1、常州市2013屆高三教學期末調研測試數學試題注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1. 本試卷共4頁，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）本卷滿分160分，考試時間120分鐘考試結束后，請將答題卡交回2. 答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3. 請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、

2、修正液、可擦洗的圓珠筆 20131參考公式： 樣本數據， ，的方差，其中=一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1 設集合，若，則實數的值為 2 已知復數（為虛數單位），計算：= 3 已知雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率的值為 4 根據右圖所示的算法，可知輸出的結果為 5 已知某拍賣行組織拍賣的10幅名畫中，有2幅是膺品某人在這次拍賣中隨機買入了一幅畫，則此人買入的這幅畫是膺品的事件的概率為 6 函數的最小正周期為 7 函數的值域為 8 已知點和點在曲線C：為常數上，若曲線在點和點處的切線互相平行，則 9 已知向量，滿足，則向量，的夾角的

3、大小為 10 給出下列命題：（1）若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；（2）若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；（3）若兩條平行直線中的一條垂直于直線m，那么另一條直線也與直線m垂直；（4）若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中，所有真命題的序號為 11 已知函數f(x)，若關于x的方程f(x)kx有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是 12 已知數列滿足，則= 13 在平面直角坐標系中，圓：分別交軸正半軸及軸負半軸于，兩點，點為圓上任意一點，則的最大值為 14已知實數同時滿足，則的取值范圍是 二、解答

4、題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知均為銳角，且， （1）求的值； （2）求的值16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ADAB，CDAB， ，直線PA與底面ABCD所成角為60°，點M、N分別是PA，PB的中點（1）求證：MN平面PCD；（2）求證：四邊形MNCD是直角梯形；（3）求證：平面PCB 17（本小題滿分14分）FEbaBDCA第八屆中國花博會將于2013年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，a，b為常數且滿足.組委會決定

5、從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊建游客休息區（點E，F分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為（），如圖設，的面積為（1）求關于的函數關系式；（2）試確定點E的位置，使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值18（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知分別是橢圓E:的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且. （1）求橢圓E的離心率；（2）已知點為線段的中點，M 為橢圓上的動點（異于點、），連接并延長交橢圓于點，連接、并分別延長交橢圓于點、，連接，設直線、的斜率存在且分別為、，試問是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19（本

6、小題滿分16分） 已知數列是等差數列，數列是等比數列， （1）若求數列和的通項公式；（2）若是正整數且成等比數列，求的最大值20（本小題滿分16分）已知函數.（1）若a=1，求函數在區間的最大值;（2）求函數的單調區間；（3）若恒成立，求的取值范圍2013屆高三教學期末調研測試 數學（附加題） 注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1. 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有A、B、C、D 4個小題供選做，每位考生在4個選做題中選答2題若考生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時間30分鐘考試結束后，請將

7、答題卡交回.2. 答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3. 請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5. 請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 2013121【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，是的直徑，是上的兩點，

8、過點作的切線FD交的延長線于點連結交OAEBDFC于點. 求證：.B選修42：矩陣與變換 已知矩陣，若矩陣屬于特征值6的一個特征向量為，屬于特征值1的一個特征向量為求矩陣的逆矩陣C選修44：坐標系與參數方程 已知曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，判斷兩曲線的位置關系D選修45：不等式選講設，求證：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22 (本小題滿分10分)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個，從中任取2個都是白球的概率為現甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1個球，取出的球不放回，

9、直到其中有一人取到白球時終止用X表示取球終止時取球的總次數（1）求袋中原有白球的個數；（2）求隨機變量X的概率分布及數學期望23(本小題滿分10分)空間內有個平面，設這個平面最多將空間分成個部分. （1）求 ；（2）寫出關于的表達式并用數學歸納法證明.2013屆高三教學期末調研測試數學試題參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分10 2 3. 4. 5 62 7 8 9 10、 11 12 13 14 二、解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15解：（1），從而 又， 4分 6分（2）由（1）可得，為銳角， 10分 12分= 14分16證

10、明：（1）因為點M，N分別是PA，PB的中點，所以MNAB2分因為CDAB，所以MNCD又CD 平面PCD， MN 平面PCD，所以MN平面PCD. 4分（2）因為ADAB，CDAB，所以CDAD，又因為PD底面ABCD，平面ABCD，所以CDPD，又，所以CD平面PAD6分因為平面PAD，所以CDMD，所以四邊形MNCD是直角梯形8分（3）因為PD底面ABCD，所以PAD就是直線PA與底面ABCD所成的角，從而PAD= 9分 在中， 在直角梯形MNCD中， 從而，所以DNCN 11分在中，PD= DB=， N是PB的中點，則DNPB13分又因為，所以平面PCB 14分17解：（1）設，則，整

11、理，得3分 ， 4分（2）當時，在遞增，故當時，；當時，在上，遞增，在上，遞減，故當時，.18解：（1），.，化簡得，故橢圓E的離心率為.（2）存在滿足條件的常數，.點為線段的中點，從而，左焦點，橢圓E的方程為.設，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，.，.從而，故點.同理，點.三點、共線，從而.從而.故，從而存在滿足條件的常數，.19解：（1）由題得，所以，從而等差數列的公差，所以，從而，所以 3分（2）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，則，.因為成等比數列，所以設，則，整理得，.解得（舍去負根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，當且僅當且時，及取最大值.從而最大的， 所以

12、，最大的 16分20解：（1）若a=1, 則 當時, ,， 所以在上單調增, . 2分 （2）由于， （）當時，則， 令，得（負根舍去）， 且當時，；當時， 所以在上單調減，在上單調增.4分（）當時，當時， , 令，得（舍），若，即, 則，所以在上單調增；若，即, 則當時，；當時，所以在區間上是單調減，在上單調增. 6分當時, ,令，得，記，若，即, 則，故在上單調減；若，即, 則由得，且，當時，；當時，；當 時，所以在區間上是單調減，在上單調增；在上單調減. 8分綜上所述，當時,單調遞減區間是 ，單調遞增區間是；當時, 單調遞減區間是，單調的遞增區間是；當時, 單調遞減區間是(0, )和，單

13、調的遞增區間是和. 10分（3）函數的定義域為 由，得 *（）當時，不等式*恒成立，所以；（）當時，所以； 12分（）當時，不等式*恒成立等價于恒成立或恒成立令，則因為，所以，從而因為恒成立等價于，所以令，則再令，則在上恒成立，在上無最大值綜上所述，滿足條件的的取值范圍是 16分2013屆高三教學調研測試（二）數學（附加題） 參考答案OAEBDFC21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分 A選修41：幾何證明選講證明：連結OF因為DF切O于F，所以OFD=90°所以OFC+CFD=90°因為OC=OF，所以OCF=OFC 因為COAB

14、于O，所以OCF+CEO=90° 所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因為DF是O的切線,所以DF2=DB·DA所以DE2=DB·DAB選修42：矩陣與變換解：由矩陣屬于特征值6的一個特征向量為，可得6，即； 由矩陣屬于特征值1的一個特征向量為可得，即， 解得即，逆矩陣是.C選修44：坐標系與參數方程 解：將曲線化為直角坐標方程得：，即，圓心到直線的距離，曲線相離 D選修45：不等式選講證明：由=【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分22解：（1）設袋中原有個白球，則從9個球中任取2個球都是白球的概率為，由題意知=，即，化簡得解得或（舍去）故袋中原有白球的個數為6. （2）由題意，X的