1、3. 2立體幾何中的向量方法教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握好向量的相關(guān)知識(shí)：概念、基本運(yùn)算、建系方法、坐標(biāo)求法（不定點(diǎn)的坐標(biāo)）、平行與垂直、法向量求法2. 掌握向量作為工具解決立幾問題的方法3. 向量解題后建議多思考傳統(tǒng)的方法，不僅可以鍛煉思維能力，還可以深刻認(rèn)識(shí)空間幾何的本質(zhì)重點(diǎn)難點(diǎn)：向量作為工具解決立幾問題的方法教學(xué)過程：相關(guān)知識(shí)與能力：一.空間距離的計(jì)算1. 空間兩點(diǎn)間的距離：設(shè)A、B是空間兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)間的距離d=| abnABd2.兩條異面直線間的距離：設(shè)a、b是兩條異面直線，是a、b的公共法向量（即），點(diǎn)Aa,Bb則異面直線a、b間的距離 即方向上的射影長為異面直線a、b間的距離。3.點(diǎn)

2、（或線）到平面的距離：PP0dO1）設(shè)P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則PO到平面的距離2)直線與平面（或平面與平面）的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。二.空間角度的計(jì)算1. 兩條異面直線所成的角：設(shè)l1與l2兩條異面直線，l1 ， l2，則l1與l2所成的角 =或= - （0）cos=或 cos= （0）2. 斜線P0P與平面所成的角3.二面角：設(shè)相交平面與的法向量分別為，則與所成的角的大小為 或 （如何確定？）典例分析： B CD A 例1.在棱長為1的正方體中，E、F分別是的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題。（1）求證：EFB1C；（2）求EF與C1G所成的角的余弦；（

3、3）求FH的長。解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，）F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，0） 則即（2） 由（1）知故EF與所成角的余弦值為（3） H為C1G1的中點(diǎn) H（0，），又F（） 即例2.如圖，在棱長為2的正方體中，E是DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。（1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值。解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）（2） ， 與所成的角的余弦值為例3.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC

4、，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F。（1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=。（1）證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG依題意得A（），P（0，0，a），E（） 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）且， ，這表明PA/EG，而平面EDB且PA平面EDB PA/平面EDB（2）證明：依題意得B（），又，故 PBDE，由已知EFPB，且，所以PB平面EFD（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），則 ，所以，二面角CPCD的大小為鞏固練習(xí)：1、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P

5、，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)。（1）求證：EF/平面PAD；（2）求證：EFCD；（3）若，求EF與平面ABCD所成的角的大小。2、在正方體中，如圖E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)，（1）求證：平面ADE；（2）作業(yè)布置：如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離。2、如圖，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB/DC。（1）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D1E/平面A1BD；（2）求二面角的余弦值。教學(xué)反思：在立體幾何的學(xué)習(xí)中，求各種“空間角”、和空間“距離”的難點(diǎn)在于作出相應(yīng)的

6、“角”及作出表示“距離”的線段，并給出相應(yīng)的證明。引入向量的工具，避開了“作”、“證”這個(gè)難點(diǎn)，提供了解決求空間角、距離及證明“垂直”、“平行”的通法。進(jìn)一步強(qiáng)化了“坐標(biāo)法”、“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想方法.3.2立體幾何中的向量方法課前預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo)：1. 向量的相關(guān)知識(shí)：概念、基本運(yùn)算、建系方法、坐標(biāo)求法（不定點(diǎn)的坐標(biāo)）、平行與垂直、法向量求法2. 向量作為工具解決立幾問題的方法預(yù)習(xí)內(nèi)容：一.空間距離的計(jì)算1. 空間兩點(diǎn)間的距離：設(shè)A、B是空間兩點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)間的距離 abnABd2.兩條異面直線間的距離：設(shè)a、b是兩條異面直線，是a、b的公共法向量（即），點(diǎn)Aa,Bb則異面直線

7、a、b間的距離 即方向上的射影長為異面直線a、b間的距離。3.點(diǎn)（或線）到平面的距離：PP0dO1）設(shè)P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，則PO到平面的距離2)直線與平面（或平面與平面）的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離。二.空間角度的計(jì)算1. 兩條異面直線所成的角：設(shè)l1與l2兩條異面直線，l1 ， l2，則l1與l2所成的角 =或= - （0）cos=或 cos= （0）2. 斜線P0P與平面所成的角 B CD A 3.二面角：設(shè)相交平面與的法向量分別為，則與所成的角的大小為 或 （如何確定？）提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1掌握好向量的

8、相關(guān)知識(shí)：概念、基本運(yùn)算、建系方法、坐標(biāo)求法（不定點(diǎn)的坐標(biāo)）、平行與垂直、法向量求法1掌握向量作為工具解決立幾問題的方法重點(diǎn)難點(diǎn)：向量作為工具解決立幾問題的方法學(xué)習(xí)過程：例1.在棱長為1的正方體中，E、F分別是的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題。（1）求證：EFB1C；（2）求EF與C1G所成的角的余弦；（3）求FH的長。例2.如圖，在棱長為2的正方體中，E是DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。（1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值。例3.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F。（1）證明PA/平面EDB；（2）證明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。當(dāng)堂檢測(cè)：1、如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)。（1）求證：EF/平面PAD；（2）求證：EFCD；（3）若，求EF與平面ABCD所成的角的大小。2、在正方體中，如圖E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)，（1）求證：平面ADE；（2）課后練習(xí)與提高1、如圖，