1、微專題之平面向量基本定理系數的等和線【適用題型】在平面向量基本定理的表達式中，研究兩系數的和差及線性表達式的范圍與最值。 【基本定理】（一） 平面向量共線定理已知6*6總OC，若 -1，則A,B,C三點共線；反之亦然（二） 等和線平面內一組基底OA,OB及任向量OP，OP二 OAiOB（ ,R），若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則 - k （定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。（1）當等和線恰為直線 AB時，k=1 ；（2）當等和線在O點和直線AB之間時，k(0,1)；（3）當直線AB在點O和等和線之間時，k（1,：）；（4）當等和線過O點時，k

2、=0 ；（5）若兩等和線關于 0點對稱，則定值k互為相反數；【解題步驟及說明】1、確定等值線為1的線；22、平移（旋轉或伸縮）該線，結合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達式中的三個向量的起點務必一致，若不一致，本著少數服從多數的原則，優先平移固定的向量；若需要研究的兩系數的線性關系，則需要通過變換基底向量，使得需要研 究的代數式為基底的系數和?！镜湫屠}】例1、給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為1200，如圖所示，點 C在以O為圓心的圓弧 AB上變動。若 OC =xOA yOB，其中 x,

3、 y R則x y的最大值跟蹤練習：已知O為 ABC的外心，若cos ABC，AOABAC，則的最大值為 3例2、在平面直角坐標系中，O為坐標原點，兩定點 代B滿足|OA|=|OB|=OA'OB = 2，則點集PI OP=丸應+#OB,i丸|+岸|蘭i入，r所表示的區域面積為例3、如圖，在扇形OAB中，.AOB =60°, C為弧AB上不與A,B重合的一個動點,OC =xOA yOB，若u =x y （ 0）存在最大值，則的取值范圍為跟蹤練習：在正方形 ABCD中，E為BC中點,P為以AB為直徑的半圓弧上任意一點,設AE二xAD yAP，則2x y的最小值為【強化訓練】1、在正

4、六邊形 ABCDEF中，P是三角形CDE內（包括邊界）的動點，設AP 二 xAB yAF，貝U x的取值范圍2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，m,N為CD邊的三等份點，S為AM , BN的交點，P為邊AB上的一動點，Q為SMN內一點（含邊界），若PQyBN，貝V x y的取值范圍3、設D,E分別是 ABC的邊AB , BC上的點,ADAB ,2BE BC，若 DE TAB 2AC3('1, '2為實數)，U '12的值為4、梯形 ABCD中，AD _ AB , AD = DC = 1 , AB = 3 , P為三角形 BCD內一點（包括邊界），T T TAP =xAB

5、 +yAD，貝U x + y的取值范圍 .5、已知|OA| = 1,|OB h . 3, OA OB =0 ,點 C 在 Z AOB 內，且 Z AOC = 30° ,設 OC =mOA nOB ,則m的值為.n6、在正方形 ABCD中，E為AB中點，P為以A為圓心， AB為半徑的圓弧上的任意一點，設T T TAC =xDE +yAP，貝U x + y的最小值為 .7、已知|形，貝U x y取值的集合為。8、平面內有三個向量 Oa,OB,Oc，其中OA,OB夾角為1200, OA,OC的夾角為30°，且|T 廠 T T T| OC | = 2 :3，若 OC = mOA nOB ,則 m n 的值為T T -I T1二,OM |=|0N| = 1, OP=xOM - yON(x, y為實數)。若 PMN為以M為直角頂點的直角三角9、如圖，代B,C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D ,若OC= mOA nOB則m+n的取值范圍為OA10、已知O為:ABC的外心，若A(0,0),B(2,