1、學生學號：0607140726長春師范學院本科畢業論文（設計）（理工類）題目：淺談度量空間專業：數學與應用數學作 者 姓名：吳丹指導教師姓名：趙虹指導教師職稱：副教授2010年5月長春師范學院本科畢業論文（設計）作者承諾保證書本人鄭重承諾：本篇畢業論文（設計）的內容真實、可靠。如果存在弄虛作假、抄襲的情況，本人愿承擔全部責任。論文作者簽名：日期：年月 日長春師范學院本科畢業論文（設計）指導教師承諾保證書本人鄭重承諾：我已按有關規定對本篇畢業論文（設計）的選題與內容進行指導和審核，堅持一人一題制，確認由作者獨立完成。如果存在學風問題，本人愿意承擔指導教師的相關責任。指導教師簽名：日期： 年 月

2、日目 錄承諾保證書I1度量空間的定義12 度量空間的一些例子23 度量空間的一些簡單性質54 度量空間的緊致性與完備性84.1 度量空間的緊致性9度量空間的完備性10參考文獻13英文摘要14淺 談 度 量 空 間吳丹摘要：度量空間是一類特殊的拓撲空間，并且它是理解拓撲空間的一個重要過程.因此，本文通過度量空間的基本概念，力圖給出度量空間的一些重要性質.并且引入一些度量空間的其它性質.關鍵詞: 度量空間 導集 閉集 度量空間是現代數學中一種基本的、重要的、最接近于歐幾里得空間的抽象空間.19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎.20世紀初期,法國數學家M.-

3、R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來,都涉及函數間的距離關系,從而抽象出度量空間的概念.1 度量空間的定義度量空間是一類特殊的拓撲空間，它對于拓撲空間的理解起著非常重要的作用.因此，研究度量空間的一些性質是必要的.為了證明這些性質，首先介紹以下定義.定義1.1設是一個集合，若對于中任意兩個元素都有唯一確定的實數與之對應，而且這一對應關系滿足下列條件：(1)正定性,并且當且僅當；(2)對稱性；(3)三角不等式.則稱是集合的一個度量，同時將稱為度量空間或距離空間.中的元素稱為點，條件（3）稱為三點不等式.定義1.2 設是一個度量空間，.對于任意給定的實數,集合，記作,稱為一個以為中心，

4、以為半徑的球形鄰域，簡稱為的一個球形鄰域.2度量空間的一些例子例離散的度量空間 設是任意的非空集合，對中的任意兩點，令容易驗證為離散的度量空間.由此可見，在任何非空集合上總可以定義距離.使它成為度量空間.例序列空間S令S表示實數列（或復數列）的全體，對S中任意兩點及，令，易知滿足距離條件的充要條件為. (2.1)下驗證滿足距離條件對任意都成立. (2.2)為此我們首先證明對任意兩個復數和，成立不等式事實上，考察上的函數由于在上，.所以在上單調增加，由不等式，我們得到.令，則，代入上面不等式，得.由此立即可知滿足距離條件(2.2)，即S按或一度量空. 間.例有界函數空間設是一給定的集合，令表示上

5、的有界實值（或復值）函數全體，對中任意兩點，定義.下面驗證滿足條件(2.1)和(2.2).等價于對一切，成立，所以，即滿足(2.1)，此外，對所有的成立.所以.即滿足條件(2.2).特別地，當時，記為.例2.4 可測函數空間設為上的實值（或復值）的可測函數全體,m為 測度，若 ，對任意兩個可測函數 及，由于所以這是上的可積函數，令如果把中的兩個幾乎處處相等的函數視為中的同一個元，那么利用不等式及積分性質很容易驗證是距離.因此按上述距離成為度量間.例空間令表示閉區間上的實值（或復值）連續函數全體，對中任意兩點定義容易驗證它滿足距離條件(2.1)和(2.2).例 記.設定義.則是的距離。距離條件(

6、2.1)是容易得出的，現檢驗條件(2.2). 對任何正整數n，和 都中的元素，由不等式再令右端 ，即得再令左端的，即得由此可得令取以 代入上式，即可得的三點不等式由上述例子可見，度量空間除了有限維的歐幾里德空間 之外，還包括其他的空間.3度量空間的一些簡單性質定理3.1 設是一個度量空間，則拓撲空間是一個離散空間當且僅當p是一個離散的度量.證 充分性若是一個離散的度量，則對于任意的，存在實數，使得對于任意的, ,有.于是的球形鄰域,所以，的任意性以及開集的性質，故為離散空間.必要性若為離散空間，則對于任意的,單點集為開集，于是存在的球形鄰域 ,令，則對于任意的并且,有.所以,為離散的度量.定理

7、度量空間的每一個子集的導集都是閉集.證設為一個度量空間，是的導集為閉集，只需證.如果,顯然.如果,由于,所以對于任意,有或.若，則對于的任意一個球形鄰域,有.于是，對于任意的,則，取則,并且又由于,所以，因此.綜上，對于任意,有.所以，.定理3.3 度量空間中的每一個單點集都是閉集.證為一個度量空間，,對于任意,令，于是,并且,所以,于是=,因此，單點集的任意性，度量空間中的每一個單點集都是閉集.定理3.4 是一個度量空間，如果有一個基只含有有限個元素，則必為只含有有限多個點的離散空間.證假設是一個度量空間，由定理3.1可知，中的每一個單點集都是閉集，于是，對于任意，集合-都是開集.因此，拓撲

8、空間有一個基只含有有限個元素，它們中的任意多個元素之并只能組成有限個開集，所以中的開集只有有限個，這與上述矛盾！因此假設錯誤，只能是有限集.最后，由于含有有限多個點的度量空間都是離散的度量空間，故由定理1可知，是一個離散空間.定理度量空間中的任何一個收斂序列都只有惟一的極限.證設是一個度量空間，是至少有兩個極限和.由于,則.設=,于是對于的球形鄰域,存在,使得當時，有;對于的球形鄰域,存在,使得當時，有.則一方面.（3.1）另一方面，令,于是當時，有，這與（3.1）式矛盾！所以假設錯誤.因此，度量空間只有一個極限.定理3.6 設是一個度量空間，,有一個序列在中并且收斂于當且當是集合的一個凝聚點

9、.證必要性設序列在中并且斂于.如果是的一個鄰域，則存在使,因此,從而.所以是的一個凝聚點.充分性如果是的一個凝聚點，則對于任意一個球形鄰域有,于是對于任給的正實數有,其中.并且.所以對于每一個,任取,則序列中并且收斂于.4度量空間的緊致性和完備性4.1度量空間的緊致性定義設是度量空間中的一個非空子集.集合的直徑定義為=定義設是一個度量空間，A是的一個開覆蓋.實數成為開覆蓋A的一個數，如果對于中的任何一個子集，只要，則包含于開覆蓋A的某一個元素之中.數不一定存在。例如考慮實數空間的開覆蓋則任何一個實數都不是它的數.定理(數定理)序列緊致的度量空間的每一個開覆蓋有一個數. 證設是一個序列緊致的度量

10、空間，A是的一個開覆蓋.假若開覆蓋A沒有數，則對于任何，實數不是A的數，所以有一個子集使得并且不包含于A的任何元素之中.在每一個之中任意選取一個點，由于是一個序列緊致空間，所以序列有一個收斂的子序列設這個子序列收斂于.由于A是的一個開覆蓋，故存在A使得，并且存在實數使得球形鄰域.由于序列收斂于，所以存在整數使得當時.令k為任意一個整數，使得,則對于任何有這證明A與的選取矛盾. 定理每一個序列緊致列緊致的度量空間都是緊致空間.證 設是一個序列緊致的度量空間,A是的一個開覆蓋.根據數定理，的開覆蓋A有一個數，設為. 令B=，它是的開覆蓋，我們先來證明B有一個有限覆蓋假設B沒有有限覆蓋，任意選取一點

11、，對于,假定點,，已經取定，由于不是的覆蓋，選取使得，按照歸納原則，序列，已經取定，易見對于任意,，有，序列,，沒有任何收斂的子序列，（因為任何的球形鄰域中最多只能包含這個序列中的一個點.）這與是序列緊致空間相矛盾.現在設是開覆蓋B的一個有限子覆蓋.由于其中每一個元素的直徑都小于，所以對于每一個=1，2,n 存在A似的.于是， 是A的一個子覆蓋.定理設是一個度量空間，則下列條件等價（1） 是一個緊致空間；（2） 是一個列緊空間；（3） 是一個序列緊致空間；（4） 是一個可數緊致空間.4.2度量空間的完備性定理設是緊致的當且僅當是一個完全有界的完備度量空間.證 設度量空間，由球形鄰域構成的集族是

12、的開覆蓋，它有一個有限子覆蓋，設為.易見有限集合是的一個是完全有界的.為證明是完備的，設序列是中的一個序列.由于緊致的度量空間是序列緊致的，所以序列有一個收斂的子序列，設這個子序列收斂于這時序列也必收斂于.這證明中的每一個序列都收斂. 另一方面，設是一個完備度量空間，這又只要證明中的每一個序列有一個子序列是序列.設是定義一個序列如下：首先，令.其次對于，假定是的一個網，因此球形鄰域構成的集族覆蓋.由于可以再從某一個（其中）中選取的一個子序列.根據定義立即可見，對與每一個序列是序列的一個子序列，并且對于任何有.于是序列的子序列串的“對角線”序列是序列的一個子序列，由于對于任意，有，所以是一個序列

13、.定理4.2.2（Baire）設是中的可數個稠密的開集,則是中的一個稠密子集.證設是是中的一個稠密子集，只要證明對于中的任何一個非空開集有.設是，定義一個球形鄰域如下：任意選取和于是有對于，假設是一個稠密的開集，所以和使得.根據以上做法，我們有：對于任何,(1);(2);(3) 根據定理4.2.1，由于(1)和(2)，可見由于(3)，所以.參考文獻：1熊金城.點集拓撲講義M.北京：高等教育出版社，2003.2尤承業.基礎拓撲學講義M.北京：北京大學出版社，1997.3方嘉琳.點集拓撲學M.沈陽：遼寧人民出版社，1983.4程其襄等.實變函數與泛函分析基礎M .北京：高等教育出版社，2003.5張恭慶.泛函分析講義M.北京:北京大學出版社,1990.6梁方豪.實變函數講義M.濟南:山東大學出版社,1990.7劉培德.泛函分析基礎M .武漢:武漢大學出版社,2001.8蔣繼光.一般拓撲學專題選講M.四川教育出版社，1990年3月第1版.9高國士.拓撲空間論M.科學出版社，2000年7月第1版.On the metric spaceWU danAbstract：Metric space is a specific topological spaceand it is an important process to understand topologi