1、3. 2立體幾何中的向量方法教學目標：1. 掌握好向量的相關知識：概念、基本運算、建系方法、坐標求法（不定點的坐標）、平行與垂直、法向量求法2. 掌握向量作為工具解決立幾問題的方法3. 向量解題后建議多思考傳統的方法，不僅可以鍛煉思維能力，還可以深刻認識空間幾何的本質重點難點：向量作為工具解決立幾問題的方法教學過程：相關知識與能力：一.空間距離的計算1. 空間兩點間的距離：設A、B是空間兩點，則A、B兩點間的距離d=| abnABd2.兩條異面直線間的距離：設a、b是兩條異面直線，是a、b的公共法向量（即），點Aa,Bb則異面直線a、b間的距離 即方向上的射影長為異面直線a、b間的距離。3.點

2、（或線）到平面的距離：PP0dO1）設P是平面內任一點，則PO到平面的距離2)直線與平面（或平面與平面）的距離轉化為點到平面的距離。二.空間角度的計算1. 兩條異面直線所成的角：設l1與l2兩條異面直線，l1 ， l2，則l1與l2所成的角 =或= - （0）cos=或 cos= （0）2. 斜線P0P與平面所成的角3.二面角：設相交平面與的法向量分別為，則與所成的角的大小為 或 （如何確定？）典例分析： B CD A 例1.在棱長為1的正方體中，E、F分別是的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點，應用空間向量方法求解下列問題。（1）求證：EFB1C；（2）求EF與C1G所成的角的余弦；（

3、3）求FH的長。解：以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E（0，0，）F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，0） 則即（2） 由（1）知故EF與所成角的余弦值為（3） H為C1G1的中點 H（0，），又F（） 即例2.如圖，在棱長為2的正方體中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系。（1）寫出A、B1、E、D1的坐標；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值。解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）（2） ， 與所成的角的余弦值為例3.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC

4、，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F。（1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。解：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=。（1）證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG依題意得A（），P（0，0，a），E（） 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心故點G的坐標為（）且， ，這表明PA/EG，而平面EDB且PA平面EDB PA/平面EDB（2）證明：依題意得B（），又，故 PBDE，由已知EFPB，且，所以PB平面EFD（3）解：設點F的坐標為（），則 ，所以，二面角CPCD的大小為鞏固練習：1、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P

5、，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點。（1）求證：EF/平面PAD；（2）求證：EFCD；（3）若，求EF與平面ABCD所成的角的大小。2、在正方體中，如圖E、F分別是BB1，CD的中點，（1）求證：平面ADE；（2）作業布置：如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC平面ABCD，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。2、如圖，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB/DC。（1）設E是DC的中點，求證：D1E/平面A1BD；（2）求二面角的余弦值。教學反思：在立體幾何的學習中，求各種“空間角”、和空間“距離”的難點在于作出相應的

6、“角”及作出表示“距離”的線段，并給出相應的證明。引入向量的工具，避開了“作”、“證”這個難點，提供了解決求空間角、距離及證明“垂直”、“平行”的通法。進一步強化了“坐標法”、“數形結合”和“轉化”等數學思想方法.3.2立體幾何中的向量方法課前預習學案預習目標：1. 向量的相關知識：概念、基本運算、建系方法、坐標求法（不定點的坐標）、平行與垂直、法向量求法2. 向量作為工具解決立幾問題的方法預習內容：一.空間距離的計算1. 空間兩點間的距離：設A、B是空間兩點，則A、B兩點間的距離 abnABd2.兩條異面直線間的距離：設a、b是兩條異面直線，是a、b的公共法向量（即），點Aa,Bb則異面直線

7、a、b間的距離 即方向上的射影長為異面直線a、b間的距離。3.點（或線）到平面的距離：PP0dO1）設P是平面內任一點，則PO到平面的距離2)直線與平面（或平面與平面）的距離轉化為點到平面的距離。二.空間角度的計算1. 兩條異面直線所成的角：設l1與l2兩條異面直線，l1 ， l2，則l1與l2所成的角 =或= - （0）cos=或 cos= （0）2. 斜線P0P與平面所成的角 B CD A 3.二面角：設相交平面與的法向量分別為，則與所成的角的大小為 或 （如何確定？）提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容課內探究學案學習目標：1掌握好向量的

8、相關知識：概念、基本運算、建系方法、坐標求法（不定點的坐標）、平行與垂直、法向量求法1掌握向量作為工具解決立幾問題的方法重點難點：向量作為工具解決立幾問題的方法學習過程：例1.在棱長為1的正方體中，E、F分別是的中點，G在棱CD上，且，H為C1G的中點，應用空間向量方法求解下列問題。（1）求證：EFB1C；（2）求EF與C1G所成的角的余弦；（3）求FH的長。例2.如圖，在棱長為2的正方體中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系。（1）寫出A、B1、E、D1的坐標；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值。例3.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F。（1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。當堂檢測：1、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點。（1）求證：EF/平面PAD；（2）求證：EFCD；（3）若，求EF與平面ABCD所成的角的大小。2、在正方體中，如圖E、F分別是BB1，CD的中點，（1）求證：平面ADE；（2）課后練習與提高1、如圖，