1、已知圓的參數方程為為參數), 以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為, 則直線截圓所得的弦長是.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.（本小題滿分12分）已知的內角的對邊分別是,且.(1) 求的值； (2) 求的值.17.（本小題滿分12分）某市四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數如下表所示：中學人數 為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調查.（1）問四所中學各抽取多少名學生？（2）從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同

2、一所中學的概率；（3）在參加問卷調查的名學生中，從來自兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學生，用表示抽得中學的學生人數，求的分布列.18. （本小題滿分14分）如圖4,已知四棱錐，底面是正方形，面，點是的中點，點是的中點,連接,.(1) 求證：面；（2）若,，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分14分）如圖5, 已知拋物線，直線與拋物線交于兩點，與交于點.(1) 求點的軌跡方程；(2) 求四邊形的面積的最小值. 圖520.（本小題滿分14分） 在數和之間插入個實數,使得這個數構成遞增的等比數列,將這個數的乘積記為,令,N.(1)求數列的前項和；(2)求.21.（本小題滿分14分）若函數對任意的實數

3、，均有，則稱函數是區間上的“平緩函數”.（蘇元高考吧：）(1) 判斷和是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；(2) 若數列對所有的正整數都有 ，設, 求證： .2013屆廣州市高三年級調研測試數學（理科）試題參考答案及評分標準一、選擇題1. A分析：，其對應的點為，位于第一象限2. D分析：，3. B分析：，4. A分析：當時，有，解得； 所以，但，故“”是“”的充分不必要條件5. B分析：逆推法，將的圖象向左平移個單位即得的圖象，即6. C分析：三棱錐如圖所示， ，7. B分析：方程表示焦點在軸且離心率小于的橢圓時，有 ，即，化簡得，又，畫出滿足不等式組的平面區域，如右圖陰影部分所示，

4、求得陰影部分的面積為，故8. C分析：由題意得，故不等式化為， 化簡得， 故原題等價于在上恒成立，由二次函數圖象，其對稱軸為，討論得 或 ，解得 或 ，綜上可得二、填空題9.分析：方法一、（基本量法）由得，即 ，化簡得，故方法二、等差數列中由可將化為，即，故10.分析：，令，得其常數項為，即，解得11.分析：設切點為 ，由得，故切線方程為，整理得，與比較得，解得，故12.分析：圓方程化為標準式為，其圓心坐標，半徑，由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離，由右圖所示，圓上到直線的距離為的點有4個13.分析：由題意， ， ， ；以上共503行，輸出的14.分析：如圖，因為 ，所以是弦中點，由相交弦

5、定理知， 即，故15.分析：圓的參數方程化為平面直角坐標方程為，直線的極坐標方程化為平面直角坐標方程為，如右圖所示，圓心到直線的距離，故圓截直線所得的弦長為三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.（本小題滿分12分）（本小題主要考查同角三角函數的關系、正弦定理、二倍角、兩角差的余弦等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）（1）解:,依據正弦定理得:, 1分即,解得. 3分(2)解:，. 4分. 5分, 6分. 7分,. 8分 9分 10分. 12分17（本小題滿分12分）（本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機變量的分布列等基礎知

6、識，考查數據處理、推理論證、運算求解能力和應用意識，以及或然與必然的數學思想）（1）解：由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名， 抽取的樣本容量與總體個數的比值為.應從四所中學抽取的學生人數分別為. 4分（2）解：設“從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所中學”為事件，從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有C種， 5分這兩名學生來自同一所中學的取法共有CCCC. 6分.答：從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生來自同一所中學的概率為. 7分(3) 解：由（1）知，在參加問卷調查的名學生中，來自兩所中學的學生人數分別

7、為. 依題意得，的可能取值為， 8分， ，. 11分的分布列為： 12分 18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面位置關系、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法）（1）證法1：取的中點，連接，點是的中點,. 1分點是的中點，底面是正方形，. 2分.四邊形是平行四邊形. 3分平面，平面，面. 4分證法2：連接并延長交的延長線于點，連接，點是的中點，, 1分點是的中點. 2分點是的中點,. 3分面，平面，面. 4分證法3：取的中點，連接，點是的中點，點是的中點,，. 面，平面，面. 1分面，平面，面. 2分，平面，平面，平面面. 3

8、分平面，面. 4分（2）解法1：，面，面. 5分面，. 6分過作，垂足為，連接，面，面，面. 7分面，. 8分是二面角的平面角. 9分 在Rt中，,，得， 10分 在Rt中，得，. 11分在Rt中， 12分. 13分二面角的余弦值為. 14分解法2：，面，面.在Rt中，,，得， 5分以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系， 6分則.，. 8分設平面的法向量為，由，得令，得，.是平面的一個法向量. 11分又是平面的一個法向量， 12分. 13分二面角的余弦值為. 14分19. （本小題滿分14分）（本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式等基礎知識，考查數

9、形結合、函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創新意識）解法一:（1）解：設，是線段的中點. 2分， 3分. 4分， . 5分 依題意知，. 6分把、代入得：，即. 7分點的軌跡方程為. 8分 (2)解：依題意得四邊形是矩形，四邊形的面積為 9分. 11分，當且僅當時，等號成立， 12分. 13分四邊形的面積的最小值為. 14分解法二:(1)解:依題意,知直線的斜率存在,設直線的斜率為, 由于,則直線的斜率為. 1分 故直線的方程為,直線的方程為. 由 消去,得. 解得或. 2分點的坐標為. 3分 同理得點的坐標為. 4分，是線段的中點. 5分 設點的坐標為,

10、則 6分 消去,得. 7分點的軌跡方程為. 8分(2)解：依題意得四邊形是矩形，四邊形的面積為 9分 10分 11分. 12分當且僅當,即時,等號成立. 13分四邊形的面積的最小值為. 14分20. （本小題滿分14分）（本小題主要考查等比數列的通項公式、數列的前項和等基礎知識，考查合情推理、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力）(1)解法1:設構成等比數列,其中,依題意, 1分, 2分由于, 3分得. 4分,. 5分, 6分數列是首項為,公比為的等比數列. 7分. 8分解法2: 設構成等比數列,其中,公比為, 則,即. 1分 依題意,得 2分 3分 4分. 5分, 6分數列是首項為,公比為的等比數列. 7分. 8分(2)解: 由(1)得, 9分, 10分,N. 11分. 14分21.(本小題滿分14分)（本小題主要考查函數、絕對值不等式等基礎知識，考查函數與方程、分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創新意識）(1) 解：是R上的“平緩函數”，但不是區間R的“平緩函數”；設，則,則是實數集R上的增函數，不妨設，則，即， 則. 1分又也是R