1、【課題】7.3 平面向量的內積【教學目標】知識目標：（1）了解平面向量內積的概念及其幾何意義.（2）了解平面向量內積的計算公式.為利用向量的內積研究有關問題奠定基礎.能力目標：通過實例引出向量內積的定義,培養學生觀察和歸納的能力【教學重點】平面向量數量積的概念及計算公式. 【教學難點】數量積的概念及利用數量積來計算兩個非零向量的夾角【教學設計】教材從某人拉小車做功出發，引入兩個向量內積的概念需要強調力與位移都是向量，而功是數量因此，向量的內積又叫做數量積在講述向量內積時要注意：（1）向量的數量積是一個數量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量的夾角余弦的乘積.其符號是由夾角決定；（2）向量數

2、量積的正確書寫方法是用實心圓點連接兩個向量.教材中利用定義得到內積的性質后面的學習中會經常遇到，其中：（1）當<a,b>0時，a·b|a|b|；當<a,b>時，a·b|a|b|可以記憶為：兩個共線向量，方向相同時內積為這兩個向量模的積；方向相反時內積為這兩個向量模的積的相反數（2）|a|顯示出向量與向量的模的關系，是得到利用向量的坐標計算向量模的公式的基礎；（3）cos<a,b>，是得到利用兩個向量的坐標計算兩個向量所成角的公式的基礎；（4）“a·b0ab”經常用來研究向量垂直問題，是推出兩個向量內積坐標表示的重要基礎 【教學備

3、品】教學課件【課時安排】2課時(90分鐘)【教學過程】教 學 過 程教師行為學生行為教學意圖時間*揭示課題7.3 平面向量的內積*創設情境 興趣導入Fs圖721O 如圖721所示，水平地面上有一輛車，某人用100 N的力，朝著與水平線成角的方向拉小車，使小車前進了100 m那么，這個人做了多少功？介紹質疑引導分析了解思考自我分析從實例出發使學生自然的走向知識點05*動腦思考 探索新知【新知識】我們知道，這個人做功等于力與在力的方向上移動的距離的乘積如圖722所示，設水平方向的單位向量為i，垂直方向的單位向量為j，則i + y j ，即力F是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產生位移

4、，沒有做功，水平方向上產生的位移為s，即WFcos·s100×·10500 （J）OxijF(x,y)y 圖722BAO圖723ab這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個數量，它等于由兩個向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的內積,它是一個數量，又叫做數量積如圖723，設有兩個非零向量a, b，作a, b,由射線OA與OB所形成的角叫做向量a與向量b的夾角，記作<a,b>兩個向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內積，記作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> (7.10

5、)上面的問題中，人所做的功可以記作WF·s.由內積的定義可知a·00, 0·a0總結歸納仔細分析講解關鍵詞語思考理解記憶帶領學生分析引導式啟發學生得出結果15由內積的定義可以得到下面幾個重要結果：（1） 當<a,b>0時，a·b|a|b|；當<a,b>時，a·b|a|b|.（2） cos<a,b>.（3） 當ba時，有<a,a>0，所以a·a|a|a|a|2，即|a|.（4） 當時，ab，因此，a·b因此對非零向量a，b，有a·b0ab.可以驗證，向量的內積滿足下面的

6、運算律：（1） a·bb·a（2） ()·b(a·b)a·(b)（3） (ab)·ca·cb·c注意：一般地，向量的內積不滿足結合律，即a·(b·c)（a·b）·c.請結合實例進行驗證.總結歸納仔細分析講解關鍵詞語思考理解記憶帶領學生分析反復強調30*鞏固知識 典型例題例1 已知|a|3,|b|2, <a,b>,求a·b解 a·b|a|b| cos<a,b> 3×2×cos3例2 已知|a|b|,a·b

7、,求<a,b>解 cos<a,b>.由于 0<a,b>，所以 <a,b>說明強調引領思考主動求解注意觀察學生是否理解知識點40*運用知識 強化練習 1. 已知|a|7，|b|4，a和b的夾角為，求a·b2. 已知a·a9,求|a|3. 已知|a|2,|b|3, <a,b>，求(2ab)·b提問巡視指導思考口答及時了解學生知識掌握得情況45*動腦思考 探索新知設平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，i，j分別為x軸，y軸上的單位向量，由于ij，故i·j 0，又| i |j|1，所以a

8、3;b(x1 iy1j)· (x2 iy2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2這就是說，兩個向量的內積等于它們對應坐標乘積的和，即 a·b x1 x2 y1 y2 (7.11)利用公式(711)可以計算向量的模設a(x,y)，則，即 (7.12)由平面向量內積的定義可以得到，當a、b是非零向量時， cos<a,b>. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出兩個向量的夾角.由于aba·b0，由公式(7.11)可知a·b0

9、 x1 x2 y1 y20因此ab x1 x2 y1 y20 (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐標來研究向量垂直的問題總結歸納仔細分析講解關鍵詞語思考歸納理解記憶帶領學生總結60*鞏固知識 典型例題例3 求下列向量的內積：（1） a (2,3), b(1,3)；（2） a (2, 1), b(1,2)；（3） a (4,2), b(2, 3)解 (1) a·b2×1(3)×37；(2) a·b2×1(1)×20；(3) a·b2×(2)2×(3)14例4 已知a(1,2),b(3,1)

10、.求a·b, |a|,|b|, <a,b>解 a·b(1)( 3)2×15；|a|；|b|；cos<a,b>，所以 <a,b>例5 判斷下列各組向量是否互相垂直：(1) a(2, 3),b(6, 4)；(2) a(0, 1),b(1, 2)解 (1) 因為a·b(2)×63×40，所以ab(2) 因為a·b0×1(1)×（2)2，所以a與b不垂直說明強調引領講解說明引領分析強調含義說明觀察思考主動求解觀察思考求解領會思考求解講解說明注意觀察學生是否理解知識點反復強調70

11、*運用知識 強化練習 1 已知a(5, 4)，b(2,3)，求a·b2 已知a(1,)，b(0, )，求<a,b>3 已知a(2, 3)，b(3,4)，c(1,3),求a·(bc)4. 判斷下列各組向量是否互相垂直： (1) a(2, 3)，b(3, 2)； (2) a(2,0)，b(0, 3)； (3) a(2,1)，b(3,4)5. 求下列向量的模：(1) a(2, 3)，(2) b(8, 6 )啟發引導提問巡視指導思考了解動手求解及時了解學生知識掌握得情況80*理論升華 整體建構思考并回答下面的問題：平面向量內積的概念、幾何意義?結論：兩個向量a,b的模與

12、它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內積，記作a·b, 即 a·ba|b|cos<a, b> (7.10)a·b的幾何意義就是向量a的模與向量b在向量a上的投影的乘積質疑歸納強調回答及時了解學生知識掌握情況83*歸納小結 強化思想本次課學了哪些內容？重點和難點各是什么？引導回憶*自我反思 目標檢測 本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？1.已知a(5, 4),b(2,3),求a·b2.已知a(2, 3),b(3, 4),c(1,3),求a·(bc)提問巡視指導反思動手求解檢驗學生學習效果88*繼續探索 活動探究(1)讀書部分：閱讀教材(2)書面作業：教材習題7.3 A組（必做）；7.3 B組（選做）(3)實踐調查：編寫一道向量內積問題并解答說明記錄分層次要求90【教師教學后記】項目反思點學生知識、技能的掌握情況學生是否真正理解有關知識；是否能利用知識、技能解決問題；在知識、技能的掌握上存在哪些問題；學生的情感態度學生是