1、精選優質文檔-傾情為你奉上中考總復習：分式與二次根式知識講解（提高）【考綱要求】1. 了解分式的概念，會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據具體問題數量關系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質進行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進行二次根式的運算【知識網絡】【考點梳理】考點一、分式的有關概念及性質1分式設A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式沒有意義.2.分式的基本性質（M為不等于零的整式）.3最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最

2、簡分式如果分子分母有公因式，要進行約分化簡.要點詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數線則可以理解為除號，還含有括號的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據它的原有形式進行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式中， 當B0時，分式有意義；當分式有意義時，B0 當B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0 當B0且A = 0時，分式的值為零考點二、分式的運算1基本運算法則分式的運算法則與分數的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）

3、加減運算 ±= 同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. ；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.（2）乘法運算 兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算 兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運算 （分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數 .3負整數指數 4分式的混合運算順序 先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的5約分 把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分約分需明確的問題：(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與

4、分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；(2)約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數的最大公約數和相同字母最低次冪的積6通分根據分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分通分注意事項：(1)通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數的最小公倍數與所有因式的最高次冪的積 (2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉 (3)確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數，取各分母系數的最小公倍數；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次

5、冪的積.要點詮釋：分式運算的常用技巧（1）順序可加法：有些異分母式可加,最簡公分母很復雜,如果采用先通分再可加的方法很繁瑣.如果先把兩個分式相加減,把所得結果與第三個分式可加減,順序運算下去,極為簡便.(2)整體通分法：當整式與分式相加減時,一般情況下,常常把分母為1的整式看做一個整體進行通分,依此方法計算,運算簡便.(3)巧用裂項法：對于分子相同、分母是相鄰兩個連續整數的積的分式相加減，分式的項數是比較多的，無法進行通分，因此，常用分式進行裂項.(4)分組運算法: 當有三個以上的異分母分式相加減時,可考慮分組,原則是使各組運算后的結果能出現分子為常數,且值相同或為倍數關系,這樣才能使運算簡便

6、.(5)化簡分式法：有些分式的分子、分母都異常時如果先通分，運算量很大.應先把每一個分別化簡，再相加減.（6）倒數法求值（取倒數法）.（7）活用分式變形求值.(8)設k求值法(參數法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點三、分式方程及其應用1分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程 3分式方程的增根問題(1)增根的產生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉化為整式方程后，方程中未知數允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現不適合原

7、方程的根-增根；(2)驗根：因為解分式方程可能出現增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應用列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數、確定主要等量關系、用含未知數的分式或整式表示未知量”等關鍵環節，從而正確列出方程，并進行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性要點詮釋： 解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公

8、分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應用題的基本步驟：(1)審仔細審題，找出等量關系；(2)設合理設未知數；(3)列根據等量關系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗檢驗增根；(6)答答題考點四、二次根式的主要性質1.；2.；3.；4. 積的算術平方根的性質：；5. 商的算術平方根的性質：.6.若，則.要點詮釋： 與的異同點：（1）不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數a的算術平方根的平方，而表示一個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數但與都是非負數，即，因而它的運算的結果是有差別的， ，而（2）相同點：當被開方數都

9、是非負數，即時，=；時，無意義，而.考點五、二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結果應滿足以下兩個要求：應為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；(3)乘法公式的推廣：2二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；3二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準確地進行二次根式

10、的混合運算.1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例如，沒有必要先對進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據乘法分配律進行乘法運算，通過約分達到化簡目的；(2)多項式的

11、乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.4分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.【典型例題】類型一、分式的意義1若分式的值為0，則x的值等于 【答案】1；【解析】由分式的值為零的條件得1=0，x+10，由1=0，得x=1或x=1，由x+10，得x1，x=1，故

12、答案為1【總結升華】若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0這兩個條件缺一不可舉一反三：【變式1】如果分式的值為0，則x的值應為 .【答案】由分式的值為零的條件得3x2-27=0且x-30，由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，x=-3或x=3，由x-30，得x3綜上，得x=-3，分式的值為0故答案為：-3【高清課程名稱：分式與二次根式 高清ID號：關聯的位置名稱（播放點名稱）：例1】【變式2】若分式不論x取何實數總有意義，則m的取值范圍是 【答案】若分式不論x取何實數總有意義，則分母0，設，當0即可，.答案m1.類型二、分式的性質2已知求的值. 【答案

13、與解析】 設,所以所以所以即或當,所求代數式,當,所求代數式.即所求代數式等于或.【總結升華】當已知條件以此等式出現時，可用設k法求解.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】因為 各式可加得所以，所以類型三、分式的運算3已知且,求的值.【答案與解析】 因為,所以原等式兩邊同時乘以,得:即所以所以【總結升華】 條件分式的求值，如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據題目自身的特點，這樣才能到事半功倍的效果，條件分式的求值問題體現了整體的數學思想和轉化的數學思想.舉一反三：【變式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【高清課程名稱：分式與二次根式 高清ID號：關聯的位置名稱

14、（播放點名稱）：例2】【變式2】已知xy=4，xy=12，求的值【答案】原式=將xy4，xy12代入上式，原式類型四、分式方程及應用4a何值時,關于x的方程會產生增根?【答案與解析】 方程兩邊都乘以,得整理得.當a = 1 時,方程無解.當時,.如果方程有增根,那么,即或.當時,所以;當時,所以a = 6 .所以當或a = 6原方程會產生增根.【總結升華】 因為所給方程的增根只能是或，所以應先解所給的關于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5甲乙兩人準備整理一批新到的實驗器材若甲單獨整理需要40分鐘完工：若甲乙 共同整理20分鐘后，乙需再單獨整理20分鐘才能完工（1）問乙單獨整理多少分鐘完工

15、？（2）若乙因工作需要，他的整理時間不超過30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】（1）設乙單獨整理x分鐘完工，根據題意得：解得x80，經檢驗x80是原分式方程的解答：乙單獨整理80分鐘完工（2）設甲整理y分鐘完工，根據題意，得解得：y25答：甲至少整理25分鐘完工【總結升華】分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵此題等量關系比較多，主要用到公式：工作總量工作效率×工作時間（1）將總的工作量看作單位1，根據本工作分兩段時間完成列出分式方程解之即可；（2）設甲整理y分鐘完工，根據整理時間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可舉一反三：【變式】小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達若設走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據題意，得（ ）A BC D【答案】設走