1、1第5章 不定積分5.1 原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分 通過對求導和微分的學習，我們可以從一個函數yf(x)出發，去求它的導數f(x) 那么，我們能不能從一個函數的導數f(x)出發，反過來去求它是哪一個函數(原函數)的導數呢?定義 已知f(x)是定義在某區間上的一個函數，如果存在函數F(x)，使得在該區間上的任何一點x處都有F(x)f(x)，那么稱函數F(x)為函數f(x)在該區間上的一個原函數。2例1 求下列函數的一個原函數： f(x)2x f(x)cosx解：(x2)2x x2是函數2x的一個原函數 (sinx)cosx sinx是函數cosx的一個原函數 這里為什么要強調是

2、一個原函數呢?因為一個函數的原函數不是唯一的。 例如在上面的中，還有(x21)2x， (x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C (C為任意常數)都是函數f(x)2x的原函數。3定理5.1 設F(x)是函數f(x)在區間I上的一個原函數，C是一個任意常數，那么， F(x)C也是f(x) 在該區間I上的原函數 f(x)該在區間I上的全體原函數可以表示為F(x)C證明： F(X)CF(x)(C)f(x) F(x)C也是f(x)的原函數 略4 這說明函數f(x)如果有一個原函數F(x)，那么它就有無窮多個原函數，它們都可以表示為F(x)C的形式。定義5.2 函數f(x)的全體原函數叫做函數f

3、(x)的不定積分，記作f(x)dx， 其中叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量。 求函數f(x)的不定積分就是求它的全體原函數，因此，f(x)dxF(x)C 其中C是任意常數，叫做積分常數。5例2 求下列不定積分 x5dx sinxdx解： 是x5的一個原函數 cosx是sinx的一個原函數 661xCxdxx6561Cxxdxcossin6二、 不定積分的幾何意義 設F(x)是函數f(x)的一個原函數，則曲線yF(x)稱為f(x)的一條積分曲線，曲線yF(x)C表示把曲線yF(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲線族。例4

4、求斜率為2x且經過點(1,0)的曲線。解：設所求曲線為yf(x)，則f(x)2x， 故yx2C， 曲線過點(1,0)以x1、y0代入得012C， 解得C1， 因此，所求曲線為yx21。7三、 基本積分公式 由于積分運算是求導運算的逆運算，所以由基本求導公式反推，可得基本積分公式 dxxC xdx (-1) exdxexC sinxdxcosxC cosxdxsinxC sec2xdxtanxC csc2xdxcotxCCx111Cxdxx|ln1CaadxaxxlnCaxdxxaarcsin122Caxdxxaarctan1228說明：冪函數的積分結果可以這樣求，先將被積函數的指數加1，再把指

5、數的倒數放在前面做系數。注意 不能認為 arcsinxarccosx，他們之間的關系是 arcsinx2arccosxdxxx215求例Cxdxxdxxx23252321:解dxx2116求例兩式都是本題的解又解CxdxxdxxCxdxxarccos)11(11arcsin11:2229四、 不定積分的性質 f(x)dxf(x) 該性質表明，如果函數f(x)先求不定積分再求導，所得結果仍為f(x) F(x)dxF(x)C 該性質表明，如果函數F(x)先求導再求不定積分，所得結果與F(x)相差一個常數C kf(x)dxkf(x)dx (k為常數) 該性質表明，被積函數中不為零的常數因子可以提到積

6、分號的前面 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 該性質表明，兩個函數的和或差的不定積分等于這兩個函數的不定積分的和或差10五、 基本積分公式的應用例7 求(9x28x)dx解：(9x28x)dx9x2dx8xdx 33x2dx42xdx3x34x2C例11 求3xexdxdxxx24110求例Cxxxdxxdxxdxxxxdxxxarctan3111) 1(11111:32222424解CeCeedxedxexxxxxx3ln13)3ln()3()3(3:解115.2 不定積分的計算一、 直接積分法 對被積函數進行簡單的恒等變形后直接用不定積分的性質和基本積分公式即可求出不定積分的方

7、法稱為直接積分法。 運用直接積分法可以求出一些簡單函數的不定積分。12 dxx211求例Cxxxdxxdxdxxdxxxdxx23222312) 12(1:解dxxxx223)3)(1(求再如Cxxxxdxxxxdxxxxxdxxxx1|ln361)113131(3333)3)(1(:2222322解13一、第一換元法(湊微分法) 如果被積函數的自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。 例如求cos2xdx，被積函數的自變量是2x，積分變量是x。 這時，我們可以設被積函數的自變量為u，如果能從被積式中分離出一個因子u(x)來，那么根據f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C就可以求出不定

8、積分。 這種積分方法叫做湊微分法。14講解例題例2 求2sin2xdx解：設u2x，則du2dx 2sin2xdxsin2x2dxsinudu cosuCcos2xC注意：最后結果中不能有u，一定要還原成x。解：設ux21，則du2xdxdxxx42) 1(3求例CxCuduudxxx323442) 1(616121) 1(15 解：設ux2，則du2xdx 設ucosx，則du-sinxdxdxxex225求例CeCeduexdxedxxexuuxx22222xdxtan7求例dxxxxdxcossintan:解CxCuduudxxxxdx|cos|ln|ln1)sin(cos1tan16

9、當計算熟練后，換元的過程可以省去不寫。 例 求sin3xcosxdx 解：sin3xcosxdxsin3xd(sinx) sin4xC dxxx1求例dxxxxdxxx11) 1(1:解Cxxxdxxdx23252123) 1(32) 1(52) 1() 1() 1() 1(4117二、第二換元積分法 例如，求 ，把其中最難處理的部分換元，令 則原式 ，再反解xu21，得dx2udu，代入這就是第二換元積分法。dxx1111 xudxu11duuduuudxx)111 (212111CxxCuu| 11|ln2121ln 218 (1)如果被積函數含有 ，可以用xasint換元。 (2)如果被

10、積函數含有 ，可以用xatant換元。dxxxsin求例tdtdxtxtx2,:2則令解CxCttdttdtttdxxxcos2cos2sin22sinsin22xa dxxa22116求例taxatdtadxaxttaxcos,cos,arcsin,sin:22則設解CaxCtdttatdtadxxaarcsincoscos12222xa 19 (3)如果被積函數含有 ，可以用xasect換元。dxxa22117求例taxatdtadxtaxsec,sec,tan:222則設解CxxaCaxaxaCtttdttatdtadxxa221221222lnlntanseclnsecsecsec12

11、2ax dxax22118求例taaxtdttadxtaxtan,tansec,sec:22則設解CaxxCaaxaxCtttdttatdttadxax22122122lnlntanseclnsectantansec120以下結果可以作為公式使用： tanxdxln|secx|C cotdxln|cscx|C secxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|C Caxaxaaxdxln2122Caxxaxdx2222lnCxaxaxadxxa222222arcsin2215.3 分部積分法一、分部積分公式考察函數乘積的求導法則： u(x)v(x)u(x)v(x)u(

12、x)v(x)兩邊積分得 u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx于是有 u ( x ) v ( x ) d x u ( x ) v ( x ) u(x)v(x)dx或表示成 u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)這一公式稱為分部積分公式。22二、講解例題例1 求xexdx解:令 u(x)x，v(x)ex 則原式為u(x)v(x)dx的形式 (ex)ex v(x)ex，由分部積分公式有 xexdxxexexdxxexexC例2 求xcos2xdx解：令 u(x)x，v(x)cos2x，則v(x) sin2x 于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsi

13、n2x cos2xC212121214123 有時，用分部積分法求不定積分需要連續使用幾次分部積分公式才可以求出結果。例5：求x2e-2xdx解：令u(x)x2，v(x)e-2x，則v(x)于是xe221dxexexdxexxxx)21(22122222)2121(21212222222dxexeexdxxeexxxxxxCexeexxxx222241212124由此可見：作一次分部積分后，被積函數中冪函數的次數可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。 為了簡化運算過程，下面介紹:三、分部積分法的列表解法例如：求 x2sinxdx x2 sinx

14、 求導 + 積分 2x - -cosxx2sinxdx -x2cosx-2x(-cosx)dx25 分部積分法的列表解法例如：求 x2sinxdx x2 sinx求導積分2x-cosxx2sinxdx-x2cosx2xcosxdx-x2cosx2xsinx-2sinxdx求導積分-sinx-x2cosx2xsinx2cosxC求導積分+cosx 26例4：求xlnxdx x lnx 求導 積分 1 ?這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解： lnx x 求導 + 積分 - x122xCxxxdxxxxxdxx4ln22ln2ln222則27一般原則對數函數、

15、反三角函數、冪函數應放在左邊，指數函數、三角函數應放在右邊。 有些單獨一個函數的不定積分也要用分部積分法解。例3：求lnxdx lnx 1 求導 + 積分 - xx1= xlnxdx = xlnxxC28例6求arcsinxdx arcsinx 1 求導 + 積分 - x例7 1 求導 積分 x211xdxax22求22ax 22axx29例8 求exsin3xdx解：exsin3xdxexsin3x3excos3xdx exsin3x3excos3x9exsin3xdx移項得exsin3xdx ex(si3nx3cos3x)C5.4 有理函數積分法一、有理函數的定義 有理函數是指分子、分母都

16、是多項式的分式函數，形如101)()()(xQxPxRmn30二、真分式的部分分式分解 設分子的次數為n，分母的次數為m。 當nm時，該分式稱為真分式； 當nm時，該分式稱為假分式。 假分式可以寫成多項式與真分式的和。這里主要講解真分式的部分分式分解。例分解 成部分分式解：因為分母含有(x1)的三重因式，所以設33)1(1xxx3233) 1() 1(1) 1(1xDxCxBxAxxx31等式右邊通分后得 比較等式兩邊分子各項的系數得 1解得：1 3202 30 1 1 2這種方法稱為待定系數法323) 1() 1() 1() 1(xxDxxCxxBxxA3233) 1(2) 1(1121)

17、1(1xxxxxxx則323) 1()3()23()(xxAxDCBAxCBAxBA32幾種簡單分式的積分法一、dxaxk)(1CaxkdxaxdxaxkCaxdxaxkkkk1)(111)()(11ln11時，當時，當Cxxdxxdxxdxxxdxxx222ln)2(1221)2(:)2(1222解求例33二、1.當分子不含一次項時因為分母中p2-4q0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2，再進一步，還可以化成04,22qpdxqpxxNMx其中 1)(22nmxnCxdxxdxxdxxdxx32arctan381)32(32322132134324:32432222解求例34Cxdxxdxxdxxxdxxx21arctan211)21(21212) 1(1321:32142222解求例352.當分子含有一次項時，可將分子湊成分母的導數與另一常數之和再分別積分。Cxxxdxxxxdxxdxxdxxxxdxxxxdxxxx32arctan31)134ln(1)32(3131)134(13419)2(11344213452:13452522222222解求例36三、分母可以因式分解的有理函數1.若被積函數是假分式，先把它分解成一個多項式與一個真分式之和,2. 對于真分式，先將分母因式