1、.1990年普通高等學校招生全國統一考試數 學文史類 一、選擇題:在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.把所選項前的字母填在題后括號內.  2cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于 3假如軸截面為正方形的圓柱的側面積是S,那么圓柱的體積等于 6上圖是函數y=2sinx+<的圖象,那么 7設命題甲為:0<x<5;命題乙為:x-2<3.那么A甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件.B甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件.C甲是乙的充要條件.D甲不是乙的充

2、分條件,也不是乙的必要條件.A-2,4   B-2,0,4C-2,0,2,4      D-4,-2,0,49假如直線y=ax+2與直線y=3x-b關于直線y=x對稱,那么Ca=3,b=-2 Da=3,b=610假如拋物線y2=ax+1的準線方程是x=-3,那么這條拋物線的焦點坐標是A3,0    B2,0C1,0    D-1,0A      B2,3C2,3    Dx,yy=x+1

3、12A,B,C,D,E五人并排站成一排,假如A,B必須相鄰且B在A的右邊,那么不同的排法共有A60種    B48種C36種    D24種13fx=x5+ax3+bx-8,且f-2=10,那么f2等于A-26     B-18C-10     D1014如圖,正三棱錐S-ABC的側棱與底面邊長相等,假如E、F分別為SC、AB的中點,那么異面直線EF與SA所成的角等于A90°B60°C45°D30° 15以

4、一個正三棱柱的頂點為頂點的四面體共有A6個     B12個C18個    D30個二、填空題:把答案填在題中橫線上.17x-1-x-12+x-13-x-14+x-15的展開式中,x2的系數等于           .19如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,假設E、F分別為AB、AC的中點,平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2=      

5、;    三、解答題.21有四個數,其中前三個數成等差數列,后三個數成等比數列,并且第一個數與第四個數的和是16,第二個數與第三個數的和是12,求這四個數23如圖,在三棱錐S-ABC中,SA底面ABC,ABBC.DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數. 24a>0,a1,解不等式loga4+3x-x2-loga2x-1>loga2.25設a0,在復數集C中解方程z2+2z=a. 1990年試題文史類答案 一、選擇題:此題考察根本知識和根本運算

6、.1A   2C   3D   4B   5D6C   7A   8B   9A   10C11B  12D  13A  14C  15B二、填空題:此題考察根本知識和根本運算.三、解答題.21本小題考察等差數列、等比數列的概念和運用方程組解決問題的才能.依題意有由式得     d=12-2a.      整

7、理得 a2-13a+36=0.解得  a1=4, a2=9.代入式得   d1=4,  d2=-6.從而得所求四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:設四個數依次為x,y,12-y,16-x.依題意,有由式得     x=3y-12.      將式代入式得    y16-3y+12=12-y2,整理得 y2-13y+36=0.解得  y1=4,y2=9.代入式得   x1=0,x2=15.從而

8、得所求四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.22本小題考察三角公式以及三角函數式的恒等變形和運算才能.解法一:由得兩式相除得解法二:如圖,不妨設0<2,且點A的坐標是cos,sin,點B的坐標是cos,sin,那么點A,B在單位圓x2+y2=1上.連結AB,假設C是AB的中點,由題設知點C 連結OC,于是OCAB,假設設點D的坐標是1,0,再連結OA,OB,那么有解法三:由題設得    4sin+sin=3cos+cos.將式代入式,可得 sin-j=sinj-.于是  -j=2k+1-j-kZ,或   

9、; -j=2k+j-kZ.假設    -j=2k+1-j-kZ,那么=+2k+1kZ.于是  sin=-sin,即sin+sin=0.由此可知     -j=2k+j-kZ.即    +=2j+2kkZ.23本小題考察直線和平面,直線和直線的位置關系,二面角等根本知識,以及邏輯推理才能和空間想象才能. 解法一:由于SB=BC,且E是SC的中點,因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SCBE.又 SCDE,BEDE=E,  SC面BDE,  SCB

10、D.又    SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD.而    SCSA=S,BD面SAC.  DE=面SAC面BDE,DC=面SAC面BDC,  BDDE,BDDC.   EDC是所求的二面角的平面角.  SA底面ABC,SAAB,SAAC.又DESC,所以EDC=60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB=BC,且E是SC的中點,因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SCBE.又 SCDE,BEDE=E.  SC面BDE,  S

11、CBD.由于SA底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂線定理的逆定理得BDAC;又因ESC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于DAC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根據三垂線定理又得BDDE.DE面BDE,DC面BDC,EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.24本小題考察對數,不等式的根本知識及運算才能.解:原不等式可化為loga4+3x-x2>loga22x-1.   當0<a<1時,式等價于即當0<a<1時,原不等式的解集是x2<x<4.當a>

12、1時,式等價于25本小題考察復數與解方程等根本知識以及綜合分析才能.解法一:設z=x+yi,代入原方程得于是原方程等價于方程組由式得y=0或x=0.由此可見,假設原方程有解,那么其解或為實數或為純虛數.下面分別加以討論.情形1. 假設y=0,即求原方程的實數解z=x.此時,式化為x2+2x=a. 令x>0,方程變為x2+2x=a.      由此可知:當a=0時,方程無正根;令x<0,方程變為x2-2x=a.       由此可知:當a=0時,方程無負根;令x=0,方程變為

13、0=a.   由此可知:當a=0時,方程有零解x=0;當a>0時,方程無零解.所以,原方程的實數解是:當a=0時,z=0;情形2. 假設x=0,由于y=0的情形前已討論,如今只需考察y0的情形,即求原方程的純虛數解z=yiy0.此時,式化為-y2+2y=a.     令y>0,方程變為-y2+2y=a,即y-12=1-a. 由此可知:當a>1時,方程無實根.從而,  當a=0時,方程有正根       y=2;令y<0,方程變為-y2-2y=

14、a,即y+12=1-a. 由此可知:當a>1時,方程無實根.從而,  當a=0時,方程有負根       y=-2;所以,原方程的純虛數解是:當a=0時,z=±2i;而當a>1時,原方程無純虛數解.解法二:設z=x+yi,代入原方程得于是原方程等價于方程組由式得y=0或x=0.由此可見,假設原方程有解,那么其解或為實數,或為純虛數.下面分別加以討論.情形1. 假設y=0,即求原方程的實數解z=x.此時,式化為x2+2x=a.情形2. 假設x=0,由于y=0的情形前已討論,如今只需考察y0的情形,即求原方

15、程的純虛數解z=yiy0.此時,式化為-y2+2y=a.當a=0時,因y0,解方程得y=2,即當a=0時,原方程的純虛數解是z=±2i.即當0<a1時,原方程的純虛數解是當a>1時,方程無實根,所以這時原方程無純虛數解.解法三:因為z2=-2z+a是實數,所以假設原方程有解,那么其解或為實數,或為純虛數,即z=x或z=yiy0.情形1. 假設z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2. 假設z=yiy0.以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:設z=rcos+isin,其中r0,0<2.代入原方程得r2cos2+2r+ir2sin2=a.于是原方程等價于方程組情形1. 假設r=0.式變成0=a.   由此可知:當a=0時,r=0是方程的解.當a>0時,方程無解.所以,  當a=0時,原方程有解z=0;當a>0時,原方程無零解.當k=0,2時,對應的復數是z=±r.因cos2=1,故式化為r2+2r=a.  由此