1、高等數學電子教案高等數學電子教案第二節第二節 換元積分法換元積分法一、第一類換元法一、第一類換元法 通常一個函數的導數是容易求出的,但是要求一個函數的原函數是很困難的.直到現在只能求出絕少部分的原函數.為了求解原函數，現在介紹幾種常用的積分方法. 第一換元積分法也稱為湊元法。高等數學電子教案高等數學電子教案定理1 設u =(x)在區間a, b上可導, ,)(xCxGduugdxxxgxu)(|)()()()(g(u)在.上有原函數G(u), 則不定積分存在, 且證明: 用復合函數的求導法則，驗證)()()()()()()(xxgxugxuGCxG高等數學電子教案高等數學電子教案 第一換元積分法

2、(湊元法)的關鍵是把f(x)dx湊成g(x)(x)dx如何湊?這是一個技巧性很強的工作，要求我們熟練掌握基本積分公式。在解題前需要一些三角函數的恒等變換,分子分母的有理化, 分子加減某項等方法.但不同的方法得到積分的結果往往不相同, 我們可通過求導可知道它們是否同一被積函數. “湊”的方法：通常把較復雜的函數看成g(x)高等數學電子教案高等數學電子教案例1sin(cos )coscosxdxtgxdxdxxx CxxxdxdxxCuduuux661sin55sin61sinsincossin65例2的積分，xdxxnmcossincoslnln cosuxduuCxCu 對于形如當m, n中有

3、一個為奇數時，總可以用這個方法處理.高等數學電子教案高等數學電子教案例32222( / )11 ( / ) (1)xuadxd x aduxarctgCaxax aauaa例42222( / )arcsin(0)1 ( / )1xuadxd x aduxC aaaxx au 例533222222211() 1(1) 1(1)(1)22xxx dxxx dxxdx235512222211 21(1)(1)22 55xuu duxCxC 高等數學電子教案高等數學電子教案(1)關于自變量是線性形式,例如)0()()(1)(abaxdbaxfadxbaxf(2)被積函數可寫成)()(xgxg(ln )

4、(lnln )(ln );lnlnlnln lnlnlnlndxxxdxdxxxxxxx常見的湊元法有以下幾種情況:的形式，例如sincos( cossin )cossincossincossinaxdxbxdxaxbxdxaxbxaxbxaxbx 高等數學電子教案高等數學電子教案(3)被積函數可寫成 f (xn)xn-1 的形式,例如nnnnnnxxdnxdxdxxxxxxdxxxdx1) 1(111)1 (11(4)被積函數可寫成 g(xn) x2n-1 的形式,例如9912)9(1)9(nnnnnxdxxndxxx(5)被積函數可寫成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx

5、的形式, 例如(sin )cos(sin ) sinfxxdxfx dx(cos )sin(cos ) cosfxxdxfx dx 高等數學電子教案高等數學電子教案(6)被積函數可寫成21)1(xxf)11 ()11 ()11ln()11 ()11ln() 1()11ln(2xdxxxxdxxxxdxx(7)利用三角函數公式,常用的三角形式: 倍角公式積化和差公式的形式,例如高等數學電子教案高等數學電子教案此外，常用的三角公式還有sec2x=1+tg2 x等例如xdxxdxxdxxxxdxx2cos21212)2cos1 (cos333232222220,cossin(cossin )dxdx

6、ababaxbxabxxabab222211()sincoscos sinsin()dxd xxxxabab高等數學電子教案高等數學電子教案11sin2cos(2 )sin cos22211sincos2(sincos )2sin()422xxxxdxdxdxxxxxx21sin ()1142sin()422 22sin()sin()44xdxdxx dxxx高等數學電子教案高等數學電子教案221111()1()22dxd xadxd xaxaaxaxaaxaxa例611(lnln)ln22xaxaxaCCaaxa高等數學電子教案高等數學電子教案例7sin222cos(sin )111sec(

7、)cos1 sin1211xtxdxdtxdxdxdtxxttt 例82( /2)( /2)cscsinsin( /2)cos( /2)( /2)cos ( /2)dxd xd xxdxxxxtg xx111 sinln(1)ln(1)ln221 sinxttCCx高等數學電子教案高等數學電子教案Ceudueedeedxexuexxxxxx) 1arcsin(1) 1(1) 1(22122Cxxxdxxdxxdx| 1ln2|ln21ln21) 1ln2(21ln21ln)ln21 (例9例10高等數學電子教案高等數學電子教案Cxxdxdxx313030) 18(2481) 18() 18(8

8、1) 18(例11例121sin3 sin2(cos5cos )2xxdxxx dx 421cos 211cos 4sin()(12cos 2)242xxxdxdxxdx例1311sinsin5 25dxdx11sinsin5210 xxC131311(2cos2cos4 )sin2sin44228432xx dxxxxC高等數學電子教案高等數學電子教案2132222222211 1112121xdxdxx dxxdxdxdxxxx 例14例152cossin22sin cossincos222sin2coscos21 cos1 cosxuxxxxdxdxudu duxxdxdxxx 221l

9、n 12xxC22cos1cos2ln| |22cosln 1 cos1 cosxudu dxduuCudxxCx 高等數學電子教案高等數學電子教案例1622331() ()()bxaxb dxaxbaxbdxaa525233332211()()u ax bdu adxbbaxb dxaxbdxu duu duaaaa85332233()()85baxbaxbCaa高等數學電子教案高等數學電子教案二、第二換元法二、第二換元法 定理 設x=(t)是單調, 可導的函數, 并且 (t)0, 又設f (t)(t)具有原函數(t), 則有換元公式11( )( )( )( ( )( )|( )|txtxf

10、 x dxftt dttC 成立，其中)(1x是x =(t)的反函數.dttdx)(高等數學電子教案高等數學電子教案證明: 11( )( )( )( )( )|txf x dxF xCxCtC 11( ).( ).( )( )dtxtdxt dttxdxt1( ( )( )( )( )( )( )ftt dttF xtx 記1( )( ( )( )( ( )( )( )ddtF xfttftf xdt dxt高等數學電子教案高等數學電子教案公式成立是有條件的. 1)等號右邊的不定積分或原函數要存在, 且容易積分. 2)求出后要用反函數代回原變量.單調性是保證反函數的存在. 常用的變量代換有下列

11、四種類型：高等數學電子教案高等數學電子教案 利用三角函數進行代換,可以使被積函數簡單 當被積函數含有平方和或平方差的二次根式時,根據恰當的三角恒等式作三角代換. 例如對atgtxtaxxaxa,sin,2222可設1 1、 三角代三角代換換高等數學電子教案高等數學電子教案例1 求)0(22adxxa解:2221sin22xaxaxCa1sin (),sin,22xxattta 22222sincos ,cosaxaatat dxatdt2cos22cos1222221 cos2cos2tttax dxatdtadt 222222cossin2sin cos2422ataxa taa tatCt

12、tC 高等數學電子教案高等數學電子教案例2 求)0(22axadx解:1tan (),tan,22xxattta 222222222sincostan1tansec ,costtaxaatataatt2secdxatdt高等數學電子教案高等數學電子教案22221lnln()xaxCxaxCaa222secsec (sectan )secsecsectandxattttdtatdtdtatttax2sec tansec(sectan )ln sectansectansectantttdttdtttCtttt高等數學電子教案高等數學電子教案例3 求)0(22aaxdxsec (sectan )se

13、csectanttttdtdttt1,sec(0),2xaxatt （）22222221 cossectan ,costxaataaatt2( sin )(sec )sec tancostdxat dtaattdtt 22sec tantandxattdtatxa221ln()xxaC22)xaCaln(xaln(sectan )ttC高等數學電子教案高等數學電子教案2222ln()dxxxaCxa把x a及 x -a的結合起來, 我們得到12222|lnCaxxaxdx(2),xaxuua 222222ln()dxduxaxCxaua 2222ln(ln)aCaxax2222222()ln(

14、)()axaxCxaxxax22ln ()xxaC高等數學電子教案高等數學電子教案從上面的例子可看出:22xa 可作代換 x = a sin t化去根式;，如果被積函數含有22xa ，可作代換 x=a tan t化去根式;如果被積函數含有如果被積函數含有22ax ，可作代換x=a sect化去根式;但具體解題時要分析被積函數的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.例如Caxaxaxdaxdxaxadxarcsin)(1)()(112222高等數學電子教案高等數學電子教案 當被積函數是三角有理式時,作“萬能”代換,將被積函數有理化.txtdtdxttxttxtxtan)12,12sin,11(cos2

15、tan2222或21cot.2txt2tan,sec( ),222xxxtdtd222(1) ( ).,21xdtdttddxt222(1) ( ).,21xdtdttddxt222tan22tan,11tan2xtxxt高等數學電子教案高等數學電子教案例4 求xdxsinCxtgCttdtdttttxdx|2|ln|ln12121sin22222211 cos111111.,22sinsinsin222sintxxtttctgxttgctgxttxxxtttx222222222,sec( ).(1) ( ).,22221112xtgxxxxdtttgtdtddttddxtgxxtttg222

16、21sin,cos11ttxxtt高等數學電子教案高等數學電子教案還有一部分采用反三角函數代換，例如22cossin()sin secseccost arctgxx tgtdtIarctgx dxttdttCt 21xtx1cossin2222cossincossincos1xtdxtdtarcxdxttdttdtxtttx 21xC高等數學電子教案高等數學電子教案例5 求3xxdx323666ln(1)2366ln(1)32ttttCxxxxC 2 2、根式代換、根式代換目的是將無理數變成有理數,便于積分32563,6txxtxtdxt dt533232361 11666 (1)111dxt

17、 dtttdtdtttdttttttxx 高等數學電子教案高等數學電子教案例6求dxxxa42213222 22 22 222422110,(1)(1)(1)23axxdxa td a ta tCxaa3 3、倒數代換、倒數代換22422 2242211,()1dtaxdtxdxdxtata tdtttxtt 3122223()3txaxCa x高等數學電子教案高等數學電子教案13222 22 22 222422110,(1)(1)(1)23axxttdxa td a ta tCxaa 3122223()3txaxCa x高等數學電子教案高等數學電子教案，應用雙曲代換22ax 例7 求4 4、

18、雙曲代換、雙曲代換當被積函數含有根號22(0)dxaxa2221x ashtdxachtdtchdtxtCashCchtaxaa sh t 2221ln( )1lnxxCxxaCaa0 xa高等數學電子教案高等數學電子教案2221x achtdxashtdtshdtxtCarchCshtaxaa ch t 2221ln( )1lnxxCxxaCaa0 xa 時有類似的結果,綜合得到22122lndxxxaCxa高等數學電子教案高等數學電子教案 下面的積分在今后的計算中常會遇到,我們可把它們作為積分公式處理.22229,lndxxxaCxa1,ln cos,tgxdxxC 2, cotln sin,dxxC3, secln sec,xdx