1、11-1 試說明試說明:(1)場強大的地方電勢是否一定高場強大的地方電勢是否一定高?電勢高的地方場強電勢高的地方場強是否一定大是否一定大? ? (2) )場強為零的地方電勢是否一定為零場強為零的地方電勢是否一定為零?電勢為零的電勢為零的地方場強是否一定為零地方場強是否一定為零第一章第一章 真空中的靜電場真空中的靜電場第三部分第三部分 電電 磁磁 學學解解:(1)電場強度大電場強度大;說明電勢沿其等勢面法線方向的電勢變化率大說明電勢沿其等勢面法線方向的電勢變化率大, 故不一定此處電勢就高故不一定此處電勢就高.若電勢高若電勢高,但它對空間變化率不大但它對空間變化率不大,場強場強不不大大; ; .(

2、2)場強為零場強為零,說明對電勢空間變化率為零說明對電勢空間變化率為零.電勢為零的地方電勢為零的地方,它的臨近處電勢不為零它的臨近處電勢不為零,說明電勢變化率不為零說明電勢變化率不為零,即場強不為零即場強不為零.解解:場強場強的的方向總是由方向總是由電勢高電勢高指向電指向電勢勢低方向低方向.(1)放在放在B點的靜止點的靜止正電荷向正電荷向C方向運動方向運動.(2)放在放在B點的靜止負電荷向點的靜止負電荷向A方向運動方向運動補充補充1.11.1 A A、B B、C C是在同一直線依次排列的三點且是在同一直線依次排列的三點且 A A B B C C(1)(1)若將一正電荷放在若將一正電荷放在B B

3、點點, ,在電場力的作用下此電荷向何處運動在電場力的作用下此電荷向何處運動? ? (2)(2)若將一負電荷放在若將一負電荷放在B B點點, ,情況又如情況又如一何何? ?補充補充1.21.2 已知某區域內已知某區域內, ,電勢沿電勢沿x x方向變化曲線如圖所示方向變化曲線如圖所示, ,請畫出請畫出電場強度沿該方向的變化曲線電場強度沿該方向的變化曲線. .2x(cm)V033962812解解: : 4x, 0 x2 v= 8 , 2x8 64/3-4x/3, 8x14 -4 0 x2E= = 0 2x8 4/3 8x14d dx xd dv v- -0-428214E(V/cm)x(cm)1-2

4、 1-2 兩個同號點電荷兩個同號點電荷, ,電量之和為電量之和為Q,Q,問他們的電量各為多少時問他們的電量各為多少時, ,他們之間的作用力最大他們之間的作用力最大? ?解解: 設一個設一個點電荷為點電荷為q,q,另一個另一個點電荷為點電荷為Q-q.Q-q.,r4)qQ(qf20 0r4q2Qdqdf20 得得q=Q/2時時,20220r16Qr42Q2Qf 為最大為最大.3與電荷與電荷2 2q q對其點作用力對其點作用力20r4qQf 即：即：ff 整理后為：整理后為：0LLr2r22 解得解得 L 21r , L 12r21 不合題意，舍去。故電荷不合題意，舍去。故電荷Q Q應距電荷應距電荷

5、q q2r L 12 解解: :半圓所帶電量為：半圓所帶電量為：R2 dsinRRdsinq000L0 0R4dcosRsinE20200 x 在圓心處的場強：在圓心處的場強：1-4 1-4 半徑為半徑為R R的帶電圓環，其單位長度電量的分布為，的帶電圓環，其單位長度電量的分布為， 求求(1) (1) x x 軸上方半圓所帶電量軸上方半圓所帶電量 (2) (2)在圓環圓心處的電場強度？在圓環圓心處的電場強度？ sin0 R L RdxyEdR4R4R4dsinRsinE000020200y 1-3 1-3 兩點電荷點電量分別為兩點電荷點電量分別為2 2q q和和q q，相距相距l l，將第三個

6、電荷放在將第三個電荷放在何處時，它所受的合力為零？何處時，它所受的合力為零？解：設第三個電荷解：設第三個電荷Q Q距電荷距電荷q q的距離為的距離為r r。r rL Lr rq q2 2q qQ Q此時電荷此時電荷Q Q受合力為零，受合力為零，q q對其的作用力對其的作用力 20rL4qQ2f 4補充補充1.31.3 一均勻帶電圓柱面一均勻帶電圓柱面, ,電荷面密度為電荷面密度為 , ,柱面高度為柱面高度為h,h,半半徑為徑為R,R,求柱面上端面的中心求柱面上端面的中心P P點的電場強度點的電場強度? ?hRP解解:在在z與與z+dz之間取一小圓環之間取一小圓環,帶電量帶電量: Rdz2dq)

7、zRR1 (2|)z(24R)z(2zdzRE220h022h002202123 2323)zR(2zdz R)zR(zdq41dE220220 1-5 1-5 半徑為半徑為R,R,面電荷密度為面電荷密度為 的均勻帶電上半球面的球心處場強的均勻帶電上半球面的球心處場強x xo oz zR Rz zZ+dzZ+dzr rd d 解解: :兩平面兩平面z,z+dzz,z+dz所夾的球面看作半徑為所夾的球面看作半徑為r r的的小園環小園環, ,面積面積ds=2ds=2 r.dl= r.dl= 2 2 RsinRsin .Rd.Rd , ,帶電帶電量量dq=dq= .ds,.ds,此園環在球心此園環在

8、球心o o處的場強為處的場強為: :0302/32202dcossinR4ds.cosR)rz (4zdqdE 故球心故球心o o處總場強為處總場強為: :02/0042dcossindEE 51-6 1-6 均勻帶電的無限長細線均勻帶電的無限長細線, ,彎成如圖所示的形狀彎成如圖所示的形狀, ,若點電荷的線若點電荷的線密度為密度為,半圓處半徑為半圓處半徑為R,R,求求o o點處的電場強度點處的電場強度. .oR解解:o電場強是由三部分電荷產生的電場強是由三部分電荷產生的: (1)半圓環場強半圓環場強:0E ,R2dsinR2dE2E,dsinR4sindEdE ,R4dR4dqdEy0000

9、 xx0 x02022 (2)兩半直線在兩半直線在o點的場強點的場強:,)xR(4dyR)xR(R)xR(4dycosdEdE,)xR(4dxdE ,dxdq232122022220 x220 R2)xR(4dyR2E00220 x23 o點場強點場強:0R2R2E00 61-7 1-7 某一區域電場沿某一區域電場沿x x軸正方向軸正方向, ,場強場強 伏伏/ /米米. .求求:(1):(1)通過圖示邊長為通過圖示邊長為a a的正方體表面的電通量的正方體表面的電通量;(2);(2)正方體內的正電量正方體內的正電量有多少？（設有多少？（設a a1010厘米）厘米）X800Ex SzzSyySxx

10、SdsEdsEdsEsdE由于由于 0SqsdE故故 C1029. 9q120 解：由電通量的定義解：由電通量的定義 因為因為E Ey y、E Ez z為零，為零，2x21x1SxsEsEdsE mV05. 1aa2800a80022/12/1 故故y yo oz zx xa a補充補充1.4 1.4 求在點電荷求在點電荷q q的電場中的電場中, ,通過半徑為通過半徑為R R的圓形平面的電通的圓形平面的電通量量, ,設設q q位于該平面軸線上離圓心位于該平面軸線上離圓心O O為為 h h 處處. .解解:rr+dr之間圓環之間圓環,ds=2rdr 21212323)rh(h12q)rh(2qh

11、)rh(2qhrdr,)rh(2qhrdrcosrdr2)rh(4qsdEd220R0220R0220e220220e71-8 1-8 兩同心球面兩同心球面, ,半徑分別為半徑分別為0.100.10米和米和0.300.30米米, ,內球面上帶有內球面上帶有q q1 1=1.0=1.01010-8-8庫侖的電量庫侖的電量, ,外球面上帶有外球面上帶有q q2 2=1.5=1.51010-8-8庫侖的電量庫侖的電量, ,求離球心為求離球心為0.050.05米、米、0.200.20米、米、0.500.50米各處的電場強度米各處的電場強度. .解解:由高斯定理求得的由高斯定理求得的E分布分布:)m/V

12、(109r4qq E)m/V(1025. 2r4q E 0E2202150. 0r320120. 0r05. 0r50. 0r20. 0r 0 0. .3 30 0r r 4 4q q0 0. .3 30 0r r0 0. .1 10 0 4 4q q0 0. .1 10 0r r0 0 0 0 0 01 10 01 1222rqrE8補充補充1-5 中性氫原子處于基態時中性氫原子處于基態時,其電荷按密度其電荷按密度0a/r2ce)r ( 分布在點電荷分布在點電荷+ +e(e(原子核原子核) )的周圍的周圍, ,這里這里a a0 0=0.529=0.5291010-10-10米米, ,是玻爾是

13、玻爾半徑半徑, ,c c為一常數為一常數, ,旗幟可以有負電種植旗幟可以有負電種植- -e e定出定出. .試計算試計算:(1):(1)半徑為半徑為a a0 0的球內的靜電荷的球內的靜電荷.(2).(2)離核距離為離核距離為a a0 0處的電場強度處的電場強度. .解解: (1) ra0的靜電荷的靜電荷:)C(1008. 114. 0e5ee5 drreae4edrr4)r (eq19,2,2a030,2a0,00ar20 30,302020,aec acdrrec4drr4)r (e0ar2 (2)由高斯定理求得由高斯定理求得:)m/V(1047. 3)10529. 0(1012. 1100

14、 . 9uq41E11210199200 91-9 1-9 一層厚度為一層厚度為0.50.5厘米的無限大平板厘米的無限大平板, ,均勻帶電均勻帶電, ,電荷體密度為電荷體密度為1.01.01010-4-4庫侖庫侖/ /米米3,3,求求: : (1) (1)薄板中央的電場強度薄板中央的電場強度; ; (2) (2)薄板與表面相距薄板與表面相距0.10.1厘米處的電場強度厘米處的電場強度; ; (3) (3)薄板內外的電場強度薄板內外的電場強度; ;解解:在板內作一對稱高斯面在板內作一對稱高斯面,由高斯定理求得由高斯定理求得: xE sx2SE200 (1)板中央板中央x=0處處, E=0; (2

15、)x=0.15cm, E=1.69104(V/m); (3)板外板外, (v/m)102.83 2dE sdSE2400 xxo101-10 1-10 兩個無限長的共軸圓柱面，半徑分別為兩個無限長的共軸圓柱面，半徑分別為R R1 1和和R R2 2，面上都均面上都均勻帶電，沿軸線單位長度的電量分別為勻帶電，沿軸線單位長度的電量分別為求：求：和和,21 (1)(1)場強分布；場強分布；(2)(2)若若 , ,情況如何？畫出情況如何？畫出E Er r曲線。曲線。21 解：由圓柱面的對稱性，解：由圓柱面的對稱性，E E的方向為垂直柱面，的方向為垂直柱面，故作一共軸圓柱面為高斯面，由高斯定律得：故作一

16、共軸圓柱面為高斯面，由高斯定律得：當當rRrR1 1, ,0E,0rL2E101 當當R R1 1rRrRrR2 2， r2E,LrL2E02130213 r rR R1 1R R2 2高斯面軸線E（r）oR1R2r若若21 , ,E1E1和和E2E2不變，即不變，即 而而 0r2E0213 r2E012 0E1 11補充補充1.6 1.6 內外半徑分別為內外半徑分別為R R1 1和和R R2 2的無限空心直圓柱體均勻帶電的無限空心直圓柱體均勻帶電, ,電荷體密度為電荷體密度為.求空間任一點的電場求空間任一點的電場, ,并做并做E Er r圖圖. .解解:r2)RR(E )RR(LrL2E R

17、r r2)Rr (E )Rr (LLrdr2rL2E RrR0E 0rL2E Rr0 021220212220220220r 1R2101 E(r)0R1R2r121-11 1-11 一帶電厚球殼，其內外半徑分別為一帶電厚球殼，其內外半徑分別為R R1 1和和R R2 2，電荷體密度電荷體密度 = =A/rA/r ，A A為已知恒量，求其場強分布。為已知恒量，求其場強分布。R R1 1R R2 2解：作一半徑為解：作一半徑為r r的同心球面為高斯面。的同心球面為高斯面。當當rRrR1 10E , 0r4E2 當當R R1 1rRrRrR2 2 202122RR02002r2RRAE ddrds

18、inrA1r4E21 13補充補充1.71.7 假定一個半徑為假定一個半徑為R R的球內均勻分布著正電荷的球內均勻分布著正電荷, ,電荷體密度電荷體密度,試用高斯定理證明試用高斯定理證明, ,離球心離球心r(r=Rr(r=R處的一個正電荷處的一個正電荷q q所受斥力所受斥力為為03/qrF .解解:由高斯定理求得由高斯定理求得:00030r02023r qqEF3rE 3r4drr4dvr4E 1-12 1-12 將將q=1.7q=1.71010-8-8庫侖的點電荷從電場中的庫侖的點電荷從電場中的A A點移到點移到B B點點, ,外力需外力需做功做功5.05.01010-8-8焦耳焦耳, ,問

19、問A,BA,B倆點間的電勢差是多少倆點間的電勢差是多少? ?哪點電勢高哪點電勢高? ?若若設設B B點的電勢為零點的電勢為零, ,A A點的電勢為多大點的電勢為多大? ?解解:(1) AAB=q(VA-VB), WAB=- AAB=+5.010-8 即即q(VA-VB)=- 5.010-8 VA-VB=-2.94(V) B點電勢高點電勢高 (2) V13=0 VA=-2.94- VB=-2.94(V)141-13 1-13 點電荷點電荷q q1 1、q q2 2、q q3 3、q q4 4 各為各為4 4x10 x10-9-9 庫侖，置于正方形的四庫侖，置于正方形的四個頂點上個頂點上, ,各點

20、距正方形中心各點距正方形中心O O點均點均5 5厘米。厘米。(1)(1)計算計算O O點的場強和電勢點的場強和電勢:(2):(2)將將q q0 0=10=10-9-9 庫侖的試探電荷從無限庫侖的試探電荷從無限遠處移到遠處移到O O點點, ,電場力作功多少？電場力作功多少？(3)(3)電勢能的改變為多少電勢能的改變為多少? ?q qq qq qq qo o解：由于解：由于q q對于對于o o點對稱，點對稱，0Eo V1088. 2r4q4v30o 電勢為電勢為電場強度電場強度電場力作功為電場力作功為 J1088. 2vqldEqA60000e 電勢能的改變為電勢能的改變為J1088. 2AW6e

21、 1-14 1-14 兩個點電荷兩個點電荷, ,電量分別為電量分別為+4+4q q和和- -q,q,相距為相距為l,l,求電場中電勢為求電場中電勢為零的點的位置零的點的位置, ,該點的電場強度是多少該點的電場強度是多少? ?解解: :2020251025405100L8q7523L4q25)L(4q)LL(4q4E) 2(Lx 0 x1)xL(4 0 x4q)xL(4q4) 1 ( 15補充補充1.81.8 題設條件和題題設條件和題1-121-12相同相同, ,求各點電勢求各點電勢? ?解解:)V(450r4qq V )V(900R4qr4q V 1350(V) R4q R4qV02150. 0r2020120. 0r20210105. 0r 1-15 1-15 電荷電荷q q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R R的球體內的球體內, ,求球內的電勢。求球內的電勢。 3022RrR2030rR8rR3qdrr3Rdr3rEdrV 解：作一半徑為解：作一半徑為r0r0同心球面為高斯面。且同心球面為高斯面。且當當00r r0 0RRR0320R34r4E 故故2003r3RE r r處的電勢為處的電勢為3r34q 161-16 1-16 有兩個半徑為有兩個半徑為R R的球體的球體,