1、第3章 中值定理與導數的應用內容概要名稱主要內容（3.1、3.2）3.1 中值定理名稱條件結論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內可導；（3）至少存在一點使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內可導至少存在一點使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內可導；（2）在內每點處至少存在一點使得3.2 洛必達法則基本形式型與型未定式通分或取倒數化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數的手段化為型或型，即：或；取對數化為基本形式1）型：取對數得，其中或；2）型：取對數得，其中或；3）型：取對數得，其中或。課后習題全解習題3-11.下列函數在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的

2、所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數值。（1）； （2）。知識點：羅爾中值定理。思路：根據羅爾定理的條件和結論，求解方程，得到的根便為所求。解：（1）在上連續(xù)，在內可導，且，在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。 （2）在上連續(xù)，在內可導，且，在上滿足羅爾定理的條件。令，得即為所求。2.驗證拉格朗日中值定理對函數在區(qū)間上的正確性。知識點：拉格朗日中值定理。思路：根據拉格朗日中值定理的條件和結論，求解方程，若得到的根則可驗證定理的正確性。解：在連續(xù)，在內可導，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，要使，只要：，使，驗證完畢。3.已知函數在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的。解：要

3、使，只要，從而即為滿足定理的。4.試證明對函數應用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設所討論的區(qū)間為，則函數在上連續(xù)，在內可導，從而有，即，解得，結論成立。5.函數與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數值。知識點：柯西中值定理。思路：根據柯西中值定理的條件和結論，求解方程，得到的根便為所求。解：及在上連續(xù)，在內可導，且在內的每一點處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，解得，即為滿足定理的數值。6.設在上連續(xù)，在內可導，且。求證：存在，使。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：從結論出發(fā)，變形為，構造輔助函數使其導函數為， 然后再利用羅爾中

4、值定理，便得結論。構造輔助函數也是利用中值定理解決問題時常用的方法。證明：構造輔助函數，根據題意在上連續(xù)，在內可導，且，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即。注：輔助函數的構造方法一般可通過結論倒推，如：要使，只要只要設輔助函數7.若函數在內具有二階導函數，且，證明：在內至少有一點，使得。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明：在內具有二階導函數，在、內連續(xù)，在、內可導，又，由羅爾定理，至少有一點、，使得、；又在上連續(xù)，在內可導，從而由羅爾中值定理，至少有一點，使得。8.若4次方程有4個不同的實根，證明：的所有根皆為實根。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論方程根的情

5、況可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意，有4個不同的實數零點，分別設為，在、上連續(xù)，在、上可導，又，由羅爾中值定理，至少有一點、使得，即方程至少有3個實根，又三次方程最多有3個實根，從而結論成立。9.證明：方程只有一個正根。知識點：零點定理和羅爾定理的應用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結合零點定理和羅爾定理得出結論。零點定理往往用來討論函數的零點情況；羅爾定理往往用來討論導函數的零點情況。解：令，在上連續(xù)，且，由零點定理，至少有一點，使得；假設有兩個正根，分別設為、（），則在在上連續(xù)，在內可導，且，從而由羅爾定理，至少有一點，使得，這不可能。方程只有一個正根。10.不用求出函數

6、的導數，說明方程有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論導函數的零點，可考慮利用羅爾中值定理。解： 在、上連續(xù)，在、內可導，且，由羅爾中值定理，至少有一點、，使得，即方程至少有三個實根，又方程為三次方程，至多有三個實根，有3個實根，分別為、。11.證明下列不等式：（1） ； （2） 當 時， ；（3） 設 ，證明； （4） 當時，。知識點：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋找函數，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令，在上連續(xù)，在內可導，由拉格朗日中值定理，得。（2）令，在上連續(xù)，在內可導，由拉格朗日中值定理，得，從而當 時

7、，。（3）令，在上連續(xù)，在內可導，由拉格朗日中值定理，得，即，。（4）令，在上連續(xù)，在內可導，由拉格朗日中值定理，得，即當時，。12.證明等式：.知識點：（為常數）。思路：證明一個函數表達式恒等于一個常數，只要證證明：令，當時，有；當時，有，；成立。13.證明：若函數在內滿足關系式，且，則。知識點：思路：因為 ，所以當設時，只要證即可證明：構造輔助函數，則；。14.設函數在上連續(xù)，在內有二階導數，且有，試證在內至少存在一點，使。知識點：拉格朗日中值定理的應用。思路：關于導函數在一點處符號的判斷，根據已知條件和拉格朗日中值定理的結論，逐層分析各層導函數改變量和自變量改變量的符號，得出結論。證明：

8、在、上連續(xù)，在、內可導，由拉格朗日中值定理，至少有一點、，使得，；又在上連續(xù)，在內可導，從而至少有一點，使得。15.設在上可微，且試證明在內至少有兩個零點。知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。思路：要證明在某個區(qū)間內導函數至少存在兩個零點，只要證該函數在上有三個零點，即可以利用羅爾中值定理，得出結論。證明：，由極限的保號性知，（不妨設），對于，均有，特別地，使得，得；同理，由得（），使得，從而得；又在上連續(xù)，由介值定理知，至少有一點使得；在、上連續(xù)，在、內可導，且，由羅爾中值定理知，至少有一點、，使得，結論成立。16.設在閉區(qū)間上滿足，試證明存在唯一的，使得。知識點：微分中值定理或函

9、數單調性的應用。思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數的單調性得出結論。證明：存在性。在上連續(xù)，在內可導，由拉格朗日中值定理知，至少有一點，使得。唯一性的證明如下：方法一：利用反證法。假設另外存在一點，使得，又在（或）上連續(xù)，在（或）內可導，由羅爾中值定理知，至少存在一點（或），使得，這與在閉區(qū)間上滿足矛盾。從而結論成立。方法二：在閉區(qū)間上滿足，在單調遞增，從而存在存在唯一的，使得。結論成立。17.設函數在的某個鄰域內具有階導數，且試用柯西中值定理證明：。知識點：柯西中值定理。思路：對、在上連續(xù)使用次柯西中值定理便可得結論。證明：、及其各階導

10、數在上連續(xù)，在上可導，且在每一點處，又，連續(xù)使用次柯西中值定理得，從而結論成立。習題3-21.用洛必達法則求下列極限：（1） ； （2） ； （3）； （4）；（5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）；（17）； （18）； （19）； （20）。知識點：洛必達法則。思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：型與型未定式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達法則；對于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數的形式化為基本形式；對于型、型與型的未定式，可通過取對數等手段化為未定式；此

11、外，還可以結合等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。解： （1） ；（2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） ；（8）；（9） ；（或解為：）（10）；（或解為：當時，）（11）；（12）；（或解為：）（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）令，則2.驗證極限存在，但不能用洛必達法則求出。知識點：洛必達法則。思路：求導后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能說洛必達法則失效。洛必達法則不能解決所有的未定型極限問題。解：，極限存在；若使用洛必達法則，得，而不存在，所以不能用洛必達法則求出。3.若有二階導數，證明。知識點：導數定義

12、和洛必達法則。思路：使用洛必達法則，對極限中的函數上下求關于的導數，然后利用導數定義得結論。證明：，結論成立。4.討論函數在點處的連續(xù)性。知識點：函數在一點連續(xù)的概念。思路：討論分段函數在分段點處的連續(xù)性，要利用函數在一點處左、右連續(xù)的概念。解：，在處右連續(xù)；又，在處左連續(xù)；從而可知，在點處連續(xù)。5.設在處二階可導，且。試確定的值使在處可導，并求，其中 。知識點：連續(xù)和可導的關系、洛必達法則。思路：討論分段函數在分段點處的連續(xù)性、可導性，一般考慮利用定義。解：要使在處可導，則必有在處連續(xù)，又在處，；由導數定義，。內容概要名稱 主要內容（3.3）3.3 泰勒公式泰勒中值定理：如果在含有的某個開區(qū)

13、間內具有階的導數，則對任一，有，此公式稱為階泰勒公式；其中（介于于之間），稱為拉格朗日型余項；或，稱為皮亞諾型余項。階麥克勞林公式：其中（）或。常用的初等函數的麥克勞林公式：1）2）3）4）5）6）習題3-31.按的冪展開多項式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法。求按的冪展開的階泰勒公式，則依次求直到階的導數在處的值，然后帶代入公式即可。解：，；，；，；將以上結果代入泰勒公式，得。2.求函數按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的三階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；將以上結果代入泰勒公式，得，（介于與4之間）。3.把在點展開到含項，并求。知識點：麥克勞林公式。思路：間接展開法

14、。為有理分式時通常利用已知的結論。解：；又由泰勒公式知前的系數，從而。4.求函數按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為對數函數時，通常利用已知的結論。方法一：（直接展開），；，；，；，；將以上結果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函數按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為有理分式時通常利用已知的結論。方法一：，；，；，；將以上結果代入泰勒公式，得 （介于與之間）。方法二：（介于與之間）。6.求函數的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林展開式。知識點：麥克勞林公式。思

15、路：直接展開法，解法同1；間接展開法。中含有時，通常利用已知結論。方法一：，；，；，將以上結果代入麥克勞林公式，得。方法二：。7.驗證當時，按公式計算的近似值時，所產生的誤差小于，并求的近似值，使誤差小于。知識點：泰勒公式的應用。思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。解：；。8.用泰勒公式取，求的近似值，并估計其誤差。知識點：泰勒公式的應用。解：設，則，從而；其誤差為：。9.利用函數的泰勒展開式求下列極限：（1） ； （2） 。知識點：泰勒展開式的應用。思路：間接展開法。利用已知的結論將函數展開到適當的形式，然后利用極限的運算性質得到結果。解：（1）。（2）。10.設，證明：

16、。知識點：泰勒公式。思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數，另一邊為其冪級數展開的一部分時，可考慮用泰勒公式。解：（介于與之間），從而，結論成立。（也可用3.4函數單調性的判定定理證明之）11.證明函數是次多項式的充要條件是。知識點：麥克勞林公式。思路：將按照麥克勞林公式形式展開，根據已知條件，得結論。解：必要性。易知，若是次多項式，則有。充分性。，的階麥克勞林公式為：，即是次多項式，結論成立。12.若在上有階導數，且證明在內至少存在一點，使。知識點：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗證在上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒

17、中值定理，根據在處的泰勒展開式及已知條件得結論。方法一：在上可導，且，由羅爾中值定理知，在內至少存在一點，使得；在上可導，且，由羅爾中值定理知，在內至少存在一點，使得；依次類推可知，在上可導，且，由羅爾中值定理知，在內至少存在一點，使得。方法二：根據已知條件，在處的泰勒展開式為：，從而得，結論成立。內容概要名稱 主要內容（3.4）3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性函數單調性的判別法：設在上連續(xù)，在內可導，則（1）若在內，則在上單調增加；（2）若在內，則在上單調減少。1） 曲線凹凸性的概念：設在區(qū)間內連續(xù)，如果對上任意兩點，恒有，則稱在上的圖形是凹的；如果恒有，則稱在上的圖形是凸的。2）拐點的概

18、念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點成為曲線的拐點。曲線凹凸性的判別法：設在上連續(xù)，在內具有一階和二階導數，則（1）若在內，則在上的圖形是凹的；（2）若在內，則在上的圖形是凸的。習題3-41.證明函數單調增加。知識點：導數的應用。思路：利用一階導數符號判斷函數的單調性是常用的方法。在某個區(qū)間上，（），則在單調增加（減少）。證明：（僅在處），在內是單調增加的。2.判定函數的單調性。解：（僅在處），是單調增加的。3.求下列函數的單調區(qū)間：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。知識點：導數的應用。思路：利用一階導數符號判斷函數的單調性。求函數的單調區(qū)間，用導數為零的點及不可導點，將定

19、義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數的單調性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定義域為；令，得，。列表討論如下：由上表可知，在、內嚴格單增，而在內嚴格單減。（2） 在內，令，得；當 時，有；當 時，有；在內嚴格單增，在內嚴格單減。（3）的定義域為；令，得；為不可導點。列表討論如下：由上表可知，在、內嚴格單增，而在內嚴格單減。（4）的定義域為，在內嚴格單增。（5）的定義域為，在上嚴格單增。（6）的定義域為，令，得；當時，；當時，；在內嚴格單增，在內嚴格單減。4.證明下列不等式：（1） 當時，； （2）當時，；（3）當時，； （4）時，。知識

20、點：導數的應用或者泰勒公式的應用。思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習題3-3第10題），利用函數單調性也是證明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令，則當時，在上嚴格單增；從而，即，結論成立。方法二：由泰勒公式，得（），從而得，結論成立。（2）方法一：令，則當時，在內嚴格單增，從而，在內嚴格單增，在內，結論成立。注：利用的符號判斷的單調性，利用的單調性判斷其在某區(qū)間上的符號，從而得出在某區(qū)間上的單調性，也是常用的一種方法。方法二：令，當時，在內嚴格單增，從而有，即，結論成立。（3）令，則當時有（僅在時，），在上嚴格單增，從而有，即，結論成立。（4）令，則當時，有從而在內嚴格單增，即在內

21、；再令，則當時，從而在內嚴格單增，即在內，結論成立。5.試證方程只有一個實根。知識點：導數的應用。思路：利用導數的符號判斷函數的單調性，進而討論方程的根是常用的方法。解：易知，即是方程的一個根；令，則（僅在處），在內嚴格單增，從而只有一個零點，即方程只有一個實根。6.單調函數的導函數是否必為單調函數？研究例子：。知識點：導數的應用。思路：利用一階導數符號判斷單調性，從而證明結論。解：單調函數的導函數不一定為單調函數。（僅在處），在內嚴格單增；而在內嚴格單減，在內嚴格單增，從而在上不單調。7.求下列函數圖形的拐點及凹凸區(qū)間：（1）； （2） ； （3） ；（4）； （5） ； （6） 。知識點：

22、導數的應用。思路：利用二階導數的符號判斷函數的凹凸性；求拐點和凹凸區(qū)間，用二階導數為零的點及不可導點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數的凹凸性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1），當時，在上為凹函數，沒有拐點。（2）的定義域為；，令，得；當或時，；當或時，；的凹區(qū)間為、，凸區(qū)間為、；拐點為。（3） 的定義域為，在整個定義域上為凹函數，沒有拐點。（4）的定義域為，在整個定義域上為凹函數，沒有拐點。（5） 的定義域為，令，得；列表討論如下：由上表可知，的凸區(qū)間為、，凹區(qū)間為，拐點為及。（6）的定義域為，令，得；當時，；當時，；的凹區(qū)間為，凸

23、區(qū)間為，拐點為。8.利用函數圖形的凹凸性，證明不等式：（1）； （2）。知識點：函數凹凸性的概念。思路：利用函數凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數值的線性組合時可考慮利用函數的凹凸性。證明：（1）令，在內是凹的。利用凹函數的定義，有，結論成立。（2）令，在內，在內是凸的。利用凸函數的定義，有，結論成立。9.求曲線的拐點。知識點：導數的應用。思路：同7。解：的定義域為，令，得，；現列表討論如下：由上表可知，拐點為、。10.問及為何值時，點為曲線的拐點？知識點：導數的應用。思路：拐點通常是二階導數的零點或者是不可導點。又高階可導的函數的拐點一定是二階導數的零點

24、。解：的定義域為，；將代入中，得：；將代入中，得：；由得，。11.試確定曲線中的、，使得在處曲線有水平切線，為拐點，且點在曲線上。知識點：導數的幾何意義及導數的應用。思路：利用可導函數的拐點一定是二階導數的零點，在某點處的導數值等于該點處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數中的待定參數。解：，；將代入，得將分別代入與中，得； 將代入中，得 由得，。12.試確定中的值，使曲線的拐點處的法線通過原點。知識點：導數的應用。思路：可導的拐點必為二階導數為零的點；依此求出拐點坐標，寫出法線方程，根據已知條件，求出值。解：的定義域為；，；令，得。易知，當的取值通過的兩側時，會變號，與均為的拐點；

25、，兩拐點處法線方程分別為：，；又兩法線過原點，將代入法線方程，得，解得。13.設函數在的某鄰域內具有三階導數，如果，而，試問是否為拐點，為什么？知識點：導數的應用。思路：根據極限的保號性和拐點的定義得結論。方法一：，不妨設，即；由極限的保號性知，必存在，使得，均有；從而當時，有，當時，有；為拐點。內容概要名稱 主要內容（3.5）3.5 函數的極值與最大值最小值極值的概念：設函數在點的某個鄰域內有定義，若對該鄰域內任意一點（），恒有（或），則稱在點處取得極大值（或極小值），而成為函數的極大值點（或極小值點）。函數極值的判別法第一充分條件：設函數在點的某個鄰域內連續(xù)且可導（可以不存在），（1）若在的左鄰域內，；在在的右鄰域內，則在處取得極大值；（2）若在的左鄰域內，；在在的右鄰域內，則在處取得極小值；（3）若在的左鄰域內，不變號，則在處沒有極值。注：第一充分條件利用一階導數符號判斷函數單調性。第二充分條件：設在處具有二階導數，且，則（1）當時，函數在處取得極大值；（2）當時，函數在處取得極小值。注：利用駐點處二階導數符號判斷駐點是否為極值點。函數的最大值和最小值：注意函數極值和最值的區(qū)別和聯系習題3-51.求下列函數的極值：（1） ； （2）； （3）