1、注重解題反思 優化思維品質長樂吳航中學 劉禮義摘要：數學課程標準要求著重培養學生回顧自己思考過程的習慣，初步學會分析思維過程中的得失，了解反思的含義，經歷反思的活動，初步形成反思的意識。數學教師要注重引導學生解題反思，優化學生思維的品質。關鍵詞：解題反思 優化 思維品質 著名數學家喬治波利亞說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”，他在怎樣解題中將數學解題劃分為四個階段：弄清問題擬定計劃實現計劃回顧，這個過程中的“回顧”就是解題反思。解題反思是對整個解題活動深層次的思考，是再發現，再創造的過程。不少學生解答數學題時只滿足于獲得正確的答案，解題活動僅僅停留在經驗水平上，疲于

2、“題海戰術”。其實一個數學問題的解決，應該更深一步去挖掘“命題的意圖是什么”、“考核了哪些的知識和技能，方法和思想”，“求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善”，“本題有無其他解法，哪一種最簡捷”，“解法與結論是否具有普遍性，能否進一步推廣”等。多角度，多層次對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析與思考，從而深化對問題的理解，揭示問題的本質，探索解決問題的規律。數學課程標準在“解決問題”這一基本目標中明確指出，要“著重培養學生回顧自己思考過程的習慣，初步學會分析思維過程中的得失，了解反思的含義，經歷反思的活動，初步形成反思的意識”。教師要領悟和落實這一要求，進而優化學生思維品質，促進學生思

3、維發展。結合初中數學教學實踐，談談我對解題反思的幾點體會，請同行不吝賜教。一、反思解題疏漏，優化思維的嚴密性解數學題時往往有這么一種現象，對一些含有附加條件的問題，雖然簡單易解，但是學生沒有認真審題，未能充分考慮條件中隱含的深層含義，無法讀取完整信息而造成解題失誤。例1如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為9米）圍成一個中間隔有一道籬笆的長方表養雞場。設養雞場的長BC為x米，面積為y米2求y與x的函數關系式當長方形的長為多少時，養雞場的面積最大，最大面積是多少？易求得函數關系式，根據“二次項系數 a0，當時，二次函數y有最大值”得：當x=12時，y有最大值48。但此時研究實際

4、問題中的函數關系，沒有考慮到定義域，忽略了附加條件“墻的最大可用長度為9米”，即在自變量的取值范圍0 x 9內取不到x=12。所以正確的解答是要結合圖象，從函數值變化的角度，才能確認當長方形的長最大值為9米時，養雞場的面積最大為45米2。數學解題中出現的錯誤，常見于審題不清，概念模糊，忽視隱含條件，思維定勢，套用相近知識，考慮不全面或計算出差錯等。有知識缺漏造成的，有能力缺陷造成的，有思維邏輯混亂造成的，還有非智力因素造成的。反思解題疏漏，就能充分利用“錯誤中往往孕育著的比正確更豐富的發現和創造因素”，找出錯誤的根源，分析出錯的原因，從而有效避免思維的片面性，養成嚴謹全面的思維品質。二、反思解

5、題思路，優化思維的縝密性由于學生的個體差異，總有部分學生即使在完成解題之后，仍然混混沌沌難以理清解題思路，因此，教師要示范并指導學生重視解題思路的回顧和梳理，概括解題思想，使解題途徑清晰化，過程條理化。例2如圖，矩形紙片ABCD中，將BDC沿BD折疊到BDC，BC交AD于點E，已知AB=6，BC=8，求折疊后重疊部分的面積。分析得知，只要求得DE的值即可求得重疊部分的面積，由折疊知識可知DBE=DBC，進而DE=BE，設DE=BE=X，則AE=8-x，在RtABE中，x2-(8-x）2=62，求得 ,從而SBDE =。折疊問題的實質是對稱變化。學生通過觀察，動手操作，比較等各種嘗試活動，容易發

6、現題目中的等量關系，成功解答問題之后，教師引導學生回顧解題思路，明確解題依據，通過討論交流歸納出解答折疊問題的共性同一線段或角在折疊前后對應相等，尋找圖中非重疊部分的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。經過這樣的概括，解題思路清晰且有條理，“解一題通一類”，學生再解答同類題時就能做到胸有成竹，提高思維的縝密性。三、反思解題方法，優化思維的靈活性數學解題是“三位一體”的活動有用捕捉，有關提取，有效組合。很多數學題有多種解法，教師要注重引導學生反思解題方法，根據題目的基本特征和特殊因素，認真反思解題過程有無思維回路，哪些過程可以合并或轉換，從不同角度，不同方位，不同層次尋求不同的解題方法，殊途同歸

7、。例3如圖3-1，在ABC中，D是AB邊的中點，ACB=90，E、F是BC、AC上邊的點，且EDF=90，求證：EF2=BE2+AF2 求證式形如直角三角形的三邊關系，因此要構造一個直角三角形，使它的三邊分別與EF、BE、AF相等。這是問題的突破口。延長ED到G，使DG=DE，連接GF、AG，易證AG=BE（由AGDBED可得），EF=GF，GAF=90，則FG2=AG2+AF2，即EF2=BE2+AF2。反思解法后可知，輔助線的作用就是將BE、EF、FA構成一個三角形，那么，是否還有其他的方法將這三邊構成一個三角形呢？如圖3-2，以DE、DF為軸將BDE，ADF折起，折疊之后結論顯而易見（E

8、DF=90，D是BC的中點，保證DB、DA折疊后能夠重合）。更多的時候，最初的解法并不是最優的，所以，我們應在解題的過程中不斷地反思解法，重視學生求異心理，滿足學生“獨樹一幟”的渴求，充分挖掘和發展學生的自身潛能，改進既定方案，改善、豐富解題策略，抓住問題的關鍵，優化解題過程，尋求“最優”、“最快”的解法，讓學生在不斷感受因創新而帶來的成功喜悅中，提高思維的靈活性。四、反思習題本質，優化思維的深刻性許多數學習題看似不同，但它們的內在本質是一樣的，這就要求在解題中要重視對這類題目的收集、比較，反思它們的本質共性，去異求同尋求通法通解。例4給出如下題組：題1：如圖（1），A是CD上一點，DABC、

9、DADE都是正三角形，求證CE=BD題2：如圖（2），DABD、DACE都是正三角形，求證CD=BE題3：如圖（3），分別以DABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE題4：如圖（4），有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC題5：如圖（5），P是正方形ABCD內一點，DABP繞點B順時針方向旋轉90得到DCBP，若PB=3，求PP 上述題組中各小題都是將三角形旋轉60或90，從而利用旋轉的不變性使問題獲得。由于借助旋轉變化進行數學語言表達有一定難度，因此一般都是利用正三角形、正方形的性質，為證明全等三角形創造條件

10、，并利用全等三角形的性質進行進一步的計算或證明。教師要在教學過程中把這類題目成組展現給學生，引導學生反思習題特征，用自己的語言對習題進行重新概述，感悟它們的本質特征與內在聯系，促進知識的正遷移，優化思維的深刻性。 五、反思習題變式，優化思維的發散性在數學解題訓練中，變式是一種很常見的有效方法。所謂變式，是指對數學問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發生變化，而本質特征卻不變。這種變化，可以是改變條件或結論，也可以是結論與條件的互換，還可以是開放條件或結論。利用變式，把一個看似孤立的問題從不同角度向外擴散，形成一個有規律可尋的系列。數學教學中要特別重視對課本

11、例題和習題的變式訓練。數學解題的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，教學中要善于對這類習題進行必要的挖掘，即通過對例題或習題適當的“改裝”或引申，把分散的知識由點串成線，積累知識組塊，有利于知識的建構。例5如圖（一）在DABC中，B=C，點D是邊BC上的一點，DEAC，DFAB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。這是八年級數學課本中的一道習題。本題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求得AB上的高為8cm. 解決問題后不要把求得結論作

12、為終極目標，教師可進一步提問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE、DF、CH之間的內在聯系（學生猜想CH=DE+DF）。引出變式題1、如圖（二），在DABC中，B=C，點D是邊BC上的任一點，DEAC，DFAB，CHAB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF。在計算例題的基礎上，學生已經具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯系起來的意識，此題的證明很容易解決。在學生思維的積極性充分調動起來的此時，教師可借機給出變式題2、如圖（三），在等邊DABC中，P是形內任意一點，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，求證PD+PE+PF是一個定值。通過類比、引申結論或改變條件，教師給學生展現了習題變式的生成過程，引導學生經歷了一個從特殊到一般，再從一般到特殊的思維過程，從而揭示條件、結論間的聯系，透過問題表層，充分挖掘其內在因素，洞察問題元素間的深層關系，把握解決問題的關鍵，明確解決問題的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的能力，優化思維的發散性，提高學生數學解題乃至編題的能力。正如數學家弗賴登塔爾所認為，“反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力”。新課改數學教學中，教師注重引導學生解題反思能優化學生思維的嚴密性、縝密性、靈活性、深刻性、發散性，促進學生的思維升華到一個更高的水平，使學生獲得深入學習所必需的思