1、信息系信息系羅捍東羅捍東 假設有某種資源的總數量為假設有某種資源的總數量為a(a(例如原樹料、例如原樹料、能源、機器設備、勞動力、食品等能源、機器設備、勞動力、食品等) )，可用于消，可用于消費費n n種產品，假設消費第種產品，假設消費第j j種產品所運用的資源數種產品所運用的資源數為為xjxj時，可獲得利潤為時，可獲得利潤為gj(xj)gj(xj)，問如何分配該種，問如何分配該種資源，使所獲得的總利潤到達最大。資源，使所獲得的總利潤到達最大。一、資源分配問題一、資源分配問題該問題的數學模型可表示為：該問題的數學模型可表示為：11221212max()()(),0nnnnzg xgxgxxxx

2、ax xx信息系信息系羅捍東羅捍東 當當gj(xj)都是線性函數時，它是一個線性規劃都是線性函數時，它是一個線性規劃問題；當問題；當gj(xj)是非線性函數時是非線性函數時,它是一個非線性規它是一個非線性規劃問題。但當劃問題。但當n比較大時，求解起來是非常費事的。比較大時，求解起來是非常費事的。由于該問題的特殊性，可以將它看成一個多階段決由于該問題的特殊性，可以將它看成一個多階段決策問題，并利用動態規劃的方法來求解。策問題，并利用動態規劃的方法來求解。 決策變量決策變量xk表示消費第表示消費第k個產品所運用的資源數個產品所運用的資源數量，那么量，那么: 我們將我們將n個產品看作是個產品看作是n

3、個階段，設形狀變量個階段，設形狀變量sk表示消費第表示消費第k個產品至第個產品至第n個產品所運用的資源數量。個產品所運用的資源數量。0kkxs顯然形狀轉移方程為：顯然形狀轉移方程為：1kkkssx信息系信息系羅捍東羅捍東第第k k階段的階段目的為：階段的階段目的為： 那么由動態規劃最優化原理，可得動態規那么由動態規劃最優化原理，可得動態規劃的根本方程為：劃的根本方程為： 最優值函數最優值函數fk(sk)fk(sk)表示消費第表示消費第k k個產品至第個產品至第n n個個產品所運用的資源數量為產品所運用的資源數量為sksk時獲得的最大總利潤。時獲得的最大總利潤。(,)()kkkkkv sxgx1

4、111()max()()()0kkkkkkkxnnfsgxfsfs信息系信息系羅捍東羅捍東 例例1: (1: (投資分配問題投資分配問題) )某公司擬將某公司擬將5 5百萬元資百萬元資金投放到金投放到A A、B B、C C三個工程，各工程在獲得資金三個工程，各工程在獲得資金后的收益如下表所示，用動態規劃方法求總收益后的收益如下表所示，用動態規劃方法求總收益最大的投資分配方案。最大的投資分配方案。151184C121050B1210630A收收益益 (百萬百萬) 4321投放資金投放資金(百萬百萬)0信息系信息系羅捍東羅捍東 解：該問題可以作為三階段決策過程。對解：該問題可以作為三階段決策過程。

5、對A、B、C三個工程分配資金分別構成三個工程分配資金分別構成1，2，3三個階段。三個階段。sk表示給工程表示給工程k分配資金時擁有的資金數。分配資金時擁有的資金數。uk表示表示給工程給工程k分配的資金數單位：百萬元。形狀轉分配的資金數單位：百萬元。形狀轉移方程是移方程是 sk+1=sk-uk。那么遞歸方程為：那么遞歸方程為：311()max()max()(),3,2,1kkkjjjkkkkkufSgugufSk44()0fS 階段目的階段目的gk(uk)gk(uk)表示分配給第表示分配給第k k個工程的資金為個工程的資金為ukuk時所獲得的收益，最優值函數時所獲得的收益，最優值函數fk(sk)

6、fk(sk)表示分配給表示分配給第第k k個至第個至第3 3個工程的資金為個工程的資金為sksk時所獲得的最大總收時所獲得的最大總收益。益。 信息系信息系羅捍東羅捍東 1K=3時時(第第3階段階段)留意到留意到C的投資額不超越的投資額不超越4百百萬元，萬元， 允許形狀集合允許形狀集合 1, 2, 3, 4 , 即用剩余額即用剩余額S31，2，3，4 投資工程投資工程C，得到的收，得到的收益為：益為：3333(1)4,(2)8,(3)11,(4)15ffff 2 K=2時時(第第2階段階段)留意到留意到C的投資額至少是的投資額至少是1百百萬元，萬元， 允許決策集合允許決策集合 D2(S2)0,

7、1, , S2-1 , 下面是各種能夠方案的列表：下面是各種能夠方案的列表： 允許形狀集合允許形狀集合 1, 2, 3, 4，5 ,信息系信息系羅捍東羅捍東S21S2 2 S2 3S2 4 S2 5 B C B C B C B C B C0 10 20 30 41 4 1 11 21 32 32 12 23 23 1故：故：223(1)(0)(1)4fgf23223(0)(2)0 8(2)maxmax9(1)(1)54gffgf2322323(0)(3)0 11(3)max(1)(2)max 5 814104(2)(1)gffgfgf信息系信息系羅捍東羅捍東232322323(0)(4)0 1

8、5(1)(3)5 11(4)maxmax18(2)(2)10 8124(3)(1)gfgffgfgf2322323(1)(4)5 15(5)max(2)(3)max 10 112112 8(3)(2)gffgfgf3K=1時時 第第1階段階段 S1 5允許決策集合允許決策集合 D1(S1) 0, 1, 2, 3, 4, 信息系信息系羅捍東羅捍東12121121212(0)(5)021(1)(4)3 18(5)max(2)(3)max 6 142110 9(3)(2)124(4)(1)gfgffgfgfgf運用順序追蹤可知，最優方案有兩個：運用順序追蹤可知，最優方案有兩個：方案方案 1：*123

9、0,2,3uuu方案方案 2：*1231,2,2uuu最大收益都為最大收益都為21百萬元。百萬元。信息系信息系羅捍東羅捍東二、可回收利用的資源分配問題二、可回收利用的資源分配問題 設有某種資源，初始的擁有量是設有某種資源，初始的擁有量是s1s1。方案在。方案在A A、B B兩個消費車間延續運用兩個消費車間延續運用n n個階段。巳知在個階段。巳知在A A車間投車間投入資源入資源x x時的階段收益是時的階段收益是g(x)g(x)，在，在B B車間投入資源車間投入資源y y時的階段收益是時的階段收益是h(y)h(y)。投入的資源在消費過程中。投入的資源在消費過程中有部分耗費有部分耗費, ,知，每消費

10、一個階段后，車間知，每消費一個階段后，車間A A、B B的的資源回收率分別為資源回收率分別為a a和和b b，0 0a a，b b1 1。回收的資。回收的資源下一階段可繼續運用，求運用源下一階段可繼續運用，求運用n n個階段后總收益個階段后總收益最大的資源分配方案。最大的資源分配方案。 設設sjsj為第為第j j階段投入階段投入A A、B B兩個車間運用的資兩個車間運用的資源數，源數，j=1j=1、2 2、n n。信息系信息系羅捍東羅捍東該模型可用動態規劃的方法來處置。該模型可用動態規劃的方法來處置。 設設xj為第為第j階段投入階段投入A車間運用的資源數，車間運用的資源數，投入投入B車間運用的

11、資源數為車間運用的資源數為yj=sj-xj，j=1、2、n。此問題的靜態規劃模型為：。此問題的靜態規劃模型為： 11122221113222111max( )()( )()( )()()().()0,1,2,nnnnnnnjjzg xh sxg xh sxg xh sxsaxb sxsaxb sxstsaxb sxxsjn信息系信息系羅捍東羅捍東 最優值函數最優值函數fk(sk)fk(sk)表示第表示第k k階段擁有資源數階段擁有資源數為為sksk時，從第時，從第k k階段至第階段至第n n階段采取最優分配方階段采取最優分配方案進展消費時所獲得的最大總收益。案進展消費時所獲得的最大總收益。 令

12、令sksk為形狀變量，表示在第為形狀變量，表示在第k k階段投入階段投入A A、B B兩個車間運用的資源數，兩個車間運用的資源數，k=1k=1、2 2、n n。 xk為決策變量，表示在第為決策變量，表示在第k階段投入階段投入A車間車間運用的資源數，那么運用的資源數，那么yk=sk-xk表示第表示第k階段投階段投入入B車間運用的資源數，車間運用的資源數，k=1、2、n。形狀轉移方程為：形狀轉移方程為：sk+1=axk+b(sk-xk)sk+1=axk+b(sk-xk)信息系信息系羅捍東羅捍東下面我們對一個詳細問題，用此方法求解。下面我們對一個詳細問題，用此方法求解。那么動態規劃的遞推公式：那么動

13、態規劃的遞推公式：1111()max()()()()0kkkkkkkkxnnfsg xh sxfsfs信息系信息系羅捍東羅捍東 例例2 2：( (機器負荷分配問題機器負荷分配問題) )某公司新購進某公司新購進10001000臺機床，每臺機床都可在高、低兩種不同的負荷下臺機床，每臺機床都可在高、低兩種不同的負荷下進展消 費 ， 設 在 高 負 荷 下 消 費 的 產 量 函 數 為進展消 費 ， 設 在 高 負 荷 下 消 費 的 產 量 函 數 為g(x)=10 x(g(x)=10 x(單位：百件單位：百件) )，其中，其中x x為投入消費的機床為投入消費的機床數量，年完好率為數量，年完好率為

14、a=0.7a=0.7；在低負荷下消費的產量；在低負荷下消費的產量函數為函數為h(y)=6y(h(y)=6y(單位：百件單位：百件) )，其中，其中y y為投人消費的為投人消費的機床數量，年完好率為機床數量，年完好率為b=0.9b=0.9。方案延續運用。方案延續運用5 5年，年，試問每年如何安排機床在高、低負荷下的消費方案，試問每年如何安排機床在高、低負荷下的消費方案，使在五年內消費的產品總產量到達最高。使在五年內消費的產品總產量到達最高。 解：該問題可看作一個解：該問題可看作一個5 5階段決策問題，一個階段決策問題，一個年度就是一個階段。年度就是一個階段。 決策變量決策變量xkxk為在第為在第

15、k k階段投入高負荷下消費的階段投入高負荷下消費的機床數。機床數。信息系信息系羅捍東羅捍東形 狀 轉 移 方 方 程 為 ：形 狀 轉 移 方 方 程 為 ： s k + 1 = a x k + b ( s k -s k + 1 = a x k + b ( s k -xk)=0.7xk+0.9(sk-xk)xk)=0.7xk+0.9(sk-xk)第第k年度的產量為：年度的產量為：vk(sk,xk)=10 xk+6(sk-xk)那么動態規劃的根本方程為：那么動態規劃的根本方程為： 最優值函數最優值函數 fk(sk) fk(sk) 表示擁有機床數為表示擁有機床數為sksk時，從時，從第第k k年度

16、至第五年度采取最優分配方案進展消費時所年度至第五年度采取最優分配方案進展消費時所獲得的最大總產量。獲得的最大總產量。1111()max()()()()0kkkkkkkkxnnfsg xh sxfsfs形狀變量形狀變量sksk取為第取為第k k年度初擁有的完好機床臺數。年度初擁有的完好機床臺數。信息系信息系羅捍東羅捍東下面第下面第5 5年度開場，用逆推歸納法進展計算。年度開場，用逆推歸納法進展計算。5555555660()max()()()xsfsg xh sxfs由于由于 是是x5x5的單調添加函數，故最大解為：的單調添加函數，故最大解為：55()fs55*xs1k=5時，有時，有相應有相應有

17、555()10fss55555555500max 106()0max 46xsxsxsxxs信息系信息系羅捍東羅捍東2) k=42) k=4時，有時，有 44444444455044450()max()()( )max 106() 10 xsxsfsg xh sxf sxsxs由于由于 是是 x4 x4 的單調添加函數，故最大解的單調添加函數，故最大解為：為：44()fs444()17fss44*xs相應有相應有44444444440440max 106()10(0.70.9()max 215xsxsxsxxsxxs信息系信息系羅捍東羅捍東3) k=33) k=3時，有時，有 由于由于 是是

18、x3 x3 的單調添加函數，故最大的單調添加函數，故最大解為：解為：33( )fs333( )21.9fss33*xs33333333344033340( )max()()()max 106() 17xsxsf sg xh sxfsxsxs 相應有相應有 33333333330330max 106()17(0.70.9()max 0.621.3xsxsxsxxsxxs信息系信息系羅捍東羅捍東4 4k=2k=2時，有時，有22222222233022230()max()()( )max 106()21.9xsxsfsg xh sxf sxsxs由于由于 是是 x2 x2 的單調減少函數，故最大解

19、的單調減少函數，故最大解為：為：22()fs2*0 x222( )25.71fss相應有相應有22222222220220max 106()21.9(0.70.9()max0.3825.71xsxsxsxxsxxs信息系信息系羅捍東羅捍東5 5k=1k=1時，有時，有11111111122011120( )max( )()()max 106()25.71xsxsf sg xh sxfsxsxs由于由于 是是 x1 x1 的單調減少函數，故的最大的單調減少函數，故的最大解為：解為：11( )fs1*0 x111( )29.139fss相應有相應有11111111110110max 106()25

20、.71(0.70.9()max1.14229.139xsxsxsxxsxxs信息系信息系羅捍東羅捍東 即前兩年應把年初全部完好機床投入低負荷消即前兩年應把年初全部完好機床投入低負荷消費，后三年應把年初全部完好機床投入高負荷消費。費，后三年應把年初全部完好機床投入高負荷消費。這樣所得的產量最高，其最高產量為這樣所得的產量最高，其最高產量為2929百件產品。百件產品。同時，從求解過程還可反過來確定每年年初的形狀，同時，從求解過程還可反過來確定每年年初的形狀，即每年年初所擁有的完好機器臺數。知即每年年初所擁有的完好機器臺數。知s1=1000s1=1000，于，于是可得：是可得：由于第由于第l l階段

21、的初始形狀階段的初始形狀s1s1是給定的，即是給定的，即s1=1000s1=1000，因此最優目的函數值為因此最優目的函數值為 =29=29百件。百件。11()fs12334455*0,*0,*,*,*xxxs xsxs計算結果闡明，最優戰略為：計算結果闡明，最優戰略為：信息系信息系羅捍東羅捍東21111322224333354444655550.70.9()0.9900(0.70.9()0.9810(0.70.9()0.7567(0.70.9()0.7397(0.70.9()0.7278(sxsxssxsxssxsxssxsxssxsxs臺)臺)臺)臺)臺)信息系信息系羅捍東羅捍東 假設有一

22、個企業，要制定某種產品假設有一個企業，要制定某種產品n個時期個時期(例例如年、月、周如年、月、周)的消費的消費(或購買或購買)方案，知初始的存貯方案，知初始的存貯量為零，第量為零，第k個時期市場需求量為個時期市場需求量為dk，每個時期企，每個時期企業的最大產量為業的最大產量為M，單位產品的消費本錢為，單位產品的消費本錢為a，每，每次消費的消費預備本錢為次消費的消費預備本錢為K。設設xk為第為第k個時期個時期(階段階段)該產品的消費量。該產品的消費量。 sk sk為第為第k k個時期個時期( (階段階段) )末該產品的庫存量，末該產品的庫存量，那么有那么有sk=sk-1+xk-dksk=sk-1

23、+xk-dk。三、三、 消費與存貯問題消費與存貯問題信息系信息系羅捍東羅捍東 ck(xk)表示第表示第k個時期個時期(階段階段)該產品產量為該產品產量為xk時時的消費本錢，它包括消費預備本錢的消費本錢，它包括消費預備本錢K和產品本錢和產品本錢axk兩項費用，即：兩項費用，即：0,0(),1,2,kkkkkkxcxKaxxMxM hk(xk)表示在第表示在第k個時期個時期(階段階段)終了時庫存量終了時庫存量為為sk時所需的存貯費用。時所需的存貯費用。故第故第k個階段的總本錢費用為：個階段的總本錢費用為：()()kkkkcxh s 問如何安排消費問如何安排消費(或購買或購買)方案使得方案使得n個時

24、期總個時期總本錢費用最低？本錢費用最低？信息系信息系羅捍東羅捍東上述問題的數學模型為：上述問題的數學模型為：101min()()0,0()0,1,2,0,1,2,1,2,nkkkkknkkjjjkkzcxh ssssxdknxMknxkn為整數信息系信息系羅捍東羅捍東 如今我們用動態規劃的順推歸納法來討論，如今我們用動態規劃的順推歸納法來討論，把它看作一個把它看作一個n n階段決策問題。令階段決策問題。令: :1110()min()()min ()()()1,2,jkkkkkjjjjxjkkkkkkxfsc xh scxh sfskn 最優值函數最優值函數fk(sk)fk(sk)表示從第表示從

25、第1 1階段初始庫存量為階段初始庫存量為0 0到第到第k k階段末庫存量為階段末庫存量為sksk時的最小總本錢費用。時的最小總本錢費用。sksk為形狀變量，表示第為形狀變量，表示第k k個階段末該產品的庫存量。個階段末該產品的庫存量。xk為決策變量，它表示第為決策變量，它表示第k階段的消費量。階段的消費量。那么形狀轉移方程為：那么形狀轉移方程為：sk-1=sk-xk+dk。那么其順序遞推關系式：那么其順序遞推關系式：信息系信息系羅捍東羅捍東 其中其中k=mindk+sk,Mk=mindk+sk,M，這是由于一方面，這是由于一方面在每個階段企業的最大產量為在每個階段企業的最大產量為M M；另一方

26、面由于；另一方面由于滿足每個階段市場的需求量，因此第滿足每個階段市場的需求量，因此第k-1k-1階段末階段末庫存量庫存量sk-1sk-1必需非負，即必需非負，即: :sk-1=dk+sk-xk0 , xkdk+sksk-1=dk+sk-xk0 , xkdk+sk。邊境條件為邊境條件為 f0(S0)=0. f0(S0)=0. 從邊境條件出發，利用上面順序遞推關系式，從邊境條件出發，利用上面順序遞推關系式，最后求出的最后求出的 fn(0) fn(0) 即為所要求的最小總本錢費用。即為所要求的最小總本錢費用。下面經過一個實踐例子計算。下面經過一個實踐例子計算。 信息系信息系羅捍東羅捍東 例例3：某企

27、業經過市場調查，估計今后四個時期：某企業經過市場調查，估計今后四個時期市場對某種產品的需求量如下表：市場對某種產品的需求量如下表： 假定不論在任何時期，消費每批產品的消費假定不論在任何時期，消費每批產品的消費預備本錢為預備本錢為3(千元千元)，假設不消費，那么為零；消，假設不消費，那么為零；消費單位產品本錢費為費單位產品本錢費為1(千元千元)；每個時期消費才干；每個時期消費才干所允許的最大消費量不超越所允許的最大消費量不超越6個單位。那么任何時個單位。那么任何時期消費期消費x個單位產品的消費本錢為：個單位產品的消費本錢為：時期時期(k)1234需求量需求量(dk) 2(單位單位)324假設假設

28、 0 x6 ，那么消費本錢，那么消費本錢3十十1x假設假設 x0 ， 那么消費本錢那么消費本錢0信息系信息系羅捍東羅捍東 又設每個時期末未銷售出去的產品，在一個時期又設每個時期末未銷售出去的產品，在一個時期內單位產品的庫存費用為內單位產品的庫存費用為0.5(千元千元)，同時還假定第，同時還假定第1時期開場之初和在第時期開場之初和在第4個時期之末，均無產品庫存。個時期之末，均無產品庫存。如今我們的問題是：在滿足上述給定的條件下，該廠如今我們的問題是：在滿足上述給定的條件下，該廠如何安排各個時期的消費與庫存，使得如何安排各個時期的消費與庫存，使得n個時期的總個時期的總本錢費用最低？本錢費用最低？

29、解：我們將四個時期分為解：我們將四個時期分為4個階段，設個階段，設k為階段變量，為階段變量， k1，2，3，4。形狀變量為形狀變量為sk表示第表示第k個階段末該產品的庫存量。個階段末該產品的庫存量。決策變量為決策變量為xk 表示第表示第k階段的消費量。階段的消費量。那么形狀轉移方程為：那么形狀轉移方程為：sk-1=dk+sk-xk。信息系信息系羅捍東羅捍東第第k k個階段消費本錢為：個階段消費本錢為： 第第k k個階段終了時庫存量為個階段終了時庫存量為sksk所需的存貯費用：所需的存貯費用： 0,0()3 11,2,66kkkkkkxcxxxx ()0.5kkkh ss故第故第k k個階段的總

30、本錢費用為：個階段的總本錢費用為： ()()kkkkcxh s那么其順序遞推關系式：那么其順序遞推關系式： 信息系信息系羅捍東羅捍東其中其中k=mindk+sk,6k=mindk+sk,6，邊境條件為，邊境條件為 f0(s0)=0 f0(s0)=0。 11010()min ()()()min ()()()1,2,3,4kkkkkkkkkkkkxkkkkkkkkxfscxh sfscxh sfsdxk1 1當當k=1k=1時，由于時，由于 1111111111111100min(2,6)( )min ( )( )min ( )( )xxsf sc xh sc xh s對對s1s1的能夠取值在的能

31、夠取值在0 0至至 412min,min9,624jjdMd的值分別進展計算。的值分別進展計算。 信息系信息系羅捍東羅捍東1111113*131,(1)min (3)(1)min3 1 30.5 16.5,3xxsfchx 1111114*142,(2)min (4)(2)min3 1 40.5 28,4xxsfchx 1111112*120,(0)min (2)(0)min3 1 20.5 05,2xxsfchx 信息系信息系羅捍東羅捍東1111116*164,(4)min (6)(4)min3 1 60.5 411,6xxsfchx 1111115*153,(3)min (5)(3)min

32、3 1 50.5 39.5,5xxsfchx 信息系信息系羅捍東羅捍東2 2當當k=2k=2時，由于時，由于222222222211022221220min(3,6)()min ()()( )min()()(3)xxsfscxh sfscxh sfsx 41213min, min6,6 3 6jjd sM ds 對對s2的能夠取值在的能夠取值在0至至( s1最大可取到最大可取到4)的值分別進展計算。的值分別進展計算。信息系信息系羅捍東羅捍東2222221203221221*22212210,(0)min ( )(0)(3)(0)(0)(3)0 0 9.5(1)(0)(2)4 0 8minmin

33、9.5,0(2)(0)(1)5 0 6.56 0 5(3)(0)(0)xsfc xhfxchfchfxchfchf 信息系信息系羅捍東羅捍東22222212042212212212212211,(1)min()(1)(4)(0)(1)(4)00.511(1)(1)(3)40.59.5min(2)(1)(2)min 50.5860.56.5(3)(1)(1)70.55(4)(1)(0)xsfcxhfxchfchfchfchfchf*211.5,0 x信息系信息系羅捍東羅捍東22222212152212212212212212,(2)min()(2)(5)(1)(2)(4)4 1 11(2)(2)

34、(3)5 1 9.5min(3)(2)(2)min 6 1 87 1 6.5(4)(2)(1)8 1 5(5)(2)(0)xsfc xhfxchfchfchfchfchf *214,5x信息系信息系羅捍東羅捍東22222212262212212212212213,(3)min()(3)(6)(2)(3)(4)5 1.5 11(3)(3)(3)6 1.59.5min(4)(3)(2)min 7 1.5 88 1.56.5(5)(3)(1)9 1.55(6)(3)(0)xsfc xhfxchfchfchfchfchf*215.5,6x信息系信息系羅捍東羅捍東2222221236221221*222

35、12214,(4)min()(4)(7)(3)(4)(4)62 11(4)(4)(3)729.5minmin17.5,6(5)(4)(2)82 8926.5(6)(4)(1)xsfc xhfxchfchfxchfchf 信息系信息系羅捍東羅捍東2222221246221*22122215,(5)min ( )(5)(8)(4)(5)(4)7 2.5 11min(5)(5)(3)min 8 2.5 9.519.5,69 2.5 8(6)(5)(2)xsfc xhfxchfchfxchf2222221256221*22216,(6)min ( )(5)(9)(5)(6)(4)8 3 11minmi

36、n21.5,6(6)(6)(3)9 3 9.5xsfc xhfxchfxchf 信息系信息系羅捍東羅捍東3 3當當k=3k=3時，由于時，由于3313333333322033332330min(,6)( )min ()( )()min()( )(2)xxsdfsc xh sfsc xh sfsx對對s3的能夠取值在的能夠取值在0至至423min,min4,6624dsMd( s2最大可取到最大可取到6)的值分別進展計算。的值分別進展計算。信息系信息系羅捍東羅捍東3333332302222*22232220,(0)min ()(0)(2)(0)(0)(2)00 14min(1)(0)(1)min

37、 40 11.514,05 0 9.5(2)(0)(0)xsfc xhfxchfchfxchf 信息系信息系羅捍東羅捍東3333332303222222*32222221,(1)min ()(1)(3)(0)(1)(3)00.5 15.5(1)(1)(2)40.5 14minmin16,03(2)(1)(1)5 0.5 11.560.5 9.5(3)(1)(0)xsfc xhfxchfchfxchfchf或信息系信息系羅捍東羅捍東33333323042222222222222222,(2)min()(2)(4)(0)(2)(4)01 17.5(1)(2)(3)41 15.5min(2)(2)(

38、2)min 51 1461 11.5(3)(2)(1)719.5(4)(2)(0)xsfcxhfxchfchfchfchfchf *317.5,4x信息系信息系羅捍東羅捍東33333323052222222222222223,(3)min ()(3)(5)(0)(3)(5)0 1.5 19.5(1)(3)(4)4 1.5 17.5min(2)(3)(3)min 5 1.5 15.56 1.5 14(3)(3)(2)70.5 11(4)(3)(1)xsfc xhfxchfchfchfchfchf*319,5.5x信息系信息系羅捍東羅捍東333333230622222222222222222222

39、24,(4)min()(4)(6)(0)(4)(6)0221.5(1)(4)(5)(2)(4)(4)min(3)(4)(3)min(4)(4)(2)(5)(4)(1)(6)(4)(0)xsfc xhfxchfchfchfchfchfchfchf*342 19.552 17.562 15.520.5,672 1482 11.5929.5x4 4當當k=4k=4時，由于要求的第時，由于要求的第4 4個階段終了時的庫存個階段終了時的庫存量為量為0 0，即，即s4=0s4=0，因此只須計算：，因此只須計算：信息系信息系羅捍東羅捍東41444433444340404423423423423423(0)m

40、in()(0)( )min()(0)(4)(0)(0)(4)0020.5(1)(0)(3)40 19min(2)(0)(2)min 50 17(3)(0)(1)(4)(0)(0)xxfc xhfsc xhfxchfchfchfchfchf*4.520.5,060 1670 14x 再按計算的順序反推回去，可得到每個時期的最再按計算的順序反推回去，可得到每個時期的最優消費決策為：優消費決策為：*12345,0,6,0 xxxx其相應的最小總本錢費用為其相應的最小總本錢費用為20.5千元。千元。信息系信息系羅捍東羅捍東解：設解：設xixi為第為第i i種物種物品的裝入件數，那么品的裝入件數，那么問

41、題的數學模型為：問題的數學模型為： 有一個徒步游覽者帶一背包，它可包容物品有一個徒步游覽者帶一背包，它可包容物品分量的限制為分量的限制為a a公斤。設有公斤。設有n n種物品可供他選擇裝種物品可供他選擇裝入背包中。這入背包中。這n n種物品編號為種物品編號為1 1，2 2，n n。知第。知第i i種物品每件分量為種物品每件分量為wiwi公斤，運用價值是攜帶數公斤，運用價值是攜帶數量量xixi的函數的函數ci(xi)ci(xi)。問該游覽者應如何選擇攜帶。問該游覽者應如何選擇攜帶這些物品的件數這些物品的件數, ,使得總運用價值最大使得總運用價值最大? ? 四、四、 背包問題背包問題 11max(

42、 )01,2,niiiniiiizc xw xaxin整數，信息系信息系羅捍東羅捍東將將n n種物品劃分為種物品劃分為n n個階段，個階段， 最優值函數最優值函數fk(sk)fk(sk)表示當總分量不超越表示當總分量不超越sksk公斤，公斤，背包中只裝前背包中只裝前k k種物品的最大運用價值。種物品的最大運用價值。ikk-1-11()max( )max()()kkkiikkkxxifsc xcxfs最后得到的最后得到的fn(a)fn(a)就是所求的最大價值。就是所求的最大價值。 形狀變量形狀變量sk表示裝入第表示裝入第1種物品至第種物品至第k種物品的總分量。種物品的總分量。決策變量決策變量xk

43、表示裝入第表示裝入第k種物品的件數。種物品的件數。那么形狀轉移方程為：那么形狀轉移方程為：sk-1=sk-wkxk那么動態規劃的根本方程為：那么動態規劃的根本方程為：信息系信息系羅捍東羅捍東123123123max4+5634510,0zxxxxxxx x x整數例例4 4： 解解: : 用動態規劃方法來解，問題變為求用動態規劃方法來解，問題變為求 f3(10) f3(10) 。 1231233123322345103410 5(10)max4+56max6()xxxxxxfxxxxfs為此必需先算出為此必需先算出f2(10),f2(5),f2(0) f2(10),f2(5),f2(0) 。而

44、。而 32323251020(10)max6(10 5)max 6(5)12(0)xfxfxff信息系信息系羅捍東羅捍東12122122113410310 4(10)max 4 +5max 5( )xxxxfxxxf s121221221134535 4(5)max 4 +5max 5( )xxxxfxxxf s21212141010(10)max5(10 4)max 5(6)10(2)xfxfxff212124510(5)max5(5 4)max5(1)xfxfxf信息系信息系羅捍東羅捍東121221221134030 4(0)max 4+5max 5()xxxxfxxxf s為此必需先算出

45、為此必需先算出f1(10)f1(10)，f1(6)f1(6)，f1(5)f1(5)，f1(2)f1(2)，f1(1)f1(1)，f1(0) f1(0) 。而。而 1111113s(s )max(4)4 3xsfx22121140max5(10 4)max 0(0)(0)xxfxff信息系信息系羅捍東羅捍東相應的最優戰略為相應的最優戰略為 ，于是得到，于是得到11s3x 11(10)4 312,*3fx11(6)4 28,*2fx11(5)4 14,*1fx 11(2)4 00,*0fx11(1)4 00,*0fx11(0)4 00,*0fx信息系信息系羅捍東羅捍東121210(10)0 12(

46、10)max 5(6)max 5813,*110010(2)fffxf12210(5)04(5)maxmax5,*15(1)50ffxf從而從而 212(0)max 0(0)0,*0ffx信息系信息系羅捍東羅捍東最后得到：最后得到： 所以最優裝入方案為：所以最優裝入方案為：232320(10)0 13(10)max 6(5)max 6513,*012012(0)fffxf*1232,1,0 xxx最大運用價值為最大運用價值為13。信息系信息系羅捍東羅捍東 某人在退休時可拿到總數為某人在退休時可拿到總數為x0的養老金，他的養老金，他估計本人還可活估計本人還可活T年，如何利用這筆錢，使得他年，如何

47、利用這筆錢，使得他在在T年內消費總成效最大？由于年齡大，不情愿年內消費總成效最大？由于年齡大，不情愿冒險，他計劃把錢存入銀行冒險，他計劃把錢存入銀行(年利率為年利率為r ) ，試建，試建立該問題的數學模型。立該問題的數學模型。1 1、消費模型、消費模型 設第設第t年的消費為年的消費為ct，所獲得的成效為，所獲得的成效為U(ct)，xt為第為第t年所擁有的資金，那么可建立該問題的年所擁有的資金，那么可建立該問題的數學模型如下：數學模型如下：五、五、 宏觀經濟學中運用模型宏觀經濟學中運用模型信息系信息系羅捍東羅捍東 0110 1 2max(), , ,tTtcttttU cxcxrtT 我們用動態

48、規劃來討論它的求解。我們用動態規劃來討論它的求解。設形狀變量設形狀變量xtxt表示在第表示在第t t年擁有的資金數。年擁有的資金數。 決策變量決策變量ctct表示在第表示在第t t年的消費。年的消費。那么形狀轉移方程為：那么形狀轉移方程為：110 1 2(), , ,tttxxrctT 第第t t階段的階段目的為：階段的階段目的為： ( ,)( )ttttr x cU c信息系信息系羅捍東羅捍東 最優值函數最優值函數Vt(xt)Vt(xt)表示第表示第t t年擁有的資金數年擁有的資金數為為xtxt時按最優方案消費所獲得的最大總成效。時按最優方案消費所獲得的最大總成效。 那么由動態規劃最優化原理

49、，可得動態規那么由動態規劃最優化原理，可得動態規劃的根本方程為：劃的根本方程為： 111( )maxmaxmaxmax()jtjtTttjcj tTtjccj ttttcV xU cU cU cU cVx 信息系信息系羅捍東羅捍東 初始條件初始條件x0 x0，邊境條件，邊境條件xT+1=0 xT+1=0，V(xT+1)=0V(xT+1)=0，假設給出成效函數的詳細方式，那么由動態規假設給出成效函數的詳細方式，那么由動態規劃逆序法可以求解。劃逆序法可以求解。 信息系信息系羅捍東羅捍東2 2、最優增長模型、最優增長模型( (無限階段的動態規劃模型無限階段的動態規劃模型) ) 將上述模型進展推行，假

50、設假設將上述模型進展推行，假設假設T趨向于趨向于，再假設資本消費函數為再假設資本消費函數為f(xt)，那么可得無限階段，那么可得無限階段的消費模型的消費模型(最優增長模型最優增長模型)如下：如下：由于這個無窮級數能由于這個無窮級數能夠發散，數學上不易夠發散，數學上不易處置。因此普通討論處置。因此普通討論如下模型。如下模型。 01maxttcttttU cxcfx 信息系信息系羅捍東羅捍東 01maxtttcttttU cxcfx 其中其中=1/(1+r)為貼現為貼現系數，系數，x0為初始資本，為初始資本，是給定的。是給定的。 普通假設消費函數與成效函數都是嚴厲遞普通假設消費函數與成效函數都是嚴

51、厲遞增、嚴厲凹的函數，即滿足以下條件：增、嚴厲凹的函數，即滿足以下條件：( )0,( )0( )0,( )0fxfxU cUc信息系信息系羅捍東羅捍東(0)0,(0),( )0(0),( )0fffUU 為防止端點解，進一步假設消費函數與成為防止端點解，進一步假設消費函數與成效函數滿足以下條件：效函數滿足以下條件： 設最優值函數設最優值函數Vt(xt)Vt(xt)表示第表示第t t年擁有的資金數年擁有的資金數為為xtxt時按最優方案消費所獲得的最大總成效。即時按最優方案消費所獲得的最大總成效。即 ( )maxjj tttjcj tV xU c信息系信息系羅捍東羅捍東 由于如今沒有最后的終了階段，前面所引見由于如今沒有最后的終了階段，前面所引見的逆序法不適用。但是有些類型的的無限階段動的逆序法不適用。但是有些類型的的無