1、函數 極限 連續一. 填空題1設 , 則a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解. 所以 0, b 0解. = 4. 求下列函數的間斷點并判別類型(1) 解. , 所以x = 0為第一類間斷點.(2) 解. 顯然 , 所以x = 1為第一類間斷點;, 所以x = 1為第一類間斷點.(3) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0為第一類跳躍間斷點; 不存在. 所以x = 1為第二類間斷點; 不存在, 而 ,所以x = 0為第一類可去間斷點; , (k = 1, 2, ) 所以x = 為第二類無窮間斷點.5. 設 , 且x = 0 是f(x)的可

2、去間斷點. 求a, b.解. x = 0 是f(x)的可去間斷點, 要求 存在. 所以 . 所以 0 = = 所以a = 1. = 上式極限存在, 必須 . 6. 設 , b 0, 求a, b的值.解. 上式極限存在, 必須a = (否則極限一定為無窮). 所以 = . 所以 .7. 討論函數 在x = 0處的連續性.解. 當 時不存在, 所以x = 0為第二類間斷點;當 時, 所以 時,在 x = 0連續, 時, x = 0為第一類跳躍間斷點.8. 設f(x)在a, b上連續, 且a x1 x2 xn b, ci (i = 1, 2, 3, , n)為任意正數, 則在(a, b)內至少存在一

3、個x, 使 .證明: 令M = , m = . 不妨假定 所以 m M所以存在x( a x1 x xn b), 使得 9. 設f(x)在a, b上連續, 且f(a) b, 試證在(a, b)內至少存在一個x, 使f(x) = x.證明: 假設F(x) = f(x)x, 則F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)內至少存在一個x, 使f(x) = x.10. 設f(x)在0, 1上連續, 且0 f(x) 1, 試證在0, 1內至少存在一個x, 使f(x) = x.證明: (反證法) 反設 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨設 . 令 , 則 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以

4、在0, 1內至少存在一個x, 使f(x) = x.11. 設f(x), g(x)在a, b上連續, 且f(a) g(b), 試證在(a, b)內至少存在一個x, 使f(x) = g(x).證明: 假設F(x) = f(x)g(x), 則F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)內至少存在一個x, 使f(x) = x.12. 證明方程x53x2 = 0在(1, 2)內至少有一個實根.證明: 令F(x) = x53x2, 則F(1) =4 0所以 在(1, 2)內至少有一個x, 滿足F(x) = 0.13. 設f(x)在x = 0的某領域內二階可導, 且 , 求 及 .解. .

5、 所以 . f(x)在x = 0的某領域內二階可導, 所以 在x = 0連續. 所以f(0) = 3. 因為 , 所以 , 所以 = 由 , 將f(x)泰勒展開, 得 , 所以 , 于是.(本題為2005年教材中的習題, 2006年教材中沒有選入. 筆者認為該題很好, 故在題解中加入此題)倒數與微分一. 填空題(理工類)1. , 則 = _.解. , 假設 , 則 , 所以 2. 設 , 則 _.解. , 3. 設函數y = y(x)由方程 確定, 則 _.解. , 所以 4. 已知f(x) =f(x), 且 , 則 _.解. 由f(x) =f(x)得 , 所以 所以 5. 設f(x)可導,

6、則 _.解. = + = 6. 設 , 則k = _.解. , 所以 所以 7. 已知 , 則 _.解. , 所以 . 令x2 = 2, 所以 8. 設f為可導函數, , 則 _.解. 9. 設y = f(x)由方程 所確定, 則曲線y = f(x)在點(0, 1)處的法線方程為_.解. 上式二邊求導 . 所以切線斜率 . 法線斜率為 , 法線方程為 , 即 x2y + 2 = 0.二. 單項選擇題(理工類)1. 設f(x)可導, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 則f(0) = 0是F(x)在x = 0處可導的(a) 充分必要條件 (b) 充分但非必要條件 (c) 必要但非充分

7、條件(d) 既非充分又非必要條件解. 必要性:存在, 所以 = , 于是= = = = = = 所以 , 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以= = = = = = = = 所以 存在. (a)是答案.2. 已知函數f(x)具有任意階導數, 且 , 則當n為大于2的正整數時, f(x)的n階導數是(a) (b) (c) (d) 解. , 假設 = , 所以 = , 按數學歸納法 = 對一切正整數成立. (a)是答案.3. 設函數對任意x均滿足f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中a, b為非零常數, 則(a) f(x)在x = 1處不可導 (b

8、) f(x)在x = 1處可導, 且 a(c) f(x)在x = 1處可導, 且 b (d) f(x)在x = 1處可導, 且 ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入 = , 所以. (d)是答案注: 因為沒有假設 可導, 不能對于 二邊求導.4. 設 , 則使 存在的最高階導數n為(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.5. 設函數y = f(x)在點x0處可導, 當自變量x由x0增加到x0 + Dx時, 記Dy為f(x)的增量, dy為f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定義Dy = dy

9、 + o(Dx), 所以 . (b)是答案.6. 設 在x = 0處可導, 則(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b為任意常數 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b為任意常數解. 在x = 0處可導一定在x = 0處連續, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 設f(0) = 0, 則f(x)在x = 0處可導的充要條件為(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由 存在可推出(a)中的極限值為 , (b)中的極限值為 - , (d)中的極限值為 , 而(c)中的極限為: ;反之(a

10、) 及(c)中的極限值存在, 不一定 存在, 舉反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表達式的極限都存在 排除(a)及(c). (d)中的極限存在, 不一定 存在, 舉反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案. 由(b)推出 存在證明如下: = = 所以 存在.8. 設函數f(x)在(, +)上可導, 則(a) 當 時, 必有 (b) 當 時, 必有 (c) 當 時, 必有 (d) 當 時, 必有 解. (a)不正確. 反例如下: y = x; (b)不正確. 反例如下: ; (c)不正確. 反例如下: ; (d)是答案. 證明如下: 因為 , 所以對于充分大的x, 單

11、增. 如果 , 則證明結束, 否則 單增有上界, 則 存在(k為有限數). 任取x, 在區間x, x + 1上用拉格朗日定理 (x x 0且 . (d) f(a) 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可導. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 對于(b)證明如下: 在(b)的條件下證明 不存在. 不妨假設 . . 所以存在d, 當x (ad, a + d)時 . 所以當x a時, f(x) 0. 于是 . 當x a時f(x) 0. 于是 . 所以 不存在.三. 計算題(理工類)1. 解. 2. 已知f(u)可導, 解. = 3.

12、設y為x的函數是由方程 確定的, 求 .解. , 所以 4. 已知 , 求 .解. , 5. 設 , 求 解. , 6. 設函數f(x)二階可導, , 且 , 求 , .解. , 所以 =3. 所以 7. 設曲線x = x(t), y = y(t)由方程組 確定. 求該曲線在t = 1處的曲率.解. . 所以 所以 . 所以 . 在t = 1的曲率為 四. 已知 , 其中g(x)有二階連續導數, 且g(0) = 1(1) 確定a 的值, 使f(x)在x = 0點連續; (2) 求 .解. (1) f(x)在x = 0點連續, 所以 , 所以 , 所以g(0) = cos 0 = 1(這說明條件

13、g(0) = 1是多余的). 所以 = (2) 方法1: = = = (0 x 0)解. 令 = 5. 解. 令 = = = = 6. 解. 令 = 三. 求下列不定積分:1. 解. 2. 解. 令 , = 四. 求下列不定積分:1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定積分:1. 解. 2. 解. = 3. 解. 4. 解. 六. 求下列不定積分:1. 解. = = = = = 2. 解. = 3. 解. 七. 設 , 求 .解. 考慮連續性, 所以 c =1+ c1, c1 = 1 + c 八. 設 , (a, b為不同時為零的常數), 求f(x).解. 令 , , 所以 = 九.

14、設當x 0時, 連續, 求 .解. = = + = +c.十. 設 , 求f(x).解.令 , 所以 所以 十一. 求下列不定積分:1. 解. 令 = 2. 解. 令 = 3. 解. + = = 4. (a 0)解. = = = = = = 十二. 求下列不定積分:1. 解. = 2. 解. = = = 一若f(x)在a，b上連續, 證明: 對于任意選定的連續函數F(x), 均有 , 則f(x) 0.證明: 假設f(x) 0, a x 0. 因為f(x)在a，b上連續, 所以存在d 0, 使得在xd, x + d上f(x) 0. 令m = . 按以下方法定義a，b上F(x): 在xd, x +

15、 d上F(x) = , 其它地方F(x) = 0. 所以 .和 矛盾. 所以f(x) 0.二. 設l為任意實數, 證明: = .證明: 先證: = 令 t = , 所以 = 于是= 所以 = .所以 同理 .三已知f(x)在0，1上連續, 對任意x, y都有|f(x)f(y)| 0, (0 t 0, 證明: 對于滿足0 a b 1的任何 a, b, 有 證明: 令 (x a), ., (這是因為t a, x a, 且f(x)單減).所以 , 立即得到 六. 設f(x)在a, b上二階可導, 且 0, 證明: 證明: x, ta, b, 令 , 所以 二邊積分 = .七. 設f(x)在0, 1上

16、連續, 且單調不增, 證明: 任給a (0, 1), 有 證明: 方法一: 令 (或令 ) , 所以F(x)單增; 又因為F(0) = 0, 所以F(1) F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由積分中值定理, 存在x0, a, 使 ;由積分中值定理, 存在ha, 1, 使 因為 .所以 八. 設f(x)在a, b上具有二階連續導數, 且 , 證明: 在(a, b)內存在一點x, 使 證明: 對于函數 ，用泰勒公式展開： t, x a, b = (1)(1)中令x = a, t = b, 得到 (2)(1)中令x = b, t = a, 得到 (3)(3)(2)得到 于是 = 注: 因為需

17、要證明的等式中包含 , 其中二階導數相應于(ba)的三次冪, 所以將 泰勒展開; 若導數的階數和冪指數相同, 一般直接將f(x)泰勒展開.九. 設f連續, 證明: 證明: = 所以 2 即 十. 設f(x)在a, b上連續, 在a, b內存在而且可積, f(a) = f(b) = 0, 試證: , (a x b)證明: , 所以 , 即 ;即 所以 即 , (a x 0因為f(0) = f(1) = 0$x0 (0,1)使 f(x0) = (f(x)所以 （1）在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以（因為 ）所以 由（1）得十二設f(x)在a, b上連續, 且f

18、(x) 0,則 證明: 將lnx在x0用臺勞公式展開 （1）令 x = f（t） 代入（1）將上式兩邊取 ，最后一項為0，得十三. 設f(x)在0, 1上有一階連續導數, 且f(1)f(0) = 1, 試證: 證明: 十四. 設函數f(x)在0, 2上連續, 且 = 0, = a 0. 證明: $ x 0, 2, 使|f(x)| a.解. 因為f(x)在0, 2上連續, 所以|f(x)|在0, 2上連續, 所以$ x 0, 2, 取x使|f(x)| = max |f(x)| (0 x 2)使|f(x)| |f(x)|. 所以 一. 計算下列廣義積分:(1) (2) (3) (4) (5) (6

19、) 解. (1) (2) (3) 因為 , 所以 積分收斂.所以=2 (4) (5) (6) 微分中值定理與泰勒公式一. 設函數f(x)在閉區間0, 1上可微, 對于0, 1上每一個x, 函數f(x)的值都在開區間(0, 1)內, 且 , 證明: 在(0, 1)內有且僅有一個x, 使f(x) = x.證明: 由條件知0 f(x) 0, F(1) 0, 所以存在x (0, 1), 使F(x) = 0. 假設存在x1, x2 (0, 1), 不妨假設x2 x1, 滿足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1x2 = f(x1)f(x2) = . (x2 h x1). 所以 , 矛

20、盾.二. 設函數f(x)在0, 1上連續, (0, 1)內可導, 且 . 證明: 在(0, 1)內存在一個x, 使 .證明: , 其中x1滿足 .由羅爾定理, 存在x, 滿足0 x x1, 且 .三設函數f(x)在1, 2上有二階導數, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 證明: 在(1, 2)內至少存在一個x, 使 .證明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 x1 2, 滿足 . 所以 .所以存在x, 滿足1 x 0)上連續, 在(0, x)內可導, 且f(0) = 0, 試證: 在(0, x)內存在一個x, 使 .證明: 令F(t

21、) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理 , x (0, x)所以 , 即 五. 設f(x)在a, b上可導, 且ab 0, 試證: 存在一個x (a, b), 使 證明: 不妨假設a 0, b 0. 令 . 在a, b上使用拉格朗日定理 六. 設函數f(x), g(x), h(x)在a, b上連續, 在(a, b)內可導, 證明:存在一個x (a, b), 使 證明: 令 , 則F(a) = F(b) = 0, 所以存在一個x (a, b), 使 七. 設函數f(x)在0, 1上二階可導, 且f(0) = f(1) = 0, 試證: 至少存在一個x (0,

22、 1), 使 證明: ( , 二邊積分可得 , 所以 )令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x (h, 1), . 立即可得 八. 設f(x)在x1, x2上二階可導, 且0 x1 0, 證明: 存在一個x (x1, x2)或(x2, x1), 使 證明: 不妨假設0 x1 x2時, 都有f(x1) f(x2), 則(a) 對任意x, (b) 對任意x, (c) 函數f(x)單調增加 (d) 函數f(x)單調增加解. (a) 反例: , 有 ; (b) 顯然錯誤. 因為 , 函數單減; (c) 反例: , 單調減

23、少; 排除(a), (b), (c)后, (d)為答案. 具體證明如下:令F(x) = f(x), x1 x2, x1 f(x2) = F(x2).2. 設f(x)在p, +p上連續, 當a為何值時, 的值為極小值.(a) (b) (c) (d) 解. 為a的二次式.所以當a = , F(a)有極小值.3. 函數y = f(x)具有下列特征:f(0) = 1; , 當x 0時, ; , 則其圖形(a) (b) (c) (d) 1 1 1 1解. (b)為答案.4. 設三次函數 , 若兩個極值點及其對應的兩個極值均為相反數, 則這個函數的圖形是(a) 關于y軸對稱 (b) 關于原點對稱 (c)

24、關于直線y = x軸對稱 (d) 以上均錯解. 假設兩個極值點為x = t及 x = t (t 0), 于是f(t) =f(t). 所以 , 所以b + d = 0的根為 x = t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以 為奇函數, 原點對稱. (b)為答案.5. 曲線 與x軸所圍圖形面積可表示為(a) (b) (c) (d) 解. 0 1 2 由圖知(c)為答案.二. 填空題1. 函數 (x 0)的單調減少區間_.解. , 所以0 x b 0)之間的圖形的面積_.解. 二橢圓的第一象限交點的x坐標為 . 所以所求面積為 = = = 4paba= 4. x2 + y2 = a2繞x =

25、b(b a 0)旋轉所成旋轉體體積_.解. b a由圖知 = = (5) 求心臟線r = 4(1+cosq)和直線q = 0, q = 圍成圖形繞極軸旋轉所成旋轉體體積_.解. 極坐標圖形繞極旋轉所成旋轉體體積公式 所以 = 三. 計算題1. 在直線xy + 1=0與拋物線 的交點上引拋物線的法線, 試求由兩法線及連接兩交點的弦所圍成的三角形的面積.解. 由聯立方程 解得交點坐標 , 由 求得二條法線的斜率分別為 , . 相應的法線為, . 解得法線的交點為 . 已知三點求面積公式為 所以 .2. 在拋物線y = x2上一點P(a, a2)作切線, 問a為何值時所作切線與拋物線y =x2 +

26、4x1所圍圖形面積最小解. 切線和拋物線的交點為 3. 求通過點(1, 1)的直線y = f(x)中, 使得 為最小的直線方程.解. 過點(1, 1)的直線為 y = kx + 1k所以F(k) = = = = k = 2所求直線方程為 y = 2x14. 求函數 的最大值與最小值.解. , 解得 x = 0, x = , , =1所以, 最大值 , 最小值 .(5) 求曲線y = x32x與y = x2所圍陰影部分面積S, 并將此面積繞y軸旋轉, 求此旋轉體體積.無窮級數一. 選擇題1. 設a為常數, 則級數 (A) 絕對收斂. (B) 發散. (C) 條件收斂. (D) 斂散性與a取值有關

27、. 解. 絕對收斂, 發散, 所以 發散. (B)是答案2. 設 , 則(A) 與 都收斂. (B) 與 都發散.(C) 收斂, 而 發散. (D) 發散, 收斂.解. 由萊布尼茲判別法 收斂, . 因為 , 發散, 所以 發散. ( C)是答案.3. 設函數 , 而 . 其中 , 則 等于(A) , (B) , (C) , (D) 解. 是 進行奇展拓后展成的富氏級數. 所以 = . (B)是答案.4. 設 條件收斂, 則(A) 收斂, (B) 發散, (C) 收斂,(D) 和 都收斂.解. 因為 條件收斂, 所以 . 對于(C), 所以 . (C)是答案.5. 設級數 收斂, 則必定收斂的

28、級數為(A) (B) (C) (D) 解. 收斂, 所以 收斂. 收斂級數的和收斂. 所以(D)是答案. 對于(C)有以下反例: , , . 所以發散.6. 若 在 處收斂, 則此級數在 處 (A) 條件收斂, (B) 絕對收斂, (C) 發散, (D) 收斂性不確定. 解. 因為在 收斂, 所以收斂半徑大于2. 冪級數在收斂半徑內的任何點都絕對收斂. (B)是答案.7. 設冪級數 的收斂半徑為3, 則冪級數 的必定收斂的區間為 (A) (2, 4) (B) 2, 4 (C) (3, 3) (D) (4, 2)解. 和 有相同收斂半徑. 所以 , 在(2, 4)中級數一定收斂, 在端點級數不一

29、定收斂. 所以答案為(A).二. 判斷下列級數的斂散性:1. 解. 因為 , 所以 和 有相同的斂散性. 又因為 發散, 由積分判別法知 發散. 所以原級數發散.2. 解. 因為, 所以 和 有相同的斂散性. 收斂, 所以原級數收斂.3. 解. , 所以級數發散.4. 解. , 所以級數收斂.5. 解. ， 所以級數收斂.6. 解. 拉阿伯判別法: , . 1, 所以級數收斂.7. 解. , 級數收斂.8. 解. , 級數收斂.9. 解. 考察極限 令 , = 所以 , 即原極限為1. 原級數和 有相同的斂散性. 原級數發散.10. 解. , 級數發散.三. 判斷下列級數的斂散性1. 解. 因

30、為 , 級數發散.2. 解. , 令 當x 0時, , 所以數列 單減. 根據萊布尼茲判別法級數收斂.因為 , 而 發散, 所以 發散. 原級數條件收斂.3. 解. 因為 , 所以 收斂, 原級數絕對收斂.4. 解. 因為 所以 收斂, 原級數絕對收斂.5. 解. =1, 收斂, 原級數絕對收斂.6. 解. .因為 , 又因為 , 條件收斂, 所以原級數條件收斂.四. 1.設正項數列 單調下降, 且 發散, 證明: 級數 收斂.2. 設正項數列 , 滿足 為常數), 證明: 級數 收斂.證明: 1. 因為正項數列 單調下降, 且 發散, 由萊布尼茲判別法, 存在, 且 . 容易證明: .(反設

31、存在N, 使得 . 則, 令 , 得到 , 矛盾). 所以. 因為 收斂, 所以 收斂.2. 考察數列 ,因為 為常數), 所以 , 即該數列遞減有下界, 于是 存在. 由此推出 收斂. , 所以級數 收斂.五. 求下列級數的收斂域:1. 解. 第一個級數的收斂半徑為 , 第二個級數的收斂半徑為1. 所以它們的共同收斂區域為 . 考察端點:當 時, 得 第一個級數發散, 第二個級數收斂. 所以該級數發散. 原級數的收斂區域為 .2. 解. , 于是 . 當 時, 得 , 收斂;當 時, 得 , 收斂. 于是原級數的收斂區域為1, 1.3. 解. . 當 時, 得數項級數 及 , 通項都不趨于0

32、, 發散. 該級數的收斂區域為 .4. 解. 第一個級數的收斂區域(1, 1); 第二個級數的收斂區域 . 所以公共收斂區域為 .5. 解. . 當 時得數項級數 , 發散. 該級數的收斂區域為(2, 4).6. 解. . 當 時, 得 收斂, 當 時, 得 發散斂. 該級數的收斂區域為4, 6).矢量代數與空間解析幾何一. 已知 , 問: 系數l為何值時, 向量 垂直.解. = . 所以 .二. 求同時垂直于矢量 的單位矢量.解. 假設所求矢量為 , 則, 的模 = 所以 = 三. 若 , , , 式中 , 化簡表達式 .解. = ( ) + 3 ( ) ( ) + 1 = 四. 求平行四邊

33、形面積, 若已知對角線為矢量 , , .解. 假設平行四邊形的二邊為矢量 不妨假設 , 所以 平行四邊形面積 = 五. 設 , , 其中 問:1. k為何值時, ;2. k為何值時, 為鄰邊的平行四邊形面積為6.解. 1. . 所以 , k =2;2. 平行四邊形面積為 的模. 所以 6= , 所以 , 六. 求通過三平面 的交點, 且平行于平面 的平面方程.解. 所求平面平行于 , 所以該平面的法矢為(1, 1, 2).三平面的交點為 , 解得 x = 1, y = 1, z = 1.所以所求平面為 即 七. 過平面x + 28y2z + 17 = 0 和平面5x + 8yz + 1 = 0的交線, 作球面 的切平面, 求切平面方程.解. 過平面x + 28y2z + 17 = 0 和平面5x + 8yz + 1 = 0的交線的平面方程為 即 假設平面和球面的切點為 , 于是在該點的法矢量為 . 所以得到: 由第二式解出 和 的關系, 代入第一式, 并注意到