1、第十三章第十三章 函數列與函數項級數函數列與函數項級數一、點態收斂的概念一、點態收斂的概念二、一致收斂性及其判別法二、一致收斂性及其判別法三、一致收斂的函數列三、一致收斂的函數列 與函數項級數的性質與函數項級數的性質1 一致收斂性一致收斂性一、函數列與函數項級數一、函數列與函數項級數二、函數列一致收斂性二、函數列一致收斂性三、函數項級數一致收斂性三、函數項級數一致收斂性下 頁上 頁 返 回一、函數列與函數項級數的的概念一、函數列與函數項級數的的概念1. 函數列的定義函數列的定義:收斂數列收斂數列(數項級數數項級數)可表示、定義一個數；可表示、定義一個數；試用函數列、函數項級數來表示、定義一個函

2、數。試用函數列、函數項級數來表示、定義一個函數。(1) 定義定義1 是是定定義義在在同同設設函函數數),(,),(),(21xfxfxfn.,上的函數列上的函數列則稱其為則稱其為上上一個數集一個數集EE, 2 , 1),()( : nxfxfnn或或記為記為).()(,00 xfxfxxnn為一個數列為一個數列則函數列則函數列特別地取定特別地取定 (2) 定義定義2 ,)(,)(00點收斂點收斂在在則稱則稱收斂收斂若數列若數列xxfxfnn.)(0的收斂點的收斂點為為也稱也稱xfxn.)(,)(00點發散點發散在在則稱則稱發散發散若數列若數列xxfxfnn,)(上的每一點均收斂上的每一點均收斂

3、在在若數列若數列Dxfn.)(上收斂上收斂在在則稱則稱Dxfn下 頁上 頁 返 回(3) 定義定義3 則則可可確確定定一一個個新新的的上上收收斂斂在在若若,)(Dxfn.),(Dxxf 函數函數.)()(的極限函數的極限函數為函數列為函數列則稱則稱xfxfn nxfxfDxDxxfxfnnn),()(,),()(lim :或或記為記為 )()(lim xfxfnn即即定義定義N )()(,N , 0,xfxfNnNDxn有有當當),(x (4) 定義定義4 .)(,)(的收斂域的收斂域稱為稱為收斂點的全體集合收斂點的全體集合函數列函數列xfxfnn例例1 試求下列函數列的收斂域與極限函數試求下

4、列函數列的收斂域與極限函數),( , 2 , 1,)( )1 ( xnxxfnn解解 顯然顯然,1時時 x0lim nnx,1時時 x,lim不存在不存在nnx ,1時時 x1lim nnx,1時時 x,lim不存在不存在nnx 1 , 1( 收斂域為收斂域為nx極限函數極限函數 1 , 11| , 0)(xxxf下 頁上 頁 返 回),( , 2 , 1,sin)( )2( xnnnxxfn解解 顯然顯然),(sin收斂域為收斂域為nnx極限函數極限函數),(, 0)( xxf,1sin)(nnnxxfn 0sinlim nnxn問題：問題：;)( )1 (收斂域的判別收斂域的判別函數列函數

5、列xfn).()( )2(連續、可積、可導連續、可積、可導的分析性質的分析性質極限函數極限函數xf 是不是所有是不是所有的連續函數列的極限函數的連續函數列的極限函數在其收斂域上也連續。在其收斂域上也連續。)(lim)()(lim000 xfxfxfnnxx 即即？結論是：不一定結論是：不一定 1 , 11| , 0)(lim xxxfxnn如：如：.1)(處不連續處不連續在在 xxf因此，保持連續性只有收斂的條件是不夠的。因此，保持連續性只有收斂的條件是不夠的。下 頁上 頁 返 回(1) 定義定義5 1)(nnxu稱為稱為E上的函數項無窮級數或簡稱為級數。上的函數項無窮級數或簡稱為級數。部分和

6、實際是一個函數列部分和實際是一個函數列. niinnxuxuxuxuxs121)()()()()(同時稱同時稱2. 函數項級數的概念函數項級數的概念),(xuEn上的函數列上的函數列設設對其各項對其各項依次依次用用“+”連接起來的表達式連接起來的表達式 )()()()(321xuxuxuxun記為記為部分和部分和.)(,100實際為一個數項級數實際為一個數項級數函數項級數函數項級數 nnxuEx特別地特別地,(2) 定義定義6 .)(,)(,10100收斂點收斂點為為則稱則稱收斂收斂級數級數當當 nnnnxuxxuEx.)(lim)(lim 100存在存在即即 niinnnxuxs.)(,)(

7、1010發散點發散點為為則稱則稱發散發散當當 nnnnxuxxu下 頁上 頁 返 回(3) 定義定義7 則則可可確確定定一一個個新新的的上上收收斂斂在在若若級級數數,)(1Dxunn .),(Dxxs 函數函數.)()(1的和函數的和函數為函數列為函數列則稱則稱 nnxuxsDxxsxunn ),()( :1記為記為 )()(lim xsxsnn即即定義定義N )()(,N , 0,xsxsNnNDxn有有當當),(x (4) 定義定義8 .)(,)(11的收斂域的收斂域稱為稱為收斂點的全體集合收斂點的全體集合級數級數 nnnnxuxu.)()(1的收斂域的收斂域的收斂域本質上是的收斂域本質上

8、是xsxunnn 余項余項)()()(xsxsxRnn )(1xuiin Dxxsxunn ),()(1收收斂斂與與若若可通過部分和函數列討論級數的收斂域與和函數可通過部分和函數列討論級數的收斂域與和函數.下 頁上 頁 返 回例例2 試求下列級數的收斂域與和函數試求下列級數的收斂域與和函數),( , )1 (1 xxnn解解xxxxxsnnkkn 1)1()(1),( x)(limxsnn xxxnn 1)1 (lim 1,1,1xxxx發散發散),( ,)()()( )2(121 xxxxxxxunnnn解解nnxxs )(),( x)(limxsnn nnx lim 1 , 11| , 0

9、 xx收斂于收斂于內內在在 1)1 , 1(nnxxx 1收斂域收斂域 1 , 11| , 0)( xxxf和函數和函數 1 , 1( 下 頁上 頁 返 回問題問題：(1) 函數項級數的收斂域與和函數；函數項級數的收斂域與和函數； (2) 和函數的分析性質。和函數的分析性質。 對有限個連續、可積、可導函數的和仍相應是對有限個連續、可積、可導函數的和仍相應是連續、可積、可導連續、可積、可導,有很好的運算法則有很好的運算法則. 對無限個連續、可積、可導函數的和仍相應是對無限個連續、可積、可導函數的和仍相應是連續、可積、可導？連續、可積、可導？由上例由上例(2)知知 1 , 11| , 0)()()

10、()(121xxxfxxxxxxunnnn.1 , 11| , 0)(在在其其收收斂斂域域上上不不連連續續 xxxf進一步討論和函數的性質只在收斂條件下進行不夠。進一步討論和函數的性質只在收斂條件下進行不夠。下 頁上 頁 返 回 1 , 0(,2)()(2221 xxenxsxuxnnnn的部分和的部分和又如：若又如：若 1 , 0(, 0)( xxs,可積可積連續連續dxxunn 101)(dxxsnn 10)(lim)()( 110101 nkknkkdxxudxxu由于由于dxxunkkn )(lim101 dxxs 10)(dxxsnn )(lim10 , 0 )( lim)( lim

11、 110101 nkknnkkndxxudxxu)1 (lim2nnne 1 dxxunn 101)( 110)(nndxxu 110)(nndxxu結論：結論：即使和函數可積，求和函數的積分時也不能先即使和函數可積，求和函數的積分時也不能先 對每個函數積分后，再和對每個函數積分后，再和.為此引進為此引進一致收斂一致收斂的概念的概念下 頁上 頁 返 回二、函數列的一致收斂二、函數列的一致收斂回顧：回顧：上連續上連續在數集在數集函數函數Exf)(處連續處連續在在xxfEx)(, | )()(|),(, 0 , 0,xfxfxUxEx有有當當),( x上一致連續上一致連續在數集在數集函數函數Exf

12、)( | )()(| ,|, 0 , 0 xfxfxxExx有有時時當當)( )()(lim xfxfnn )()(,N , 0,xfxfNnNDxn有有當當),(x 1 定義定義9滿足滿足上函數列上函數列設設),(),(xfxfDn )()(,N , 0 xfxfDxNnNn有有當當)( )()(xfDxfn上一致收斂于上一致收斂于在在則稱函數列則稱函數列Dxnxfxfn ),(),( )( :記為記為下 頁上 頁 返 回命題：命題：Dxnxfxfn ),(),( )( )1 (若若Dxnxfxfn ),(),()(則則由定義顯然可得由定義顯然可得.(2) 反之不真反之不真.Dxnxfxfn

13、 ),(),()( 若若即即).(),( )( nxfDxfn上不一定一致收斂于上不一定一致收斂于在在).(),( )( nxfDxfn上不一致收斂于上不一致收斂于在在Dxnxfxfn ),(),( )(000000)()(,N, 00 xfxfDxNnNn有有例例3 判斷下列函數列在給定的區間上的一致收斂性判斷下列函數列在給定的區間上的一致收斂性),( , 2 , 1,sin)( )1 ( xnnnxxfn解解),(, 0)()(lim xxfxfnn,N,1sin)()( nnnnxxfxfn, 0 .1即可即可取取 NRxnnx 0, sin下 頁上 頁 返 回 1 , 1( , 2 ,

14、 1,)( )2( xnxxfnn解解nnxxfxfx| )()(| ,0 時時當當000000)()(,N, 00 xfxfDxNnNn有有Dxnxfxfn ),(),( )(0)11 (,N, 2010000 nnxnn故對故對00| )()(|000nnxxfxf 21)11 (0 n,)11 (, 2max,N,21 010000nnxNnN 取取即即 000)()(0 xfxfn有有 1 , 1(,1 , 11| , 0)( xxxxf)( xfn從而從而 1 , 1(,1 , 11| , 0)()( xxxxfxfn由前知由前知下 頁上 頁 返 回)()(xfDxfn上一致收斂于上

15、一致收斂于在在函數列函數列2. 幾何意義幾何意義 )()(,N )(, 0 xfxfDxNnNn有有當當Dx 0先取定先取定xoyx0f(x0) Nn 當項數充分大當項數充分大即給定即給定, 0 的的每每一一條條曲曲線線函函數數列列)(xfn.2,)()(帶形區域內帶形區域內的的寬為寬為為中的為中的函數函數將位于以極限將位于以極限 xfxfyn )()(xfDxfn上收斂于上收斂于在在函數列函數列的幾何意義呢？的幾何意義呢？下 頁上 頁 返 回3. 函數列一致收斂的判別法函數列一致收斂的判別法(1) Cauchy準則準則定理定理1上一致收斂上一致收斂在在函數列函數列Dxfn)( )()(,N

16、)(, 0 xfxfDxNmnNmn有有當當.)()(未知未知的極限函數的極限函數函數列函數列xfxfn證證2)()(,N , 0 xfxfDxNnNn有有當當 )(xfn設設Dxxf ),(2)()(, xfxfDxNmm有有 )()()()()()(xfxfxfxfxfxfmnmn )()(,N )(, 0 xfxfDxNmnNmn有有當當即即 )()(,N )(, 0 xfxfDxNmnNmn有有當當,)( ,收收斂斂xfDxn Dxnxfxfn ),(),()(設設 mxfxfmn中中令令在在 )()( )()(,N )(, 0 xfxfDxNnNn有有當當 )()(xfxfn)( x

17、fn即即Dxxf ),(下 頁上 頁 返 回3. 函數列一致收斂的判別法函數列一致收斂的判別法(1) Cauchy準則準則定理定理1上一致收斂上一致收斂在在函數列函數列Dxfn)( )()(,N )(, 0 xfxfDxNmnNmn有有當當.)()(未知未知的極限函數的極限函數函數列函數列xfxfn )()( ,N,N, 0 xfxfDxpNnNnpn有有當當 雖然雖然Cauchy準則，較用定義判別改進一步，應用時準則，較用定義判別改進一步，應用時往往也需要較復雜的技巧，操作上不理想的弱點。往往也需要較復雜的技巧，操作上不理想的弱點。(2) 上確界判別法上確界判別法)()(xfDxfn上一致收

18、斂于上一致收斂于在在函數列函數列)()(xfxfn 定理定理2Dx sup nlim0 證證 2)()(,N , 0 xfxfDxNnNn有有當當)(xfn設設Dxxf ),()()(xfxfn Dx sup,Nn 當當 2)()(xfxfn Dx sup nlim0 下 頁上 頁 返 回(2) 上確界判別法上確界判別法)()(xfDxfn上一致收斂于上一致收斂于在在函數列函數列)()(xfxfn 定理定理2Dx sup nlim0 證證 )()(xfxfn Dx sup nlim0 ,N , 0NnN 當當 )()(xfxfnDx sup,)()(, xfxfDxNnn有有當當)(xfnDx

19、xf ),(此判別法涉及上確界的求法。此判別法涉及上確界的求法。.,)()(法法可利用導數求最值的方可利用導數求最值的方上可導上可導在在、若若Dxfxfn當然也可以適當放大，如下所述：當然也可以適當放大，如下所述：)()(xfxfn Dx sup 若若0lim , nnnaa且且)(xfnDxxf ),(下 頁上 頁 返 回例例3 求下列函數列的收斂域，并討論一致收斂性求下列函數列的收斂域，并討論一致收斂性),(,)(1)( )1 (2 xnxxxfn解解)(limxfnn 2)(1limnxxn 0 進一步考察一致收斂進一步考察一致收斂)()(xfxfn ),( x)(xf 2)(1|nxx

20、 )(1 21222nxnxn nan 21021limlim nannn由于由于),( x2)(1)(nxxxfn ),( , 0)( xxf也可以利用一致收斂的定義驗證也可以利用一致收斂的定義驗證.下 頁上 頁 返 回),(,)( )2( xxxfnn解解)(limxfnn 1 , 1( 收斂域為收斂域為 1 , 11| , 0)(xxxf進一步考察一致收斂進一步考察一致收斂)()(xfxfn 1 , 01| ,|xxxn1 , 1(sup x)()(xfxfn , 1 nlim1 , 1(sup x)()(xfxfn , 01 . 1 , 1()(上不一致收斂上不一致收斂在在故故 xfn

21、.)1 , 1()( 上也不一致收斂上也不一致收斂在在同理同理 nnxxf),1 , 0( k但但,supkkx )()(xfxfn ,nk nlim)()(xfxfn 0lim nnknnxxf )(, , 0)(kkxxf 內閉一致收斂內閉一致收斂完全與一致連完全與一致連續性質相似續性質相似,supkkx 下 頁上 頁 返 回例例4 證明證明)(xfn若若,),(Dxxf )(xgnDxxg ),()()(xgxfnn 則則,),()(Dxxgxf ,N , 011NnN 當當 ,2)()(, xfxfDxn有有證證,N 22NnN 當當,2)()(, xgxgDxn有有,N,max21N

22、nNNN 當當取取)()()()(,xgxfxgxfDxnn 有有 )()()()(xgxgxfxfnn)()(xgxfnn 則則,),()(Dxxgxf 下 頁上 頁 返 回三、函數項級數的一致收斂三、函數項級數的一致收斂 函數列一致收斂是函數在區間上的整體性質，收函數列一致收斂是函數在區間上的整體性質，收斂僅僅是局部性質。斂僅僅是局部性質。下面介紹函數項級數的一致收斂性下面介紹函數項級數的一致收斂性.1 定義定義10,)()(的部分和函數列的部分和函數列是函數項級數是函數項級數設設 xuxsnn)(xsn若若, ),(Dxxs )()(xsDxun上一致收斂于上一致收斂于在在則稱則稱 )(

23、)(,N , 0 xsxsDxNnNn有有當當)( )()(,N )(, 0 xsxsDxNmnNmn有有當當)()(xsxsn Dx sup nlim0 函數項級數的一致收斂歸結為部分和函數列的一致收斂函數項級數的一致收斂歸結為部分和函數列的一致收斂.由前討論可得：由前討論可得：)()(xsDxun上一致收斂于上一致收斂于在在 )(xRn, , 0Dx 下 頁上 頁 返 回 以上方法只有在級數的部分和函數列能求得時可用，以上方法只有在級數的部分和函數列能求得時可用，然而有時求部分和函數列非常困難然而有時求部分和函數列非常困難.2 函數項級數一致收斂的判別方法函數項級數一致收斂的判別方法(1)

24、 必要條件必要條件定理定理3 ,)(上一致收斂上一致收斂在在若若Dxun )( xun則則. , 0Dx )()( ,N )(, 01xsxsDxNnNnn有有當當事實上事實上,)(上一致收斂上一致收斂在在若若Dxun | )(| 1xun即即)( xun則則. , 0Dx 0)1 , 1()(上不一致收斂于上不一致收斂于在在由于由于 nnxxu.)1 , 1(上也不一致收斂上也不一致收斂在在 nx.)1 , 1(,上不一致收斂上不一致收斂在在但但 kkxn頁頁詳見詳見32P下 頁上 頁 返 回(2) 優級數法優級數法Weierstrass法法定理定理4 .)(上一致收斂上一致收斂在在則則Dx

25、un 此法類似于正項級數的比較法，將一致收斂轉化為此法類似于正項級數的比較法，將一致收斂轉化為尋找一個收斂的正項級數尋找一個收斂的正項級數,稱為稱為M- -審斂法審斂法. ).(,)(級數級數為優級數為優級數稱稱若若MMDxMxunnn證證由柯西收斂準則即得由柯西收斂準則即得 收斂收斂nMN,N , 0 pNnN當當 pnnpnnMMMM11| pnnpnnMMxuxu11| )()(|即即, 2 , 1,)(, )( nDxMxuMxuDnnnn使得使得正項級數正項級數若存在一個收斂的若存在一個收斂的上函數項級數上函數項級數在在,Dx .)(上一致收斂上一致收斂在在則則Dxun 下 頁上 頁

26、 返 回例例5 討論下列函數級數在給定的區間上的一致收斂性討論下列函數級數在給定的區間上的一致收斂性, )1 (絕對收斂絕對收斂設數項級數設數項級數 na.),(cossin一致收斂性一致收斂性在在與與討論討論 nxanxann|cos,sinnnnanxanxa 由于由于收斂收斂 na.),(cossin內內一一致致收收斂斂在在與與 xnxanxann解解. ),(,1 )2(125 nxxnnx解解)1 (125232525xnnxnxnnx )1 (21252325xnnxn 2321n 收斂收斂由于由于 12321nn.),(1125 nxxnnx一致收斂一致收斂在在下 頁上 頁 返 回. ),(),1( ,cos )3(1 npxpnnx一致收斂一致收斂例例5 討論下列函數級數在給定的區間上的一致收斂性討論下列函數級數在給定的區間上的一致收斂性. ),(,1sin)1( )4(12 nnxnnx一致收斂一致收斂. ), 1(,2)1( )5(1 nnnxx), 1(, 1,1212)1( xnxnnn收斂收斂由于由于 121