，公比為 4 的等比數(shù)列，則數(shù)列bn_(填“是”或“不是”)“和等比數(shù)列”解析：數(shù)列2bn是首項(xiàng)為 2，公比為 4 的等比數(shù)列，所以 2bn24n122n1，bn2n1.設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，則 Tnn2，T2n4n2，所以T2nTn4，因此數(shù)列bn是“和等比數(shù)列”答案：是9在等比數(shù)列an(nN*)中，a11，公比 q0，設(shè) bnlog2an，且 b1b3b5

20、6，b1b3b50.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求bn的前 n 項(xiàng)和 Sn及an的通項(xiàng)公式 an.解：(1)證明：bnlog2an，bn1bnlog2an1anlog2q 為常數(shù)，數(shù)列bn為等差數(shù)列且公差 dlog2q.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差為 d，b1b3b56，b32.a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.b12d2，b14d0，解得b14，d1.Sn4nn（n1）2(1)9nn22.log2q1，log2a14，q12，a116.an25n(nN*)10(2014高考浙江卷)已知數(shù)列an和bn滿足 a1a2a3an( 2)bn(nN*)若an為等比數(shù)列，且 a12，b36b2.(1)求 an與 bn；(2)設(shè) cn1an1bn(nN*)記數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和為 Sn.求 Sn；求正整數(shù) k，使得對(duì)任意 nN*，均有 SkSn.解：(1)由題意知 a1a2a3an( 2)bn，b3b26，知 a3( 2)b3b28.又由 a12，得公比 q2(q2 舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n(nN*)，所以，a1a2a3an2n（n1）2( 2)n(n1)故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為 bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知 cn1an1bn12n1n1n