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文檔簡介

1、3. 2立體幾何中的向量方法教學目標:1. 掌握好向量的相關知識:概念、基本運算、建系方法、坐標求法(不定點的坐標)、平行與垂直、法向量求法2. 掌握向量作為工具解決立幾問題的方法3. 向量解題后建議多思考傳統的方法,不僅可以鍛煉思維能力,還可以深刻認識空間幾何的本質重點難點:向量作為工具解決立幾問題的方法教學過程:相關知識與能力:一.空間距離的計算1. 空間兩點間的距離:設A、B是空間兩點,則A、B兩點間的距離d=| abnABd2.兩條異面直線間的距離:設a、b是兩條異面直線,是a、b的公共法向量(即),點Aa,Bb則異面直線a、b間的距離 即方向上的射影長為異面直線a、b間的距離。3.點

2、(或線)到平面的距離:PP0dO1)設P是平面內任一點,則PO到平面的距離2)直線與平面(或平面與平面)的距離轉化為點到平面的距離。二.空間角度的計算1. 兩條異面直線所成的角:設l1與l2兩條異面直線,l1 , l2,則l1與l2所成的角 =或= - (0)cos=或 cos= (0)2. 斜線P0P與平面所成的角3.二面角:設相交平面與的法向量分別為,則與所成的角的大小為 或 (如何確定?)典例分析: B CD A 例1.在棱長為1的正方體中,E、F分別是的中點,G在棱CD上,且,H為C1G的中點,應用空間向量方法求解下列問題。(1)求證:EFB1C;(2)求EF與C1G所成的角的余弦;(

3、3)求FH的長。解:以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則E(0,0,)F()C(0,1,0)B1(1,1,1)C1(0,1,1),G(0,0) 則即(2) 由(1)知故EF與所成角的余弦值為(3) H為C1G1的中點 H(0,),又F() 即例2.如圖,在棱長為2的正方體中,E是DC的中點,取如圖所示的空間直角坐標系。(1)寫出A、B1、E、D1的坐標;(2)求AB1與D1E所成的角的余弦值。解:(1)A(2,2,0)B1(2,0,2),E(0,1,0),D1(0,2,2)(2) , 與所成的角的余弦值為例3.如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PD=DC

4、,E是PC的中點,作EFPB交PB于點F。(1)證明PA/平面EDB;(2)證明PB平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小。解:如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點,設DC=。(1)證明:連結AC,AC交BD于G,連結EG依題意得A(),P(0,0,a),E() 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心故點G的坐標為()且, ,這表明PA/EG,而平面EDB且PA平面EDB PA/平面EDB(2)證明:依題意得B(),又,故 PBDE,由已知EFPB,且,所以PB平面EFD(3)解:設點F的坐標為(),則 ,所以,二面角CPCD的大小為鞏固練習:1、如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點P

5、,PA平面ABCD,E、F分別是AB、PC的中點。(1)求證:EF/平面PAD;(2)求證:EFCD;(3)若,求EF與平面ABCD所成的角的大小。2、在正方體中,如圖E、F分別是BB1,CD的中點,(1)求證:平面ADE;(2)作業布置:如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是AB、AD的中點,GC平面ABCD,且GC=2,求點B到平面EFG的距離。2、如圖,在直四棱柱中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,AB/DC。(1)設E是DC的中點,求證:D1E/平面A1BD;(2)求二面角的余弦值。教學反思:在立體幾何的學習中,求各種“空間角”、和空間“距離”的難點在于作出相應的

6、“角”及作出表示“距離”的線段,并給出相應的證明。引入向量的工具,避開了“作”、“證”這個難點,提供了解決求空間角、距離及證明“垂直”、“平行”的通法。進一步強化了“坐標法”、“數形結合”和“轉化”等數學思想方法.3.2立體幾何中的向量方法課前預習學案預習目標:1. 向量的相關知識:概念、基本運算、建系方法、坐標求法(不定點的坐標)、平行與垂直、法向量求法2. 向量作為工具解決立幾問題的方法預習內容:一.空間距離的計算1. 空間兩點間的距離:設A、B是空間兩點,則A、B兩點間的距離 abnABd2.兩條異面直線間的距離:設a、b是兩條異面直線,是a、b的公共法向量(即),點Aa,Bb則異面直線

7、a、b間的距離 即方向上的射影長為異面直線a、b間的距離。3.點(或線)到平面的距離:PP0dO1)設P是平面內任一點,則PO到平面的距離2)直線與平面(或平面與平面)的距離轉化為點到平面的距離。二.空間角度的計算1. 兩條異面直線所成的角:設l1與l2兩條異面直線,l1 , l2,則l1與l2所成的角 =或= - (0)cos=或 cos= (0)2. 斜線P0P與平面所成的角 B CD A 3.二面角:設相交平面與的法向量分別為,則與所成的角的大小為 或 (如何確定?)提出疑惑同學們,通過你的自主學習,你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容課內探究學案學習目標:1掌握好向量的

8、相關知識:概念、基本運算、建系方法、坐標求法(不定點的坐標)、平行與垂直、法向量求法1掌握向量作為工具解決立幾問題的方法重點難點:向量作為工具解決立幾問題的方法學習過程:例1.在棱長為1的正方體中,E、F分別是的中點,G在棱CD上,且,H為C1G的中點,應用空間向量方法求解下列問題。(1)求證:EFB1C;(2)求EF與C1G所成的角的余弦;(3)求FH的長。例2.如圖,在棱長為2的正方體中,E是DC的中點,取如圖所示的空間直角坐標系。(1)寫出A、B1、E、D1的坐標;(2)求AB1與D1E所成的角的余弦值。例3.如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EFPB交PB于點F。(1)證明PA/平面EDB;(2)證明PB平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小。當堂檢測:1、如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點P,PA平面ABCD,E、F分別是AB、PC的中點。(1)求證:EF/平面PAD;(2)求證:EFCD;(3)若,求EF與平面ABCD所成的角的大小。2、在正方體中,如圖E、F分別是BB1,CD的中點,(1)求證:平面ADE;(2)課后練習與提高1、如圖,

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