1、一、在一些命題證明中的應用舉例：1、 證明勾股定理：解析：上圖中，四個小三角形（陰影部分）的面積加上中間小正方形的面積等于大正方形的面積，化簡后得到勾股定理。2、 證明乘法公式（平方差與完全平方）：解析：在上圖中，利用正方形和小正方形面積的轉化，能更進一步理解平方差公式與完全平方公式的運算過程以及公式的本質問題。3、 證明基本不等式：解析：如上圖所示，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，長度為，根據直角三角形的相似關系，可以得到直角三角形斜邊上的高的長度為，顯然在直角三角形中，斜邊上的中線的長度會大于等于高，利用這樣簡潔明了的幾何圖解，對基本不等式的理解也就更加簡單了。4、 證明正（余）弦定

2、理：解析：（1）如上圖所示，；即；根據圓的性質（等弧對等角）；綜上，得正弦定理：。（2）根據勾股定理；整理可得余弦定理：；同理得出cosA、cosC的余弦定理。5、 證明結論解析：如上圖所示，根據y=tanx、y=x、y=sinx在上的圖像可看出tanx>x>sinx，。當然，實際考試作圖不可能如此精確，那么轉化到右圖的單位圓中，當時，角的終邊始終在第一象限內，根據三角函數線可知，藍線表示正弦線，紅線表示正切線，再根據弧長公式，即圖中黑色弧線的長度表示x，顯而易見。紅線長度>弧線長度>藍線長度，即tanx>x>sinx，。6、證明兩角差的余弦公式：解析：如上

3、圖所示，根據三角比的定義及單位圓的定義可知單位圓上的點的坐標表示。左圖中，將B點旋轉至（1，0）處（右圖所示）。此時，因為線段AB的長度沒有發生變化，即，化簡：。當然也可以用向量的方法證明，利用向量數量積定義，證明更加簡潔。如左圖，。二、在考試中的具體應用：1、與函數的綜合運用，主要體現在求零點、交點、解的個數及參數范圍等方面：例1（14奉賢）已知定義在R上的函數y=f（x）對任意x都滿足f（x+2）=-f（x），當只有四個零點，則a的取值范圍是 答案：解析：根據已知條件，f（x）的周期為4，先畫f（x）一個周期圖像，當1x<3時，由此畫出-1，3）的圖像，此為一個周期，圖像如下，只有四

4、個零點即f（x）與y=只有四個交點，需分類討論：（1）當0<a<1時，有兩個界值，如下圖所示：此時5個交點，代入點（-5，-1），解得a=此時3個交點，代入點（3，-1），解得a=（2）當a>1時，也有兩個界值，如下圖所示：此時3個交點，代入（-3，1），解得a=3。評注：數形結合體型，一定要結合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數的所有性質及函數圖像的變換。例2 （14閔行），若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是答案：（32，35）解析：根據題意，如下圖所示，ab=1，abcd=cd=

5、，4<c<5，所以答案是（32，35）。評注：這類題出現很多，典型的數形結合題型，要讓學生熟悉各類函數圖像及相關性質，尤其是對稱性和周期性；在草稿紙上作圖時，雖說是草圖，但有必要做出一些特殊點進行定位；寫區間時，務必考慮區間的開閉情況。變式 已知函數f（x）=|x-1|-1|，若關于x的方程f（x）=t（tR）恰有四個互不相等的實數根的取值范圍是答案：（3，4）解析：根據題意，如下圖所示，=。例3 （14楊浦）定義一種新運算：。已知函數f（x）=（1+，若函數g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，則k的取值范圍是（ ）A.（1，2；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）答案：

6、B解析：，如下圖所示：令g（x）=f（x）-k=0，問題轉化為函數y=f（x）與函數y=k有兩個交點，則k（1，2）。評注：本題考查分段函數表達式求法，函數零點問題轉化成兩函數交點問題，數形結合很容易求解，可以作適當的延伸，比如，有一個零點，求k的取值范圍等。例4 （14寶山）關于函數f（x）=，給出下列四個命題：當x>0時，y=f（x）單調遞減且無最值；方程f（x）=kx+b（k0）一定有解；如果方程f（x）=k有解，則解的個數一定是偶數；y=f（x）是偶函數且有最小值。則其中真命題是答案：、解析：含絕對值、分類討論。先畫x>1和0<x<1的部分，然后根據偶函數的性質

7、（關于y軸對稱）畫出左半部分，函數圖像如下圖所示：明顯錯誤；k=0時，解的個數為1；、正確。評注：含絕對值的數形結合題型，根據絕對值內的情況，進行分類討論，畫出函數圖像，再結合函數性質，一般是對稱性或奇偶性，然后根據函數圖像對各項進行分析篩選。例5 （14奉賢）定義在上的函數f（x）滿足：當時，；f（3x）=3f（x）。設關于x的函數F（x）=f（x）-1的零點從小到大依次記為、，則答案：50解析：結合已知條件，分析函數性質，畫出函數圖像，如下圖所示，2+4+8+10+26=50評注：數學結合最直觀，或根據函數的對稱性，找到對稱關系，圖像就畫出來了，答案也就呼之欲出，這就是數形結合在直觀呈現方

8、面的快捷。2、與三角函數的綜合運用：例1 （14十三校聯考）已知f（x）=asin2x+bcos2x（a、b為常數），若對于任意答案：x=解析：根據“若對于任意”可知，當x=時，函數圖像取最低點，再結合函數解析式可知函數周期為，因為函數的最值橫坐標與相鄰零點之間相差個周期，即，所以在區間0，內的解（即在區間0，內的零點）為x=。評注：本題看似復雜，因為有字母a、b，但只要理解了“三角函數的最值橫坐標與相鄰零點急間相差個周期”這樣的圖像性質，結合圖像原理，就迎刃而解了。例2 （14閘北）設a>0且a1，已知函數f（x）=至少有5個零點，則a的取值范圍為答案：（0，1）（1，2）解析：就是求

9、函數上的交點個數，分兩種情況：（1）當0<a<1時，在兩個函數圖像有無數個交點，如下圖所示：所以0<a<1時，滿足至少有5個交點（2）當a>1時，如下圖所示，在要至少5個交點，在x=1處要大于0即2-a>0，a<2，滿足至少有5個交點。評注：這是一道典型的數形結合的題型，將零點問題轉化成函數交點個數問題，注意理解題意、審清題意及數與形之間的轉化。例3 （14虹口）函數f（x）=2sin與函數的圖像所有交點的橫坐標之和為答案：17解析：畫出函數f（x）=2sin與函數的圖像，如下圖所示：這倆圖像都是關于點（1，0）對稱，所以它們的交點也是關于點（1，0）

10、對稱，即一對對稱交點的橫坐標之和為2，總共有8對關于點（1，0）對稱的點，再加上（1，0）點本身，即所有交點的橫坐標之和為17。評注：本題首先要熟悉函數的圖像變換，精確畫出函數圖像，然后再研究交點的特性，在這道題中，交點關于點（1，0）對稱的，在這個前提下，求橫坐標之和就轉化成簡單的中點問題。例4 已知函數y=f（x），任取tR，定義集合：，設，記（1）若函數f（x）=x，則h（1）=（2）若函數f（x）=sin，則h（t）的最大值為答案：（1）2；（2）2解析：定義的意思是函數y=f（x）在以定點P（點P在函數圖像上）為圓心半徑為的圓內的部分，這部分函數圖像的值域即（1）定點P（1，1），如

11、下圖所示，藍色實線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0，所以h（1）=2（2）對于f（x）=sin，函數最大值與最小值之差2，如下圖所示，通過理解觀察，可得出能夠同時包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值為2，此時t=2k，k。評注：這是一道理解性的定義體型，理解題目的定義很重要，然后結合函數圖像分析就不難了。例5 （14閔行）對于函數f（x）=，有以下四個命題：任取恒成立；f（x）=2kf（x+2k）（k），對于一切x恒成立；函數y=f（x）-In（x-1）有3個零點；對任意x>0，不等式f（x）恒成立，則實數k的取值范圍是則其中所有命題的序號是答案：、解析：

12、根據下圖所示可知：選項是，選項反比例函數圖像至少要滿足點（）上，此時，評注：數形結合的思想，國家題意畫圖幫助理解，然后利用一些特殊點定位，圖像盡量做到精確，才能避免差錯3、與解析幾何的綜合運用：例1 （14閘北）設曲線C：，則曲線C所圍封閉圖形的面積為答案：解析：因為圖像關于x軸、y軸對稱，所以可以先畫第一象限的圖像，第一象限x>0，y>0，絕對值直接去掉，可得一段圓弧，然后關于x軸、y軸對稱翻折，如下圖所示，根據題目數據，可得，AB=2，可以先算第一象限的面積，由一個扇形與一個四邊形構成，然后再乘以4，全面積為。評注：方程圖像問題，含絕對值，所以根據象限分類討論，根據相關性質畫出

13、方程圖像，割補法求面積。變式 由曲線所圍成的封閉圖形的面積為答案：2+例2 （14金山）已知直線：4x-3y+6=0，拋物線C：圖像上的一個動點P到直線與y軸的距離之和的最小值是答案：1解析：結合題意，畫出直線與拋物線的草圖，找到點P到直線與y軸的距離之和，如下圖所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1用點到直線距離公式求出來等于2，所以答案為1。評注：注意圓錐曲線的相關定義，進行巧妙的轉化，如本題中用到了“拋物線上的點到焦點的距離等于這個點到準線的距離”這個性質，然后結合圖像進行轉化。例3 （14金山）已知有相同焦點的橢圓=0（）A.；B.答案：解析：法一：如下圖所示，由題意得：法

14、二：對于橢圓而言，焦點三角形的面積為，對于雙曲線而言焦點三角形面積，而這是同一個三角形，所以，所以。評注：熟悉圓錐曲線的定義非常重要，根據條件找到變量之間恒定的關系，做數學題時，很多時候要辯證思考，透過變化的表象，發現不變的內在聯系，動靜結合，有機分析，以靜制動，以不變應萬變。例（14金山）設雙曲線上動點到定點的距離三最小值是（）A.；B.；C.答案：解析：雙曲線方程兩邊同時除以，得到，即方程，即求點的距離，選評注：這是一類要考慮極限位置的極限體型，在高考中出現過類似的題目，一般找到了極限的位置，題目就很容易解的，很多同學不會因為沒有想到極限的位置，而像想把。例（14閔行）若曲線上存在兩個不同

15、點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A.；B.；C.；D.答案：解析：A、B、C、D選項圖像依次如下圖所示，根據題意，選評注：利用數形結合的方法，考查了含絕對值曲線方程的畫法，一般根據圖像的對稱性，或者分區間、分象限進行分類討論函數方程在各個象限的圖像，再結合題意解題。、與向量的運用：例（14徐匯）如下圖所示，已知點兩邊分別交于答案：解析：法一：，因為法二：取特殊值，。評注：作為填空題，本題的第一做法是法二，同時也要知道具體過程，注意向量一些常用知識點及一些轉化技巧。例（14閔行）設答案：解析：根據題意，的幾何意義為一個點到的距離加上這個點到的距離等于

16、，如下圖所示，即到點的距離加上到點的距離等于，而，所以這個點的軌跡為線段，而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉化成線段上的點到點（）的距離的取值范圍，最短距離是下圖中的長度，用點到直線的距離公式或等面積法可求得。評注：用代數的方法計算，因為有根號，過程很復雜，結合向量的模的幾何意義，轉化成圖形問題就簡明了，易于理解，教學過程中注意引導數形結合的使用。例3 （14徐匯）如下圖所示，在邊長為的正六邊形中，動圓的半徑為，圓心在線段答案：解析：如上圖所示，。評注：本題結合動態圖像考查了向量的分解，要求能夠理解題意，本題也可建系分析5、與其他知識點的綜合運用：例1 （14浦東）用有序三元組。如果集合的所有有序三元組中，最小相交的有序三元組的個數為答案：解析：設，如下圖所示，因為一個元素，將的元素排入，有種方法，由題意得，還剩下的一個元素，可排在種方法，由分步原理得。評注：本題要注意分步原理與分類原理的綜合運用，抽象出解題模型，從而使問題得到解決，當然也可以用列舉法，顯然中為含有列舉即可求解。對于新定義題型，要善于將陌生問題化為熟悉模型，注