1、一、一、k 級子式與余子式、代數余子式級子式與余子式、代數余子式二、拉普拉斯二、拉普拉斯(Laplace)定理定理三、行列式乘法法則三、行列式乘法法則數學科學學院數學科學學院 李本星李本星一、一、k 級子式與余子式、代數余子式級子式與余子式、代數余子式定義定義在一個在一個 n 級行列式級行列式 D 中任意選定中任意選定 k 行行 k 列列按照按照原來次序組成一個原來次序組成一個 k 級行列式級行列式 M，稱為，稱為行列行列 ( ) )，位于這些行和列的交位于這些行和列的交叉點上的叉點上的 個元素個元素kn 2k式式 D 的一個的一個 k 級子式級子式；在；在 D 中劃去這中劃去這 k 行行 k

2、 列后列后 式式 ，稱為，稱為 k 級子式級子式 M 的的余子式余子式； M 余下的元素按照原來的次序組成的余下的元素按照原來的次序組成的 級級 行列行列 nk 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星若若 k 級子式級子式 M 在在 D 中所在的行、列指標分別是中所在的行、列指標分別是 ，則在，則在 M 的余子式的余子式前前1212, , ;,kki iijjjM 后稱之后稱之為為 M 的的代數代數1212( 1)kkiiijjj 加上符號加上符號余子式余子式，記為，記為 . 1212( 1)kkiiijjjAM 注：注： k 級子式不是唯一的級子式不是唯一的.（任一（任一 n 級行列式有級行

3、列式有 個個 k 級子式）級子式） kknnC C時，時，D本身為一個本身為一個n級子式級子式kn 時，時，D中每個元素都是一個中每個元素都是一個1級子式；級子式；1k 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星二、二、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 與它的代數余子式與它的代數余子式 A的乘積中的每一項都是行列式的乘積中的每一項都是行列式 D 的展開式中的展開式中的一項，而且符號也一致的一項，而且符號也一致數學科學學院數學科學學院 李本星李本星LaplaceLaplace 定理定理由這由這 k 行行元素所組成的一切元素所組成的一切k級子

4、式與它們的級子式與它們的設在行列式設在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，11kn代數余子式的乘積和等于代數余子式的乘積和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由這行后，由這 k 行得到的行得到的 k 級子式級子式則則 .1122.ttDM AM AM A12,tA AA，它們對應的代數余子，它們對應的代數余子式分別為式分別為12,tMMM為為數學科學學院數學科學學院 李本星李本星11111111111111110000*kkrkkkrkkkrrrrrraaaabbaaDbbaabbbb 時，時，1122ttDM AM AM A1k 即為行列式即為行列式 D 按某行展開；按

5、某行展開； 注：注：為行列式為行列式 D 取定前取定前 k 行運用行運用Laplace 定理結果定理結果 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星12 1 401 2 110 1 30 13 1D 例例1：計算行列式：計算行列式 解解： 11 221 0M 21 101 1M ,31 411 3M 52 460 3M ,42 120 1M 61 411 3M ,.它們的代數余子式為它們的代數余子式為數學科學學院數學科學學院 李本星李本星1 3 1 2101( 1)00 1A 1 3 2 421 1( 1)21 1A ,1 3 2 331 2( 1)513A 1 3 1 240 1( 1)00 1

6、A ,4 1 1 350 2( 1)00 3A 1 3 1 2601( 1)00 1A ,.( 2) 10 ( 2)( 1) 52 06 0( 1) 07D 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星三、行列式乘法法則三、行列式乘法法則設有兩個設有兩個n 級行列式級行列式11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中其中1 12 2ijijijin njca ba ba b11121212221212nnnnnnccccccD Dccc 則則1,nikkjka b ,1,2,i jn 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星

7、證：證：作一個作一個2n級的行列式級的行列式111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaDbbbbbbbbb 11111111nnijijnnnnnnaabbDabaabb 由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星又對又對D作初等行變換：作初等行變換：11222,1,2, .iinininnra ra ra rin可得可得11111111000011nnnnnnnnccccDbbbb 這里這里1 12 2,1,2, .ijijijin njca ba ba bi jn數學科學學院數學科

8、學學院 李本星李本星1 2(1)2( 1)( 1)nnnnijijDcc 1 12 2,1,2, .ijijijin njca ba ba bi jn從而從而 ,ijijijabc 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星例例2：證明齊次性方程組：證明齊次性方程組12341234123412340000axbxcxdxbxaxdxcxcxdxaxbxdxcxbxax 只有零解其中只有零解其中 不全為不全為0, , ,a b c d數學科學學院數學科學學院 李本星李本星證：證：abcdbadcDcdabdcba 系數行列式系數行列式 2abcdabcdbadc badcDDDcdab cdabdcba dcba 2222222222222222000000000000abcdabcdabcdabcd 數學科學學院數學科學學院 李本星李本星2222 4()abcd, , ,a b c d2222 4()0abcd由由 不全為不全為0，有，有即即 ，故方程組只有零解，