1、第八章 重積分習題課一. 內容提要1.基本概念(1)重積分定義重積分定義在本質上與(上限大于等于下限的)定積分是一樣的,都是Riemann和式的極限,統稱為Riemann積分,記為.當有界閉域時,就是定積分,通常記為;當有界閉域時,就是二重積分,通常記為;當有界閉域時,就是三重積分,通常記為;一般地,當有界閉域時,稱為重積分,記為. (2)存在條件必要條件是在上有界;而在上連續或分片(塊)連續,則是存在的充分條件. (3)幾何或物理意義 當時,二重積分表示為底面、以曲面塊為頂面、母線平行于軸的曲頂柱體的體積；也可表示面密度為的平面物體的質量.三重及更多重積分沒有幾何意義;但三重積分的物理意義是

2、明顯的: 密度為的物體的質量. (4)重積分的性質重積分具有與(上限大于等于下限的)定積分相同的性質,主要是:線性性;對積分域的可加性;保序性;估值定理;中值定理.2.重積分的計算化為累次積分(1) 二重積分在直角坐標系下的計算公式 平面面積元素. 化為二次積分當為型區域即時,化為先對后對的二次積分;當為型區域即時,化為先對后對的二次積分.積分次序的選擇與累次積分交換次序的問題當既是型區域又是型區域時,有,即在計算時可根據“既能計算出來,又盡量簡單”的原則,選擇一個適當的次序進行.以上等式也表明,此時可以交換二次積分的積分次序.當按一種次序積分有困難時,可將其交換次序后,再進行計算.(2) 二

3、重積分在極坐標系下的計算公式(大多化為先對后對的積分的二次積分)當積分域的邊界曲線以極坐標方程表示較為簡單時(如圓、心臟線、雙紐線、過原點的射線等),應考慮采用極坐標進行計算,特別是若被積函數為,則計算更為簡單.利用關系式,將被積函數化為.平面面積元素,于是.化為二次積分 當極點在域的外部時,域可表示為,故;當極點在域的邊界上時,域可表示為,故;當極點在域的內部時,域可表示為,故.(3) 一般區域上的二重積分的計算以上各種類型的積分區域,統稱為簡單區域.不是簡單區域的區域,就稱為一般區域.計算一般區域上的二重積分時,應先將分割為若干個簡單區域,即,再利用重積分對區域的可加性得:.(4) 利用對

4、稱性簡化計算 當積分域對稱于坐標軸或原點,且被積函數具有相應的對稱性時,二重積分的計算可以簡化. 當對稱于(即軸) 時,10若（即是的奇函數）,則;20若（即是的偶函數）,則,其中為的上半部分. 當對稱于（即軸）時,10若（即是的奇函數）,則;20若（即是的偶函數）,則,其中為的右半部分. 當既對稱于軸,又對稱于軸時,10若,或（即是的奇函數或的奇函數）則;20若且（即既是的又是的偶函數），則,其中為在第一象限的部分.當對稱于原點時,若,則. (5) 三重積分在直角坐標系下的計算公式 體積元素. “穿針法” 當用平行于(或,或)軸 的任意直線沿坐標軸方向穿過的內部時,與的邊界曲面至多只有兩個交

5、點,這樣的區域稱為簡單區域.記在坐標面上的投影域為,的下邊界曲面(穿入曲面)、上邊界曲面(穿出曲面)的方程分別為,其中且都在上連續,則三重積分可化為先做一個定積分后做一個二重積分(簡稱為先1后2),即.進而可以將其化為三次積分或 . 類似地,有及等等.“切片法” 用平面去截,得截面,于是三重積分也可以化為先做一個二重積分后做一個定積分(簡稱為先2后1),即 可繼續化分三次積分. (6) 三重積分在柱坐標系下的計算公式 ().體積元素.通常化為先對,再對,后對的三次積分,其中. 注: 中的計算公式,其實只不過是在穿針法中計算二重積分時采用極坐標罷了, 可以不必去背這個公式. (7) 三重積分在球

6、坐標系下的計算公式 ().體積元素. 通常化為先對,再對,后對的三次積分,其中 注:球坐標系也稱為空間極坐標系;在后繼課程數理方程中,和的含義與此處剛好相反.(8)利用對稱性簡化三重積分的計算 10設可積,若關于坐標面(即面)對稱,則 20若三個積分變量在的方程中具有輪換對稱性或地位一樣,則 例如3.重積分的應用(1) 重積分的幾何應用 平面有界閉域的面積. 空間有界閉域的體積. 曲面塊的面積設:在平面上的投影域為,則的面積元素為,故其面積為.(2) 重積分的物理應用 物體的質量(也稱為該物體的零階矩)面密度為的平面物體的質量,密度為的立體的質量. 物體的轉動慣量(也稱為慣性矩或二階矩),其中

7、是的任一點到“轉動軸”的距離.于是面密度為的平面物體對軸的轉動慣量,面密度為的平面物體對軸的轉動慣量,面密度為的平面物體對原點的轉動慣量,顯然.密度為的物體對軸的轉動慣量,密度為的物體對軸的轉動慣量,密度為的物體對軸的轉動慣量,密度為的物體對原點軸的轉動慣量,密度為的物體對面的慣性矩,密度為的物體對面的慣性矩,密度為的物體對面的慣性矩. 物體的重心坐標因為物體的質量與重心坐標之積等于該物體關于相應坐標軸(平面物體)或坐標面(空間物體)的靜力矩(即一階矩),故平面物體的重心坐標為,.空間物體的重心坐標為,. 注：可妙用形心坐標公式求某些重積分：物體對質點的引力二.課堂練習(復習題8，帶*號者為補

8、充題)1.填空題(1) 若,則;解.(2) 若,則;解.(3) 若,則;解.(4) 若,則.解 .(*5)設則 解 記則2.選擇題 (1)設,(),則正確的的大小關系為 (A); (B); (C); (D). 答: (D). 解 在域上,被積函數連續且,于是,故由保序性知(2)設,則等于 (A)倍的體積; (B); (C); (D). 答: (C).(*3)設連續,則二次積分等于(A) (B);(C) (D).答: (B).解 (*4)設連續，則二次積分等于 (A) (B) (C) (D)答: (C).3.求,其中.解 .4.求,其中,具有連續的導數,且.解原式.5.設，其中是由及所圍成的閉區

9、域：（1）作出的積分域的圖形； （2）把化為不同順序的累次積分（3）任選其中一種順序計算值. 解 （1）積分域的圖形見右圖. （2）把化為不同順序的累次積分： （i） 先對積分,的變化范圍：. 在坐標面上的投影域如陰影部分所示. ;（ii）先對積分.的變化范圍:,在坐標面上的投影見下左圖.（iii）先對積分.此時需將域分為和兩部分（是位于坐標面后面的部分,則是前面的部分）.在坐標面上的投影域見上右圖.（3）.6設，. （1）作出的積分域的圖形； （2）把改變為先對,次對,再對的累次積分；（3）把改變為柱坐標系下的累次積分；（4）把改變為球坐標系下的累次積分；（5）任選一種積分順序計算值. 解

10、（1）積分域的圖形如右圖所示. （2）先對積分.需將域分為和兩部分（為位于坐標面下方的錐體,為位于坐標面上方的半球體）, 和在坐標面上投影域分別為三角形和半圓形的閉域,于是（3）柱坐標系下,:,.因此.（4）在球坐標系下,選擇先對積分.需將域分為與兩部分（為位于坐標面上方部分的半球體,為位于坐標面下方部分的錐體）.因為上半球面在球坐標系下方程為,錐面在球坐標系下方程為,因此.（5）選擇在柱坐標系下計算.7.計算下列各式(3)，其中是由曲線，繞軸旋轉一周而成的曲面與兩平面，所圍成的閉區域；解 在柱坐標系下計算，令, 則體積元素.方法一：若先對積分,則需將域分為和兩部分.方法二：先對積分得 . （

11、4）； 解 按所給次序對的積分無法進行,因此需交換積分順序.設,其中由確定(見右圖). 交換積分順序,選擇先對,次對,后對積分得.（5）解 在球坐標系下,先對積分得.另解：8. 計算，其中；解 利用被積函數的奇、偶性和域的對稱性(見圖)計算 9.若連續,則,其中. 證 左端右端.10. 求證：，其中為連續函數.證左端右端.11.已知兩個球體的半徑分別為和,且小球球心在大球面上.試求小球體在大球體內的那部分體積. 解 如圖建立坐標系, 則大球面為,小球面為. 所求體積為 , 其中：(圖中陰影部分). 在柱坐標系下計算： . 另解:12.設為曲面與所圍空間閉區域,試求：（1）體積；（2）的表面積.

12、解 兩曲面的交線方程為： 圖形如下： , 即. （1）. （2） .13. 設半徑為的球的球心在半徑為（常數）的定球面上,試求當為何值時,前者夾在定球內部的表面積為最大.解如圖建立坐標系,則定球面的方程為, 中心在(0,0,),半徑為的球面方程為. 由,消去得夾在定球內的那部分在坐標面上的投影域(見圖)的方程為 . （1）先求半徑為的球面夾在定球內部的表面積,.（2）再求表面積的最大值 , .令,解得惟一駐點;且.由實際意義知,當時,半徑為的球夾在定球內部的表面積為最大.14.在第一卦限內作旋轉拋物面的切平面.使得該切平面與旋轉拋物面及三個坐標面所圍成的體積最小,求切點的坐標.解（1）先求體積函數設所求切點坐標為.曲面在點的法矢量：,