1、積分變換法是求解偏微分方程的一種基本方法. 不僅如此，在自然科學和工程技術的許多領域也有著廣泛應用. 本章介紹Fourier變換在求解偏微分方程定解問題中的應用. 主要以一維熱傳導方程，一維波動方程及平面上的Laplace方程為主. 對于高維情形，由于計算過程要復雜一些，故只做簡單介紹，也不做過多要求. 41 熱傳導方程Cauchy問題4. 一維熱傳導方程Cauchy問題考慮如下問題下面利用Fourier變換求解該定解問題. 設為常數，函數的Fourier變換為(1.3)為書寫方便起見，引入記號, 如果為二元函數，表示對中的空間變量作Fourier變換的像函數，此時作為參數對待.對（1.1）（

2、1.2）關于空間變量作Fourier變換得上面是一階線性常微分方程的初值問題，解之可得(1.4)利用（1.3）得 記 （1.5）其中為單位階躍函數. 則有利用上面結果將（1.4）改寫為(1.6)對（1.6）兩邊取Fourier逆變換，并利用Fourier變換卷積公式便得(1.7)（1.7）即為定解問題（1.1）（1.2）的解.在的表達式（1.7）中，函數起著一個基本作用. 如果令，則有因此，是如下問題的解而和分別是下面兩問題的解由于知道了就可直接寫出（1.1）（1.2）的解（1.7）式. 類似于求解線性方程組，其中為矩陣. 如果知道該齊次方程組的一個基解組，則方程的任一解可由基解組的線性組合表

3、出. 因此，的作用就相當于向量空間中的基，故稱為定解問題（1.1）（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是線性微分方程的一個很重要的概念，不僅可以表示Cauchy問題的解，也可用來構造Green函數表示邊值問題的解.基本解有明確的物理解釋. 若在初始時刻時在處置放一單位點熱源，則此單位點熱源在軸上產生的溫度分布便是. 類似地，若在初始時刻時在處置放一單位點熱源，則此點熱源在軸上產生的溫度分布為. 而將初始時刻變為時，其溫度分布就是.注1在（1.1）（1.2）解的表達式（1.7）中，如果將其中的第一項和第二項分別記為和，則是相應于時齊次方程的解，而是相應于時非齊次

4、方程的解. 若記，則由齊次化原理可知.另外，和表達式中的卷積形式類似，也可表示成某種卷積形式，請同學們試給出這一表示形式. 求解如下定解問題其中均為常數.解 4）5）關于作Fourier變換得解之可得6)為了求函數的Fourier逆變換，利用配方法將其改寫為由于利用Fourier變換的位移性質得取得故有其中記其中為單位階躍函數. 4）5）的基本解.6）改寫為.,求Fourier逆變換得5）中的齊次方程改為非齊次方程，考慮如下定解問題請同學們寫出該定解問題的解. 例1.2 求解如下定解問題其中 解 由（1.7）可得該問題的解為對積分作變量代換 得引入下面函數 （1.17）該函數稱為誤差函數. 利

5、用誤差函數可得.4.1.2二維熱傳導方程Cauchy問題為加深對線性微分方程基本解的進一步理解,下面再求解二維熱傳導方程Cauchy問題 9)(1.20)，先求二維熱傳導方程的基本解,即如下定解問題的解引入二元函數的Fourier變換和一元函數Fourier變換的性質相對應，二元函數的Fourier變換也有類似性質.對(1.20)-(1.21)關于空間變量作Fourier變換得其中. 解之可得.故有即8)-(1.19)的基本解為與（1.7）相對應，（1.20）（1.21）的解為作為練習，同學們試用Fourier變換求解三維熱傳導方程Cauchy問題.42 波動方程Cauchy問題421一維波動

6、方程Cauchy問題考慮如下定解問題若記（2.3）（2.4）的解為，則由疊加原理和齊次化原理可得（2.1）（2.2）的解為(2.5)因此，只須求解定解問題（2.3）（2.4）. 對（2.3）（2.4）關于空間變量作Fourier變換得解之可得記查Fourier變換表或直接計算可得故有對上式取Fourier逆變換并利用卷積公式得 .利用（2.5）便得（2.1）（2.2）的解為(2.6)當時，（2.6）稱為一維波方程Cauchy問題的達朗貝爾（DAlembert）公式.注1 在（2.4）中取，則有，即是如下定解問題的解，稱其為一維波動方程的基本解. 利用基本解，就可寫出（2.1）（2.2）的解（2

7、.6）式. 在（2.6）的表達式中也起到一個“基”的作用. 4. 二維和三維波動方程Cauchy問題下面，首先利用Fourier變換求解三維波動方程Cauchy問題,然后用降維法求出二維波動方程Cauchy問題的解.考慮三維波動方程Cauchy問題為求解定解問題(2.7)(2.9)，先求出三維波動方程的基本解，即如下問題的解,記. 對定解問題(2.10)關于空間變量作Fourier變換得解之可得故有為計算上面積分,首先對上面積分作變量代換,其中為三階正交矩陣. 選使得將變為，. 根據正交變換的保內積性可得，該變換將分別變為.故有，再利用球坐標變換 可得.注意到，記即，當時，(2.7)(2.9)

8、的解為其中.對任一，記以點為心為半徑的球面為，即. 將上面的積分化為累次積分并由函數的定義可得最后，由疊加原理和齊次化原理便得(2.7)(2.9)的解為 (2.14)其中.(2.14)稱為三維波動方程Cauchy問題的克希霍夫（Kirchhoff）公式.利用Fourier變換求二維波動方程的基本解比較難. 利用三維空間中已有的結果（2.13），下面用降維法求二維波動方程Cauchy問題. 考慮如下三維波動方程Cauchy問題 對于定解問題（2.15）（2.16），由于初始數據與無關，可推知解與也無關，故有0，即定解問題（2.15）（2.16）其實是一個二維波動方程Cauchy問題, 由(2.1

9、3)可得該問題的解為其中. 對于上半球面直接計算得將上式代入到（2.17）中便得其中，. 和三維情形類似，由（2.18）可得二維波動方程Cauchy問題的解為（2.22）（2.22）稱為二維波動方程Cauchy問題的波以松（Poisson）公式. 4. 解的物理意義對一維波動方程Cauchy問題，如果無外力作用，則解由DAlembert公式給出，即將上式改寫為其中記，則.首先考慮當時在平面上畫出函數的圖形，則的圖形可通過的圖形向左平移個單位長度而得. 隨著的增加，的圖形不斷向左平移，移動速度為，故稱為左傳播波，為波速. 同樣道理，稱為右傳播波. DAlembert公式表明:弦線在時刻的振動是初

10、始振動所產生的右傳播波和左傳播波的疊加.其次，從DAlembert公式還可看出:在的值只與軸上區間上初始值有關，而與其它點的初始值無關. 這是由于波速為，在區間外的初始擾動在時刻還未傳播到點，故稱區間為點的依賴區間. 在平面上，過點分別作斜率為的直線，兩條直線在軸上所截得的區間便是）.給定軸上的區間，過點作直線，過點作直線，它們和）.由于該區域內任一點的依賴區間都落在區間內，因此，解在此三角形區域內的值完全由區間上的初始值決定，而與此區間外的初始值無關，故稱此三角形區域為區間的決定區域. 同理，過點作直線，過點作直線，它們和），該區域稱為區間的影響區域，它表示區間上初始擾動對弦線振動的作用范圍

11、. (x,t) 決定區域影響區域 0 0 0 () (b) (c)由上面分析可得,波以常速沿兩族直線向左右兩個方向傳播，這是波動現象的一個基本特征. 直線 稱為一維波動方程的特征線，它們在一維波動問題的研究中起著重要作用.當時，對公式（2.14）和（2.22）進行分析，便可得到和上面類似的結論.對二維波動方程，一點的依賴區域是以為心，為半徑的圓域；而對三維波動方程，一點的依賴區域是以為心，為半徑的球面，而不是球形區域. 反映在波的傳播過程中，平面波有前陣面而無后陣面，正像把一塊石子扔在湖中，在湖面上激起層層浪花，這種現象稱為波的彌漫現象；而空間波既有前陣面又有后陣面，正像人們聽到聲音，一會兒就

12、消失了，這種現象稱為空間波傳播的無后效現象,此即Huygens原理.43 積分變換法舉例在前二節中，利用Fourier變換求出了熱傳導方程和波動方程Cauchy問題的解. 下面再進一步舉例，說明積分變換法在求解偏微分方程定解問題中的作用.例3.1求解如下定解問題其中為實數. 解 對（3.1）（3.2）關于空間變量作Fourier變換得解之可得 （3.3）由于故（3.3）可表示為對上式取Fourier逆變換得例3.2求半平面上調和方程邊值問題的有界解解 對（3.4）（3.5）關于變量作Fourier變換得解之可得由于有界，故結合初始條件可得（3.6）直接求的Fourier逆變換得故（3.6）可表

13、示為對上式取Fourier逆變換得，求桿內的溫度分布.解 設為桿內溫度分布，則滿足如下定解問題對（3.7）（3.9）關于時間變量作Laplace變換,并記的像函數為可得即 （3.10）是常系數二階線性常微分方程，非齊次項為三角函數. 易得該方程通解為利用邊界條件（3.11）得，故取Laplace逆變換可得.例3.4求下面半無界弦振動問題有界的解 解 對（3.12）（3.14）關于時間變量作Laplace變換得 或者解之可得由于有界，故結合初始條件可得5)5）取Laplace逆變換可得6)由于=7)利用Laplace變換的延遲性質其中為階躍函數. 取得=8)7）86）中便得注1定解問題（3.7）

14、（3.9）也可用分離變量法求解. 一般而言，Laplace變換方法的求解過程比較繁瑣，而分離變量法已成固定模式，求解過程相對簡明.習題四1.用Fourier變換求解如下定解問題 （1） （2）2 用Fourier變換求解如下定解問題（1） （2） 3.用Fourier變換求解如下定解問題 （1） （2） 4.求解如下一維波動方程Cauchy問題 （1） （2） 5求解如下Cauchy問題 （1） （2） （3） 6. 由三維波動方程Cauchy問題解的公式，利用降維法求解如下問題7. 考慮如下定解問題 設和為直線上奇（偶，周期為的）函數，證明該問題的解關于變量也是奇（偶，周期為的）函數. 對于一維熱傳導方程Cauchy問題，類似結果是否成立？8設和在二階連續可導，求解如下波動方程半無界問題如將該問題的邊界條件換為，如何求解相應的定解問題？9考慮如下定解問題其中初始波形為如下鋸齒波（1）分別畫出時