1、特征值及其應用本章內容所涉及的矩陣若無特別說明均為階復方陣1 特征值特征向量的一般知識是階方陣，若存在復數以及維非零列向量，使，即，則稱是的特征值，是的屬于的特征向量由線性方程組的知識可知：是的特征值是的特征多項式的根特征多項式的性質：(1)相似矩陣有相同的特征多項式；(反之不然)(2)設是的特征多項式，則（Hamilton-Cayley定理）(3)設，則，其中是的所有階主子式之和，即，(3)的證明：將和按列分塊，利用行列式按列拆開的性質可得注：在(3)中，若是的全部根，則由根與系數的關系可得，于是，由此可見可逆的特征值均不為0特征值、特征向量的性質：設是階方陣的特征值，是的屬于的特征向量(1

2、)是的特征值，是的屬于的特征向量(2) 可逆時，且是的特征值，是的屬于的特征向量(3) 是的特征值，是的屬于的特征向量(4)當可逆時，是的伴隨矩陣的特征值，是的屬于的特征向量；當不可逆時：若秩，的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量；若秩，的特征值為和，其中至少是的重特征值(5)與有相同的特征多項式，從而有相同的特征值(6)若存在正整數，使，則的特征值只能為(7) 若存在正整數，使，則的特征值只能為和次單位根(8)若是的特征向量，則所屬于的特征值為證明(1)由可得，設，則所以可見是的特征值，是的屬于的特征向量(2)在兩邊左乘得，即，可見是的屬于的特征向量(3)，所以是的屬于的特征向量(4)當

3、可逆時，因為，而，即，亦即，可見是的屬于的特征向量當秩時，所以對任意非零向量，有可見的特征值只有，任意非零向量是他的特征向量當秩時，秩，所以的若當標準形的秩為1，可知的若當標準形的主對角線上至少有個0，因此又：與上式比較得(5)(6)，但，即而，所以(7)由，得，所以而，所以，即，可見為和次單位根(8)設所屬于的特征值為，則，兩邊同時左乘，得，所以例1階實矩陣的主對角元全為，且其特征值全是非負數，證明：證明設的個特征值是，則又，例設階實矩陣的特征值全是實數，并且的所有階主子式之和、所有階主子式之和全是，證明：證明有特征多項式性質(3)其中是的所有階主子式之和結合已知有設的個特征值是，由根與系數

4、的關系，有，所以而全是實數，可得于是的若當標準形形如：，即存在可逆矩陣，使，所以（）例是階實矩陣，如果對任意維實列向量，恒有，證明：注：當對稱時，即為正定矩陣證明先證明：的任意一個特征值的實部大于設是的一個特征值，是屬于的特征向量，則用和分別表示分量的實部和虛部系數構成的列向量，則（注：都是實列向量）于是，比較等號兩端的實部和虛部得，用分別左乘上兩式得，兩式相加得由已知，又至少有一個不等于（），所以，從而有是實系數多項式，的特征值成對出現設為的特征值，則（）由于等于的特征值之乘積，而的實特征值全大于，每一對共軛的復特征值的乘積大于，故2 特征多項式的降階定理定理1設分別是和矩陣，則證明設秩，則

5、存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使令（其中為矩陣），則，因為相似矩陣有相同的特征多項式，所以，當時，由上兩式得，顯然當時，由上兩式得，所以推論設分別是和矩陣，則與的非零特征值相同推論設是同階方陣，則與有相同的特征多項式，從而有相同的特征值和跡例是階可逆矩陣，是維非零列向量，證明：的根是（重）和證明由行列式的乘法規則及特征多項式降階定理，可見的根是（重）和在例中，取，則有有個特征根是0，另一個特征根是例如，則有個特征根是0，另一個特征根是例求階矩陣的特征值及行列式解，其中，由以上討論的根是（重）和于是的特征值中有個滿足，另一個滿足所以的特征值為和又對秩為的階方陣，設是他的滿秩分解，利用特征多項式降階

6、定理可見一定是秩為的階方陣（）的特征值，且其重數為（注：因為是秩為的階方陣，故可逆，所以它的特征值均不為）例設是階方陣，如果矩陣方程有解，則注：由此例可知，當的跡不為零時，無解證明因為有解，所以存在矩陣，使于是，有推論，所以特征多項式是一種特殊的行列式，有時也要借助行列式的性質進行計算例設是實數，求階矩陣的特征值解，其中，但是的首項系數為，所以，而的根為，所以的特征值為，3 特征值的區域估計要求出一個階方陣的特征值，一般來說是非常困難的，有時甚至是不可能的另一方面，在工程技術或理論研究的許多問題中，往往只要知道特征值的近似值，甚至只要知道特征值所在的區域（復平面上的區域）就足夠了因此，研究特征

7、值的近似求法或估計特征值所在的區域就是非常有意義的工作了本節就對特征值所在區域的估計問題作簡單介紹關于這個問題，最經典的結果要算蓋爾許戈林（蘇）的圓盤定理了，在介紹這一定理之前，先做一些準備工作一、對角占優矩陣對階方陣，令，注： ()即的第行(列)中除主對角元之外的其它元素的絕對值之和如果，則稱為行對角占優矩陣；如果，則稱為嚴格行對角占優矩陣；如果，則稱為列對角占優矩陣；如果，則稱為嚴格列對角占優矩陣行對角占優矩陣和列對角占優矩陣統稱為對角占優矩陣；嚴格行對角占優矩陣和嚴格列對角占優矩陣統稱為嚴格對角占優矩陣定理嚴格對角占優矩陣必為非奇異的證明以嚴格行對角占優矩陣為例證明設為嚴格行對角占優矩陣

8、，如果為奇異的，則齊次線性方程組有非零解設，顯然將代入的第個方程得由此得，從而推出，與定理條件矛盾二、特征值的區域估計定理（Gersgorin,1931）設，則的特征值都落在復平面上的個圓盤的并集上（稱為由確定的蓋氏圓盤）證明對的任一特征值，有，根據定理，一定不是嚴格對角占優矩陣，即必存在一個主對角元，使，這表明注意定理只說明的個特征值一定落在個圓盤的并集上，并不能保證每個圓盤都含有的特征值例如：矩陣的特征值為，他們都包含在圓盤上，而圓盤上則不含有的特征值值得注意的是，此例中的兩個蓋氏圓盤與是相交區域，因此構成了復平面上的一個連通區域于是自然會想到：如果的個蓋氏圓盤的并集構成復平面上的個互不相

9、交的連通區域，是否每個連通區域都含有的特征值？下邊的定理回答了這個問題定理(Gersgorin,1931) 設的個蓋氏圓盤中有個圓盤構成了復平面上的一個連通區域，且的其余個圓盤與都不相交，則中有且僅有的個特征值證明令，其中 ，作參數矩陣，則當由變到時，由變到另外，的個蓋氏圓盤為：，可見的個蓋氏圓盤恰是的個蓋氏圓盤的圓心對任意的（），的蓋氏圓盤為，即：的每個蓋氏圓盤都落在的一個相應的蓋氏圓盤之內，且都以（）為圓心現在考慮的任一特征值，他顯然是的連續函數，所以當由變到時，在復平面上由圓心出發畫出一條連續曲線于是當由變到時，的個特征值在復平面上分別由各自的圓心出發畫出條連續曲線，且曲線的終點為的個特

10、征值（參看下邊的示意圖） 下邊證明：這條連續曲線的每一條，要么全落在上，要么全落在的其余個圓盤的并集上否則，這條曲線中必有一條既落在上，又落在其余個圓盤的并集上由于與這個圓盤的并集不相交，而連續，所以上必有一點（），它落在的個圓盤之外（參看下述示意圖）但是是的特征值，由前面所述，他應落在的個圓盤的并集之上，從而落在的個圓盤之并集上，得矛盾根據以上證明的結果即得，由的個圓盤的圓心出發的連續曲線，當時，應全部落在上，所以上至少有的個特征值類似地可以證明，的其余個圓盤上至少含有的個特征值，總之個圓盤上恰有的個特征值推論如果階方陣的個蓋氏圓盤兩兩不相交，則每個圓盤上恰含的一個特征值，從而有個不同的特征

11、值推論如果階實方陣的個蓋氏圓盤兩兩不相交，則的特征值為實數證明因為的特征多項式是實系數多項式，所以的特征值要么是實數，要么是成對出現的共軛復數如果有一對共軛復數和是的特征值（），不妨設位于復平面的上半平面，則必位于下半平面，且與關于實軸對稱由定理，必落在的某個蓋氏圓盤上因為此圓盤的圓心是實數（是實矩陣），即圓心在實軸上，因此圓盤關于實軸對稱，所以關于實軸的對稱點也落在中但因為的個蓋氏圓盤兩兩不相交，由推論，的每個圓盤上恰含的一個特征值，得矛盾注意：矩陣的特征值有可能落在其蓋氏圓盤的邊界上例如：矩陣的四個蓋氏圓盤重合，均為，它是一個以為圓心，以為半徑的圓易求得的四個特征值是，顯然他們都落在的蓋氏

12、圓盤的邊界上有了以上討論，我們可以從另一個角度來分析理解蓋氏圓盤定理：在復平面上畫出各蓋氏圓盤的中心點，的任一個特征值與離它最近的中心點間的距離不超過，而且這個最大距離有時可以達到因而有理由認為，如果不改變圓盤中心點的取法，便不可能對蓋氏圓盤定理做出實質上的改進這為此一問題的進一步研究指出了一條思路4.Hamilton-Cayley定理的應用Hamilton-Cayley定理在理論和計算方法上的作用從下述例子中可見一斑例設，其中是任意復數，是三次單位根，求及解的特征多項式為，由Hamilton-Cayley定理，得，所以，又例當階方陣可逆時，證明：必可以表示成的次多項式證明的特征多項式為其中由Hamilton-Cayley定理由此得，所以，可見是的次多項式（上式首相系數不為）例10 設，計算解的特征多項式為由Hamilton-Cayley定理，由帶余除法，所以例11 設，證明：（），并求解的特征多項式為由Hamilton-Cayley定理，得可見當時，結論成立假設成立，則由歸納原理，等式成立反復利用，有例12 設，記，證明：如果非奇異，則階矩陣也非奇異證明設的元的代數余子式為（這里），記由行列式按一列展開公式，有（），于是（）將上式用分塊矩陣的乘積表達