1、向量空間一 判斷題 平面上全體向量對于通常的向量加法和數量乘法: 作成實數域上的向量空間. ( ) . 平面上全體向量對于通常的向量加法和數量乘法: 作成實數域上的向量空間. ( ). 一個過原點的平面上所有向量的集合是的子空間. ( ). 所有階非可逆矩陣的集合為全矩陣空間的子空間. ( ). 為的子空間. ( ).所有階實反對稱矩陣的集合為全矩陣空間的子空間. ( ). 為的子空間. ( ).若是數域上的維向量空間的一組基, 那么是的一組基. ( ).維向量空間的任意個線性無關的向量都可構成的一個基. ( ).設是向量空間中個向量, 且中每一個向量都可由線性表示, 則是的一組基. ( ).

2、 設是向量空間的一個基, 如果與等價, 則也是的一個基. ( ). 關于基的坐標為. ( ).設為維空間的子空間, 且.若, 則為直和. ( ).設為維空間的子空間, 且. 若 則為直和. ( ). 設為維空間的子空間, 且. 若 則為直和. ( ).設為維空間的子空間, 且. 若則為直和. ( ). 設為維空間的子空間, 且. 零向量表法是唯一的, 則為直和. ( ). 設是向量空間的一個基, 是到的一個同構映射, 則的一個基是. ( ). 設是數域上的維向量空間, 若向量空間與同構, 那么也是數域上的維向量空間. ( ). 把同構的子空間算作一類, 維向量空間的子空間能分成類. ( ).答

3、案 錯誤 錯誤 正確 錯誤 錯誤 正確 正確 正確 正確 錯誤 正確 錯誤 正確 正確 正確 錯誤 正確正確 正確 錯誤二 填空題 全體實對稱矩陣, 對矩陣的_作成實數域上的向量空間. 全體正實數的集合,對加法和純量乘法構成上的向量空間.則此空間的零向量為_. 全體正集合,對加實數的法和純量乘法構成上的向量空間.則的負向量為_. 全體實二元數組對于如下定義的運算: 構成實數域上的向量空間. 則此空間的零向量為_. 全體實二元數組對于如下定義的運算: 構成實數域上的向量空間. 則的負向量為_. 數域上一切次數的多項式添加零多項式構成的向量空間維數等于_. 任一個有限維的向量空間的基_的, 但任兩

4、個基所含向量個數是_. 復數域作為實數域上的向量空間, 維數等于_, 它的一個基為_. 復數域看成它本身上的向量空間, 維數等于_, 它的一個基為_. 實數域上的全體階上三角形矩陣, 對矩陣的加法和純量乘法作成向量空間, 它的維數等于_. 向量關于基的坐標為_. 關于的一個基的坐標為_. 三維向量空間的基 則向量在此基下的坐標為 _. 和是數域上的兩個向量空間, 到的映射滿足條件_, 就叫做一個同構映射. 數域上任一維向量空間都與向量空間_同構. 設的子空間有, 則_直和.答案加法和數量乘法 1 不唯一, 相等 是到的雙射; 對任意; 對任意 不一定是三 簡答題 設 問下列集合是否為的子空間,

5、 為什么? 所有行列式等于零的實階矩陣的集合; 所有可逆的實階矩陣的集合; 設是實數域上所有實函數的集合, 對任意 定義對于上述運算構成實數域上向量空間. 下列子集是否是的子空間? 為什么? 所有連續函數的集合; 所有奇函數的集合; 下列集合是否為的子空間? 為什么? 其中為實數域. ; ; 每個分量是整數;設分別為數域上矩陣, 問的所有解向量是上的向量空間嗎? 說明理由. 下列子空間的維數是幾? ; 實數域上矩陣所成的向量空間的維數等于多少? 寫出它的一個基. 實數域上, 全體階對稱矩陣構成的向量空間的維數是多少？ 若是數域上維向量空間的一個基， 也是的一個基嗎？ 是向量空間的一個基嗎？ 取

6、的兩個向量.求的一個含的基. 在中求基到基的過渡矩陣. 在中求向量關于基的坐標. 設表示幾何空間中過原點之某平面的全體向量所構成的子空間, 為過原點之某平面上的全體向量所構成的子空間, 則與是什么? 能不能是直和? 設求和. 其中 ; 證明 數域上兩個有限維向量空間同構的充分必要條件是它們維數相等.設都是實數域的向量空間.問與是否同構? 說明理由. 設為向量空間的一個基, 令且.證明 .答案不是的子空間. 若若未必等于零, 對加法不封閉.不是的子空間. 因為, 則, 但, 對加法不封閉. 是的子空間. 因為兩個連續函數的和及數乘連續函數仍為連續函數. 是的子空間. 因為兩個奇函數的和及數乘奇函

7、數仍為奇函數. 是的子空間. 因為非空, 且對任意有故 是. 因是齊次方程組的全體解向量. 不是的子空間. 因對加法不封閉. 不是子空間. 因對數乘運算不封閉.當時, 的所有解向量不能構成上的向量空間. 因維零向量不是的解向量. 當時,的所有解向量能構成上的向量空間. 維數是2. 因線性無關, 而. 維數是2. 因易證線性無關, 但. 解 令表示行列位置元素是其余是零的矩陣. 那么易證這個矩陣是線性無關的. 它們作成的一個基, 故的維數是. 為全體階對稱矩陣構成的向量空間的一個基,其中共有個向量, 故此向量空間的維數. 解 由 .得. 當為偶數時, , 故線性相關, 它不構成基. 當為奇數時,

8、 故線性無關, 它構成一個基. 解 在基之下有 .因上式右方的階矩陣為可逆, 所以線性無關, 它是的一個基. 解 取向量,由于 因此線性無關, 所以向量組是的一個基. 解 由 推出 因此所求過渡矩陣為 . 解 取的標準基. 由到的過渡矩陣為 于是關于基的坐標為 . 解 由于,皆過原點, 它們必相交, 因此或重合, 或不重合. 若與重合, 則. 若與不重合, 則為一條過原點的直線, 而, 但不能是直和. 解 設為交空間的任意向量.由 得齊次線性方程組由行初等變換知方程組的系數矩陣的秩為, 解空間的維數為, 且求得方程組的一般解為因此維, 維.取,令便有, 另外顯然. 證明 設數域上兩個有限維向量

9、空間與的維數均為, 因所以. 反之, 若, 設 且是到的同構映射. 取的一個基, 易證是的一個基, 故. 與不同構. 因, 與的維數不相等. 證明 任取, 若, 那么因此, 并且中向量依諸表示唯一, 故 四 計算題 設由, 生成的子空間 試從向量組中找出的生成元. 解 以及為列做成矩陣, 在對的行施行初等變換. 由于行初等變換不改變列向量間的線性關系. 由矩陣知, 從而但由還知線性無關, 故為的一組生成元. 在向量空間中, 求由向量生成的子空間的一個基和維數. 解 對下述矩陣施行行的初等變換 此變換保持列向量間的線性關系, 由右方矩陣知是一個極大無關組, 因此的維數實是,而是它的一個基. 在中

10、求出向量組的一個極大無關組,然后用它表出剩余的向量. 這里. 解 對下述矩陣施行行的初等變換 .由右方矩陣知是一個極大無關組, 并且有 . 求中與矩陣可交換的矩陣構成的子空間的維數及一個基, 其中 解 設這個子空間為 由于, 這里 因此與可交換的階方陣, 就是與可交換的階方陣, 從而 .任取. 由, 可得,于是當且僅當的元素為齊次線性方程組 的解. 于是我們得到如下矩陣 它們構成的一個基, 故的維數是. 求實數域上關于矩陣的全體實系數多項式構成的向量空間的一個基與維數.其中 解 因, 所以 易證線性無關. 于是任何多項式皆可由線性表示, 故為的一個基, . 設為向量關于基的坐標; 是關于基的坐

11、標, 其中,求基. 解 因且 則 于是 , 即 故所求的基為. 設是維向量空間的一個基，也是的一個基，又若向量關于前一個基的坐標為, 求關于后一個基的坐標. 解 基到后一個基的過渡矩陣為 .那么 故關于后一個基的坐標為. 已知的一個基為. 求向量關于這個基的坐標. 解 設, 的方程組 解得. 故關于基的坐標. 已知是的一個基.求的一個非零向量, 使它關于這個基的坐標與關于標準基的坐標相同. 解 由標準基到基的過渡矩陣為 設關于兩個基的坐標為, 則 即得齊次線性方程組 解得, 令, 則即為所求.已知的一個基.求關于基的坐標. 解 由標準基到所給基的過渡矩陣為 那么 故關于基的坐標為, 這里 .五

12、 證明題 設為向量空間的兩個子空間.證明: 是的子空間.是否構成的子空間, 說明理由. 證明 顯然, 即, 任取, 易知, 故是的子空間. 不一定. 當或時, 是的子空間. 但當與互不包含時,不是的子空間. 因為總存在及使, 而, 因為這時, 否則與選取矛盾. 設為向量空間的兩個子空間. 證明: 是的即含又含的最小子空間. 證明 易知為的子空間, 且設為的包含與的任一子空間, 對任意,有, 即, 故是的即含又含的最小子空間. 設為向量空間的兩個子空間. 是的兩個向量, 其中, 但, 又. 證明: 對任意;至多有一個使得. 證明 任意若, 則矛盾, 故成立. 當時, 僅當時, 有; 當時, 若存

13、在使得, 則, 因此, 矛盾, 故成立. 設為向量空間的兩個子空間. 證明 若, 則或. 證明 因含與中所有向量, 含一切形如的向量, 因為, 所以或. 若, 令, 則, 故; 若, 令, 則, 故. 證明: 維向量空間中, 任意個線性無關的向量都可作為的一個基. 證明 設是中線性無關的向量, 取的單位向量, 則, 且中每一個可由線性表示. 由替換定理知與等價, 所以中每一個向量可由線性表示, 又線性無關, 故可作為的一個基. 設為維向量空間, 中有組線性無關的向量, 每組含個向量, 證明: 中存在個向量與其中任一組組成的一個基. 證明 設中組線性無關的向量分別為. 令, 則. 因存在, 使線

14、性無關, 若,令, 則也為的非平凡子空間, 同理存在, 而且線性無關, 如此繼續下去, 可找到使得線性無關, 故對每個, 它們都是的一個基. 設維向量空間的向量組的秩為, 使得全體維向量的集合為. 證明是的維子空間. 證明 顯然, 今設每個在的某個基下的坐標為 ,那么由可得.它決定了一個含個未知量個方程的齊次線性方程組, 其系數矩陣的秩為, 故解空間即的維數為. 設是數域中個不同的數, 且. 證明多項式組是向量空間的一個基. 證明 因, 所以只需證線性無關. 設有, 使 (*)由, 因此將帶入(*)得, 從而故線性無關, 為的一個基. 設是的一個非零子空間, 而對于的每一個向量來說, 或者,

15、或者每一個都不等于零. 證明: 證明 由非零, 我們總可以取, 且, 那么每個且線性無關. 今對任意, 若當然可由線性表示; 若而, 由于其第一個分量為, 由題設知. 故可作為的一個基,且 證明: 是的一個基, 并求關于這個基的坐標. 證明: 由基表示的演化矩陣為 但可逆, 故是的一個基.關于這個基的坐標,因為 若都是的子空間, 求證:. 證明: 任意, 則, 且, 因此, 但, 知, 故.反之, 任意, , 則, 且, 故. 設是維向量空間的子空間. 如果為直和.證明:. 證明: 由為直和, 有, 而 . 故 . 設分別是齊次線性方程組與的解空間.證明: . 證明 因的解空間的維數為, 且一

16、個基為, 又即方程組 的系數矩陣的秩為, 其解空間的維數為, 且一個基為, 但線性無關, 它是的一個基, 且, 故. 證明 每一個維向量空間都可以表成個一維子空間的直和. 證明: 設是維向量空間的一個基, 那么都是一維子空間.顯然 于是由中向量在此基下表示唯一, 立得結論. 證明維向量空間的任意一個真子空間都是若干個維子空間的交. 證明: 設是的任一子空間, 且設為的一個基, 將其擴充為的一個基, 那么令 于是這些, 均為維子空間, 且.設是數域上向量空間到的一個同構映射, 是的一個子空間. 證明: 是的一個子空間. 證明: 因, 所以非空. 對任意, 由于是到的滿射, 因此存在, 使, 對任意, 有, 于是, 故是的一個子空間. 證明: 向量空間可以與它的一個真子空間同構. 證明: 記數域上所有常數項為零的多項式構成的向量空間, 顯然, 且中有形式, 這里. 定義 , 顯然是到的雙射, 且對于任意 故是到的同構映射. 從而是的一個真子空間, . 設是復數, ,證明: 是上的向量空間, 并且. 證明: 易證是上的向量空間,設中次數最低的多項式為, 則對任意, 都有, 使, 因此同理, 設中次