1、第九章“沖刺雙一流”深化內容電磁學壓軸大題增分策略(三)突破“磁發散”和“磁聚焦”兩大難點帶電粒子在磁場中的運動形式很多，其中有一種是帶電粒子在圓形磁場中的運動。當粒子做圓周運動的半徑與圓形磁場的半徑相等時，會出現磁發散或磁聚焦現象。帶電粒子在圓形磁場中的發散運動不同帶電粒子在圓形磁場中從同一點沿不同方向出發，做發散運動，離開磁場后速度方向都相同。例如：當粒子由圓形勻強磁場的邊界上某點以不同速度射入磁場時，會平行射出磁場，如圖所示。例1真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點的切線，如圖所示。從O點在紙面內向各個方向發射速率相同的電子，設電子間相互作用

2、忽略，且電子在磁場中運動的圓周軌跡半徑也為r。所有從磁場邊界射出的電子，其速度方向有何特征？解析如圖所示，無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，入射點O、出射點A、磁場圓心O1和軌道圓心O2，一定組成邊長為r的菱形，因為OO1Ox，所以O2AOx。而O2A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場時，速度方向均與Ox軸正向相同。答案見解析例2如圖所示，真空中有一個半徑r0.5 m的圓形磁場，與坐標原點相切，磁場的磁感應強度大小B2×103 T，方向垂直于紙面向外，在x1 m和x2 m之間的區域內有一個方向沿y軸正向的勻強電場區域，電場強度

3、E1.5×103 N/C。在x3 m處有一垂直x軸方向的足夠長的熒光屏，從O點處向不同方向發射出速率相同的比荷1×109 C/kg，且帶正電的粒子，粒子的運動軌跡在紙面內，一個速度方向沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從磁場最右側的A點離開磁場，不計重力及阻力的作用，求：(1)沿y軸正方向射入的粒子進入電場時的速度和粒子在磁場中的運動時間；(2)速度方向與y軸正方向成30°角(如圖中所示)射入磁場的粒子，離開磁場時的速度方向；(3)(2)中的粒子最后打到熒光屏上，該發光點的位置坐標。解析(1)由題意可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑Rr0.5 m，由Bqv，

4、可得粒子進入電場時的速度為v1×109×2×103×0.5 m/s1×106 m/s。在磁場中運動的時間為t1T s7.85×107 s。(2)粒子的運動圓軌跡和磁場圓的交點O、C以及兩圓的圓心O1、O2組成菱形，CO2和y軸平行，所以v和x軸平行向右，如圖所示。(3)粒子在磁場中轉過120°角后從C點離開磁場，速度方向和x軸平行，做直線運動，再垂直電場線進入電場，如圖所示：在電場中的加速度大小為：a1.5×103×1×109 m/s21.5×1012 m/s2。粒子穿出電場時有：vy

5、at2a×1.5×106 m/s，tan 1.5。在磁場中y11.5r1.5×0.5 m0.75 m。在電場中側移為：y2at22×1.5×1012×2 m0.75 m。飛出電場后粒子做勻速直線運動y3x tan 1×1.5 m1.5 m，yy1y2y30.75 m0.75 m1.5 m3 m。則該發光點的坐標為(3 m,3 m)。答案(1)1×106 m/s7.85×107 s(2)與x軸平行向右(3)(3 m,3 m)帶電粒子在圓形磁場中的匯聚運動速度相同的不同帶電粒子進入圓形勻強磁場后，匯聚于同一點

6、。例如：當速度相同的粒子平行射入磁場中，會在圓形磁場中匯聚于圓上一點，如圖所示。例3真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點的切線，如圖所示，速率相同，方向都沿Ox方向的不同電子，在磁場中運動的圓周軌跡半徑也為r。進入圓形勻強磁場后，所有從磁場邊界出射的電子，離開磁場的位置有何特征？解析由A點進入磁場的電子，其圓周軌道和圓形磁場的兩交點以及兩圓心組成邊長為r的菱形，v0和AO1垂直，所以AO1的對邊也和v0垂直，即AO1的對邊和Ox方向垂直，所以AO1的對邊即為O2O，電子從O點離開磁場，因此，所有從磁場邊界出射的電子，離開磁場的位置都在O點。答案見解

7、析例4如圖甲所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現在A、B板上加上如圖乙所示的方波形電壓，t0時，A板比B板的電勢高，電壓的正向值為u0，反向值為u0，現有質量為m、帶電荷量為q的正粒子組成的粒子束，從AB的中點O1以平行于金屬板方向O1O2的速度v0射入，所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力影響。求：(1)粒子射出電場時位置離O2點的距離范圍及對應的速度；(2)若要使射出電場的粒子經某一圓形區域的勻強磁場偏轉后都能通過圓形磁場邊界的一個點處，而便于再收集，則磁場區域的最小半徑和相應的磁感應強度是多大？解析(1)當粒子由tnT時刻進入電場，向下側移最大，則：s122。當粒子由tnT時刻進

8、入電場，向上側移最大，則s22，在距離O2中點下方至上方的范圍內有粒子射出。打出粒子的速度都是相同的，在沿電場線方向速度大小為vy·。所以射出速度大小為v。設速度方向與v0的夾角為，則tan ，30°。(2)要使平行粒子能夠交于圓形磁場區域邊界且有最小區域時，磁場直徑最小值與粒子寬度相等，粒子寬度D(s1s2)cos 30°，即D cos 30°。故磁場區域的最小半徑為r。而粒子在磁場中做圓周運動有qvBm。解得B。答案(1)見解析(2)提能增分集訓 1電子質量為m、電荷量為e，從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限，射入時速度方向不同，速度大小均為v0

9、，如圖所示。現在某一區域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：(1)熒光屏上光斑的長度；(2)所加磁場范圍的最小面積。解析：(1)如圖所示，初速度沿x軸正方向的電子，沿弧OB運動到P點，為熒光屏上光斑的最高點，初速度沿y軸正方向的電子，沿弧OC運動到Q點，為熒光屏上光斑的最低點，電子在磁場中，由ev0Bm得R，光斑長度PQR。(2)所加磁場的最小面積是以O為圓心、R為半徑的斜線部分，其面積大小為SR2R2R212。答案：(1)(2)22.如圖所示，質量m8.0×1025 kg、電荷量q1.6

10、15;1015 C的帶正電粒子從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限內，且在與x方向夾角大于等于30°的范圍內，粒子射入時的速度方向不同，但大小均為v02.0×107 m/s。現在某一區域內加一垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度大小為B0.1 T，若這些粒子穿過磁場后都能射到與y軸平行的熒光屏MN上，并且當把熒光屏MN向左移動時，屏上光斑長度和位置保持不變。求：(3.14)(1)粒子從y軸穿過的范圍；(2)熒光屏上光斑的長度；(3)從最高點和最低點打到熒光屏MN上的粒子運動的時間差；(4)畫出所加磁場的最小范圍(用陰影表示)。解析：設粒子在磁場中運動的半徑為R，由牛頓第

11、二定律得qv0Bm，即R解得R0.1 m當把熒光屏MN向左移動時，屏上光斑長度和位置保持不變，說明粒子出射方向平行，且都沿x方向，所加磁場為圓形，半徑為R0.1 m。(1)如圖所示，初速度沿y軸正方向的粒子直接過y軸。速度方向與x軸正方向成30°角的粒子，轉過的圓心角OO2B為150°，則OO2A120°粒子從y軸穿過的范圍為0R，即00.17 m。(2)初速度沿y軸正方向的粒子，yCR由(1)知O2OA30°yBRRcos 則熒光屏上光斑的長度lyByC0.09 m。(3)粒子運動的周期T×108 s從B點和C點射出的粒子在磁場中運動的時間差t1TTT出磁場后，打到熒光屏上的時間差t2從最高點和最低點打到熒光屏MN上的粒子運動的時間差tt1t27.7×109 s。(4)如圖陰影部分所示。答案：(1)00.17 m(2)0.09 m(3)7.7×109 s(4)見解析3設在某一平面內有P1、P2兩點，由P1點向平面內各個方向發射速率均為v0的電子。請設計一種勻強磁場分布，使得由P1點發出的所有電子都能夠匯集到P2點。電子電量為e，質量為m。解析：如圖所示，過P1點做2個圓，和直線P1P2相切于P1點，圓的半徑都是R。圓內分布有勻強磁場，磁感