1、第四章習(xí)題解答1如題圖所小為一長方形截面的導(dǎo)體榴槽可視為無限匕其上有一塊與槽相泡緣的蓋板，槽的電位為瑜上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意,電位滿足的邊界條件為；心根據(jù)條件和Z電位的通解應(yīng)取為由條件有兩邊同乘以，并從。到對積分,得到S.、.4.*故得到槽內(nèi)的電位分布兩平行無限大導(dǎo)體平面,:距離為，：其間有極薄的導(dǎo)體片由到。位，求板間電位的解：設(shè)在薄片平面上，從到，電位線性變化,解應(yīng)用疊加原，上板和薄片保持電位,下板保持零電>>>理，設(shè)板間的電位為1其中、為不存在薄片的.即:是兩個電位為零的題圖界條件為：一：根據(jù)條件和可設(shè)的通解為；由兩邊同乘以,并從。到對積分,得到小

2、b題圖平行無限大導(dǎo)體平面間K電壓為）的電位，平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的電位，其邊條件有(1)故得到如題圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，,其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 麟根據(jù)條件和 /由薪能< 趣呻昭黃【】一蟒素.題圖，電位的通解應(yīng)取為從。到對積分得到高分別為、:故得到的長方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為的電荷6,求體積內(nèi)的電位即內(nèi)，電位滿足泊松方程長方體表面上/電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為，代入泊松方程（I）.可得由此可得或：，由式12），:得;故（如題圖所承的一對無限大接地平行導(dǎo)體板,板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)

3、-解由于衽處有一與躺平砸跳電福裝為野將朝里網(wǎng)狎潮晡個廛那典掾西奉區(qū)域中殿電位和都滿足我蟀斯普良而有的分>W±i可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度“4J*Evr"0<BC.1電位的邊界條件為設(shè)電位函數(shù)的通解為國¥由條件和,.可5B.H.T'QT'由條件有題圖如題圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零,槽中有一與槽平行的線電簡。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解由于在處有一與釉平行的線電荷，,以為界相場空間分割為和兩個區(qū)域，.則這兩個區(qū)域中的電位和都滿(7足拉普拉斯方程。而在的分界面上,電位的邊界條件為由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為題圖（1）由條件,有（2）A9由

4、式（1）,可得蔣式（21需邊同乘以,并從到對積分、有C4）X*由式（3>和14）解得故r若以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域，,則可類似地得到."*D.C7，lr解在外電場作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷a柱外的電位是外電場的電位與感應(yīng)電荷的電位的尊加。由于導(dǎo)體圓柱為無限長,所以電位與變量無關(guān)。*如題圖所示a在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度°-*L在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場的電位為（常數(shù)的值ih參考點確定）為0由于導(dǎo)體是等位體,所以滿足的邊界條件為.而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與TW變化而且在無限遠處由此可設(shè)由

5、條件,有于是得到,故柱外的電位為若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點，即，則°導(dǎo)體圓柱外的電場則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為如題圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為,在跑離軸線處：，有一與圓柱平行的線電荷計算空間各部分的電位.解在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為題圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為為有限值；時由條件和可知!:和的通解為符式C1"一C3J帶入條件，可得到當(dāng)時，將展開為級數(shù)，有(5)(6)帶入式15）,得i由此解得故得到圓柱內(nèi)，

6、外的電位分別為rji<e曠討論:利用式6)可將式(8)和(9)中得第二項分別寫成為其中。因此可.將和分別寫成為由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于(位于W的線電荷，位于的線電荷;位于的線電荷。*在均勻外電場中放入半徑為的導(dǎo)體球建設(shè)0)的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生它們分別為:1)導(dǎo)體充電至：；誦導(dǎo)體上充有電荷-試分別計算兩種情況下球外的電位分布.解(1S這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理解為未加外電場時導(dǎo)體球相對于無限遠處的電位為F此時導(dǎo)體球面上的電荷密度，總電荷歹將導(dǎo)體球99、999、，7«，b97,放入均勻外電場中后，在的作用下，產(chǎn)生感及電荷，使球面上的電荷

7、密度發(fā)生變化,但總電荷仍保持不變,導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè)，其中#是均勻外電場的電位.是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位電位滿足的邊界條件為其中為常數(shù)，若適當(dāng)選擇的參考點,可使"由條件，可設(shè)代入條件，可得到，勤若使可弭期(2)導(dǎo)體上充電荷時，令,有利用(1)的結(jié)果，得到如題圖所示,無限大的介質(zhì)中外加均勻電場,在介質(zhì)中有一個半徑為的球形空感求空腔內(nèi)、夕卜的電場和空腔表面的極化電荷密度f介質(zhì)的介電常數(shù)為。解在電場的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的費加.設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為訓(xùn)，；才，為有限值;由條件和1可設(shè)>：題圖帶入條

8、件，有由此解得,所以空腔內(nèi),外的電場為空腔表面的極化電荷面密度為一個半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強度.(12證明,璞內(nèi)斷電場是埴句的，等于:鈕證明，球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同.:。荷所產(chǎn)生的場。山于解(13當(dāng)介質(zhì)極化后一在介質(zhì)中會形成極化電荷分布本題中所求的電場即為極化也是均勻極化？.介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的程可用分離變量法求解。建立如題圖所小的坐標(biāo)系.則介偵球面上的極化電荷間密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為為有限值;金因此，可設(shè)球內(nèi)*外電位的通解為V由條件導(dǎo)有，解得于是得到球內(nèi)的電粒.故球內(nèi)的電場為£2)介質(zhì)球外的電位溝,；其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可忠介族球井的電場與一個檢壬球心蒯極子產(chǎn)生的電場相同°一個半徑為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與平面重合，中心在原點上j環(huán)上總電荷量為s如題圖所示.證明：空間任意點電位為解腳發(fā)的所在曲球面把場區(qū)分為兩楙分，分別由曲兩個場域曲逋懈向I用雷藜符細(xì)導(dǎo)線圓琨I馳畿典禳表示威殯面上的電荷窗密度再根據(jù)邊界條件確定設(shè)球面內(nèi)、外的電為有，根據(jù)條件和，可得桎入條件，有系數(shù)。位分別為和,蛔邊界條件為:限值；和的通鼾為(4)將式(4兩端同其中由式(3)和(5)，解得乘以，并從。到對進行積分，得，代入式Cl1和C2)即得到1如題圖所示