1、二次函數經典例題及答案1. 已知拋物線的頂點為P（4，），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B點坐標為（1，0）。 （1）求這條拋物線的函數關系式；（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點D，則在線段AC上是否存在這樣的點Q，使得ADQ為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由y=x2+4x - ；存在點Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）析試題分析：（1）根據頂點坐標把拋物線設為頂點式形式y=a（x+4）2-，然后把點B的坐標代入解析式求出a的值，即可得解；（2）先根據頂點坐標求出點D的坐標，再根據拋物線解析式求出點A、C的坐標，從而得到OA、O

2、C、AD的長度，根據勾股定理列式求出AC的長度，然后根據銳角三角形函數求出OAC的正弦值與余弦值，再分AD=Q1D時，過Q1作Q1E1x軸于點E1，根據等腰三角形三線合一的性質求出AQ1，再利用OAC的正弦求出Q1E1的長度，根據OAC的余弦求出AE1的長度，然后求出OE1，從而得到點Q1的坐標；AD=AQ2時，過Q2作Q2E2x軸于點E2，利用OAC的正弦求出Q2E2的長度，根據OAC的余弦求出AE2的長度，然后求出OE2，從而得到點Q2的坐標；AQ3=DQ3時，過Q3作Q3E3x軸于點E3，根據等腰三角形三線合一的性質求出AE3的長度，然后求出OE3，再由相似三角形對應邊成比例列式求出Q3

3、E3的長度，從而得到點Q3的坐標試題解析：（1）拋物線頂點坐標為（-4，-），設拋物線解析式為y=a（x+4）2-拋物線過點B（1，0），a（1+4）2-=0，解得a=，所以，拋物線解析式為y=（x+4）2-， 即y=x2+4x-；（2）存在點Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）理由如下：拋物線頂點坐標為（-4，-），點D的坐標為（-4，0），令x=0，則y=-，令y=0，則x2+4x-=0，整理得，x2+8x-9=0，解得x1=1，x2=-9，點A（-9，0），C（0，-），OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，在RtAOC中，根據勾股定理，AC=sinOA

4、C=cosOAC=，AD=Q1D時，過Q1作Q1E1x軸于點E1， 根據等腰三角形三線合一的性質，AQ1=2ADcosOAC=2×5×，Q1E1=AQ1sinOAC=×=4，AE1=AQ1cosOAC=×=8，所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，所以，點Q1的坐標為（-1，-4）；AD=AQ2時，過Q2作Q2E2x軸于點E2，Q2E2=AQ2sinOAC=5×=，AE2=AQ2cosOAC=5×=2，所以，OE2=OA-AE2=9-2，所以，點Q2的坐標為（2-9，-）；AQ3=DQ3時，過Q3作Q3E3x軸于點E3，則AE3=A

5、D=×5=，所以，OE3=9-=，Q3E3x軸，OCOA，AQ3E3ACO，即，解得Q3E3=，所以，點Q3的坐標為（-，-），綜上所述，在線段AC上存在點Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得ADQ為等腰三角形2. 如圖，直線y=x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=x2+bx+c經過B，C兩點，點A是拋物線與x軸的另一個交點（1）求B、C兩點坐標；（2）求此拋物線的函數解析式；（3）在拋物線上是否存在點P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由 1）B（3，0）C（0，3）（2）此拋物線的解析式為y=x2+2x+3（3）存

6、在這樣的P點，其坐標為P（0，3），（2，3）（1+，3）或（1，3）試題分析：（1）已知了過B、C兩點的直線的解析式，當x=0時可求出C點的坐標，當y=0是可求出B點的坐標（2）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此將B、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式（3）根據（2）的拋物線的解析式可得出A點的坐標，由此可求出AB的長，由于SPAB=SCAB，而AB邊為定值由此可求出P點的縱坐標，然后將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標試題解析：（1）直線y=x+3經過B、C當x=0時y=3當y=0時x=3B（3，0）C（0，3）（2）拋物線y=x2+bx+c經過B、Cb

7、=2，c=3此拋物線的解析式為y=x2+2x+3（3）當y=0時，x2+2x+3=0；x1=1，x2=3A（1，0）設P（x，y）SPAB=SCAB×4×|y|=×4×3y=3或y=3當y=3時，3=x2+2x+3x1=0，x2=2P（0，3）或（2，3）當y=3時，3=x2+2x+3x1=1+，x2=1P（1+，3）或（1，3）因此存在這樣的P點，其坐標為P（0，3），（2，3）（1+，3）或（1，3）3已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C（1）求拋物線的函數表達式；（2）設P（x，y）（0x

8、6）是拋物線上的動點，過點P作PQy軸交直線BC于點Q當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？是否存在這樣的點P，使OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由（1） 所求拋物線的函數表達式是y=x2x+2（2）當x=3時，線段PQ的長度取得最大值最大值是1（3）P（3，0）或P（，）或P（，）析試題分析：（1）已知了A，B的坐標，可用待定系數法求出函數的解析式（2）QP其實就是一次函數與二次函數的差，二次函數的解析式在（1）中已經求出，而一次函數可根據B，C的坐標，用待定系數法求出那么讓一次函數的解析式減去二次函數的解析式，得出的新的函數就是關于PQ，x的

9、函數關系式，那么可根據函數的性質求出PQ的最大值以及相對應的x的取值（3）分三種情況進行討論：當QOA=90°時，Q與C重合，顯然不合題意因此這種情況不成立；當OAQ=90°時，P與A重合，因此P的坐標就是A的坐標；當OQA=90°時，如果設QP與x軸的交點為D，那么根據射影定理可得出DQ2=ODDA由此可得出關于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數式中即可得出P的坐標試題解析：（1）拋物線過A（3，0），B（6，0），解得：，所求拋物線的函數表達式是y=x2x+2（2）當x=0時，y=2，點C的坐標為（0，2）設直線BC的函數表達式是y=kx+b則有，解

10、得：直線BC的函數表達式是y=x+20x6，點P、Q的橫坐標相同，PQ=yQyP=（x+2）（x2x+2）=x2+x=（x3）2+1當x=3時，線段PQ的長度取得最大值最大值是1解：當OAQ=90°時，點P與點A重合，P（3，0）當QOA=90°時，點P與點C重合，x=0（不合題意）當OQA=90°時，設PQ與x軸交于點DODQ+ADQ=90°，QAD+AQD=90°，OQD=QAD又ODQ=QDA=90°，ODQQDA，即DQ2=ODDA（x+2）2=x（3x），10x239x+36=0，x1=，x2=，y1=×（）2+2

11、=；y2=×（）2+2=；P（，）或P（，）所求的點P的坐標是P（3，0）或P（，）或P（，）4. 如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線（）經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，拋物線與y軸交點為C，其頂點為D，連接BD，點P是線段BD上一個動點（不與B，D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）如果P點的坐標為（，），PBE的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍. （1），D（1，4）；（2）（）解析試題分析：（1）本題需先根據拋物線經過A（1，0）、B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線即可求出它的解析

12、式（2）本題首先設出BD解析式，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據面積公式即可求出最大值試題解析：（1）拋物線（）經過A（1，0）、B（3，0）兩點把（1，0）B（3，0）代入拋物線得：，拋物線解析式為：，=，頂點D的坐標為（1，4）；（2）設直線BD解析式為：（），把B、D兩點坐標代入，得：，解得5. 如圖，拋物線與x軸相交于B，C兩點，與y軸相交于點A，點P（，）（a是任意實數）在拋物線上，直線經過A，B兩點（1）求直線AB的解析式；（2）平行于y軸的直線交直線AB于點D，交拋物線于點E直線（0t4）與直線AB相交F，與拋物線相交于點G若FGDE34，求t的值；將

13、拋物線向上平移m（m0）個單位，當EO平分AED時，求m的值1)；（2）1或3；解析試題分析：（1）根據點P的坐標，可得出拋物線解析式，然后求出A、B、C的坐標，利用待定系數法求出直線AB的解析式；（2）根據點E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；設點A（0，2+m），則點E（2，5+m），作AHDE，垂足為H，在RtAEH中利用勾股定理求出AE，根據EO平分AED及平行線的性質可推出AEO=AOE，AO=AE，繼而可得出m的值試題解析：（1）P（，）（a是實數）在拋物線上，拋物線的解析式為=，當時，即，解得，當x=0時，y=2

14、A（0，2），B（4，0），C（，0），將點A、B的坐標代入，得：，解得：，故直線AB的解析式為；（2）點E（2，5），D（2，1），G（，），F（，），DE=4，FG=，FG：DE=3：4，解得，設點A（0，2+m），則點E（2，5+m），作AHDE，垂足為H，=，即AE=，EO平分AED，AEO=DEO，AOED，DEO=AOE，AEO=AOE，AO=AE，即，解得m=6. 如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0），與y軸交于點C若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動（1）求該二

15、次函數的解析式及點C的坐標；（2）當P，Q運動t秒時，APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀并求說明理由（3）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標；若不存在，請說明理由 （1）y=x2x4C（0，4）；（2）四邊形APDQ為菱形；（3）存在滿足條件的點E，點E的坐標為（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）解析試題分析：（1）將A，B點坐標代入函數y=x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式及C坐標（2）注意到P，Q運動速度相同，則APQ運動時都為等腰三角形，

16、又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形（3）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標試題解析：（1）二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0），解得 ，y=x2x4C（0，4）（2）四邊形APDQ為菱形理由如下：如圖，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四邊形AQDP為菱形（3）存在如圖1，過點Q作QDOA于D，此時QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4）

17、，O（0，0）AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，當點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即AEQ為等腰三角形，設AE=x，則EQ=x，DE=ADAE=x，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0）以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）當AE=AQ=4時，1當E在A點左邊時，OAAE=34=1，E（1，0）2當E在A點右邊時，OA+AE=3+4=7，E（7，0）綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標為

18、（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）7.如圖，已知拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點為B，與y軸的交點為C（0，-3），其頂點為D，對稱軸為直線（1）求拋物線的解析式；（2）已知點M為y軸上的一個動點，當ACM是以AC為一腰的等腰三角形時，求點M的坐標；（3）將OBC沿x軸向右平移m個單位長度（0m3）得到另一個三角形EFG，將EFG與BCD重疊部分的面積記為S，用含m的代數式表示S（1）；（2）M的坐標為，；（3）解析試題分析：（1）拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），對稱軸為直線，得到拋物線與x軸的另一個交點為B（3，0），把A、B、C的坐標代入拋物線，即可得到拋

19、物線的解析式；（2）當AC=AM時C、M關于x軸對稱，得到M；當AC=CM時，AC=，以C為圓心，AC為半徑作圓與y軸有兩個交點，為M或M；（3）分別求出直線BC、BD的解析式，分兩段計算重疊的面積：，試題解析：（1）由題意可知，拋物線與x軸的另一個交點為B（3，0），則，解得，故拋物線的解析式為：；（2）當AC=AM時C、M關于x軸對稱，得到M；當AC=CM時，AC=，以C為圓心，AC為半徑作圓與y軸有兩個交點，為M或M；所以，點M的坐標為，； （3）記平移后的三角形為EFG設直線BC的解析式為y=kx+b，則：，解得：，則直線BC的解析式為，OBC沿x軸向右平移m個單位長度（0m3）得到E

20、FG，易得直線FG的解析式為設直線BD的解析式為y=kx+b，則：，解得，則直線BD的解析式為，連結CG，直線CG交BD于H，則H（，-3）在OBC沿x軸向右平移的過程中，當時，如圖1所示設EG交BC于點P，GF交BD于點Q，則CG=BF=m，BE=PE=3m，聯立，解得，即點Q（3m，-2m），=                         

21、                                  當時，如圖2所示設EG交BC于點P，交BD于點N，則OE=m，BE=PE=3m，又因為直線BD的解析式為，所以當x=m時，得y=2m6，所以點N（m，2m-6）=，綜上所述，8. 如圖，拋物線

22、y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于點A（2，0）和點B（6，0），與y軸交于點C（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點M ，在對稱軸上存在點P，使CMP為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標（3）設點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，當點Q滿足最大時，求出Q點的坐標（4）如圖，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標 （1）y=-x2-2x+6；（2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）當Q在（-2，12）的位置時，|QB-QC|最大；（4）最大值為；E坐標為（-3，）解析試

23、題分析：（1）將點A（2，0）和點B（-6，0）分別代入y=ax2+bx+6，得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，進而得到拋物線的解析式；（2）根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸為x=-2，再求出M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，6），根據M、C的坐標求出CM的距離然后分三種情況進行討論：CP=PM；CM=MP；CM=CP；（3）由拋物線的對稱性可知QB=QA，故當Q、C、A三點共線時，|QB-QC|最大，連結AC并延長，交對稱軸于點Q，利用待定系數法求出直線AC的解析式，再將x=-2代入，求出y的值，進而得到Q點的坐標；（4）由于四邊形BO

24、CE不是規則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規則的圖形進行計算，過E作EFx軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積直角梯形FOCE中，FO為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長如果根據拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值即可求出此時E的坐標試題解析：（1）由題知： ，解得：，故所求拋物線解析式為：y=-x2-2x+6

25、；（2）拋物線解析式為：y=-x2-2x+6，對稱軸為x=，設P點坐標為（-2，t），當x=0時，y=6，C（0，6），M（-2，0），CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40當CP=PM時，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，P點坐標為：P1（-2，）；當CM=PM時，40=t2，解得t=±2，P點坐標為：P2（-2，2）或P3（-2，-2）；當CM=CP時，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，P點坐標為：P4（-2，12）綜上所述，存在符合條件的點P，其坐標為P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）點A（2，0）和點

26、B（-6，0）關于拋物線的對稱軸x=-2對稱，QB=QA，|QB-QC|=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，則連結AC并延長，與直線x=-2相交于點Q，即點Q為直線AC與直線x=-2的交點，設直線AC的解析式為y=kx+m，A（2，0），C（0，6），解得，y=-3x+6，當x=-2時，y=-3×（-2）+6=12，故當Q在（-2，12）的位置時，|QB-QC|最大；（4）過點E作EFx軸于點F，設E（n，-n2-2n+6）（-6n0），則EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n，S四邊形BOCE=BFEF+（OC+EF）OF=（n+6）（-n2-2n+6）+（6-n2

27、-2n+6）（-n）=-n2-9n+18=-（n+3）2+，所以當n=-3時，S四邊形BOCE最大，且最大值為此時，點E坐標為（-3，）9. 如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的對稱軸為直線，與y軸負半軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（3，0），且OBOC（1）求此拋物線的解析式；（2）若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，APG的面積最大？求出此時P點的坐標和APG的最大面積.（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側），在x軸上是否存在點Q，使MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐

28、標；若不存在，請說明理由 （1）；（2）P點的坐標為，的最大值為；（3）Q（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）解析試題分析：（1）設拋物線的解析式為，根據已知得到C（0，3），A（1，0），代入得到方程組，求出方程組的解即可；（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點F，求出點G的坐標（2，3），設直線AG為，代入得到，求出方程組的解得出直線AG為，設P（x，），則F（x，x1），PF，根據三角形的面積公式求出APG的面積，化成頂點式即可；（3）存在根據MNx軸，且M、N在拋物線上，得到M、N關于直線x=1對稱，設點M為（m，）且m1，得到MN=2（m1），當QMN=90°

29、，且MN=MQ時，由MNQ為等腰直角三角形，得到，求出m的值，得出點M和點Q的坐標；當QNM=90°，且MN=NQ時，同理可求點Q的坐標，當NQM=90°，且MQ=NQ時，過Q作QEMN于點E，則QE=MN，根據拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性，得到點Q的坐標試題解析：（1）設拋物線的解析式為，由已知得：C（0，3），A（1，0），解得，拋物線的解析式為；（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，由，令x=2，則y=3，點G為（2，3），設直線AG為，解得：，即直線AG為，設P（x，），則F（x，x1），PF，當時，APG的面積最大，此時P點的坐標為，（3）存在MNx軸，且

30、M、N在拋物線上，M、N關于直線x=1對稱，設點M為（，）且，當QMN=90°，且MN=MQ時，MNQ為等腰直角三角形，MQMN即MQx軸，即或，解得，（舍）或，（舍），點M為（，）或（，），點Q為（，0）或（，0），當QNM=90°，且MN=NQ時，MNQ為等腰直角三角形，同理可求點Q為（，0）或（，0），當NQM=90°，且MQ=NQ時，MNQ為等腰直角三角形，過Q作QEMN于點E，則QE=MN，方程有解，由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性知點Q為（1，0），綜上所述，滿足存在滿足條件的點Q，分別為（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）10在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，ABC = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A在y軸上.（1）求過A、D、C三點的拋物線的解析式；（2）求ADC的外接圓的圓心M的坐標，并求M的半徑；（3）E為拋物線對稱軸上一點，F為y軸上一點，求當EDECFDFC最小時，EF的長；（4）設Q為射線CB上任意一點，點P為對稱軸左側拋物線上任意一點，問是否存在這樣的點P、Q，使得以P、Q、C為頂點的三角形與ADC相似