1、線性代數考試復習提綱、知識點、例題、行列式的計算（重點考四階行列式）1、利用行列式的性質化成三角行列式行列式的性質可概括為五條性質、四條推論，即七種變形手段（轉 置、交換、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三個為0兩行（列）相同、成比例、一行（列）全為 0】2、行列式按行（列）展開定理降階3i1 Ai1ai2A2行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘in Ani 1,2,., n例1、計算行列式2432211043250531、解矩陣方程矩陣方程的標準形式:AX若系數矩陣可逆，則X A1B切記不能寫成XA 1B 1C 或 XXA B AXB C111X BA1 X A 1CB

2、1CAB求逆矩陣的方法:1、待定系數法ABE（或 BA E）2、伴隨矩陣法A11AaA其中A叫做A的伴隨矩陣,它是| A的每一行的元素的代數余子式排在相同序數的列上的矩陣。3、初等變換法A E初等行變換E A 1例2、解矩陣方程;；x；; 二;60 1011例3、解矩陣方程X AX B ,其中A1 11B 201 0153三、解齊次或非齊次線性方程組設A a。，n元齊次線性方程組AX 0有非零解r(A) nm nn元齊次線性方程組AX 0只有零解 r(A) n。當mn時，n元齊次線性方程組AX0只有零解| A0。當mn時，n元齊次線性方程組AX0有非零解A0。當m n時，齊次線性方程組一定有非

3、零解。定義：設齊次線性方程組AX 0的解1,., t滿足：(1) 1,., t線性無關，(2) AX 0的每一個解都可以由i,., t線性表示。則i,., t叫做AX 0的基礎解系。定理1、設Amn,齊次線性方程組AX 0,若r(A) r n,則該方程組的基礎解系一定存在，且每一個基礎解系中所含解向量的個數都等于n r。齊次線性方程組的通解x k1 1 . kn r n r %.,(R設A a。mn, n元非齊次線性方程組AX B有解 r(A) r(A) o唯一解r(A) r(A) n o無數解r(A) r(A) n o無解 r(A) r(A)o非齊次線性方程組的通解x k1 1k1,.,kn

4、 rRx1 x2 2x3 x4 0例4、求齊次線性方程組2x1 x22x1 2x2x3 x4 0的通解x3 2x4 0例5、求非齊次線性方程組x1 x23x1 x2x1 5x23x3 x4 13x3 4x4 4的通解。9x3 8x4 0四、含參數的齊次或非齊次線性方程組的解的討論x y z 0例6、當 為何值時，齊次線性方程組x y z 0有非零解，并求解2x y z 02x1 x2 x32例7、已知線性方程組 xi 2x2 x3，問當為何值時，它有唯一2x1 x2 2x3解，無解，無窮多解，并在有無窮多解時求解。五、向量組的線性相關性1, 2，s線性相關1, 2，s(S 2)中至少存在一個向

5、量能由其余向量線性表示。存在不全為0的數k1,k2,.,ks使得冗1 k2 2 . ks s 0。k1k21， 2，.， s0有非零解1K，k2，.,ks20 有非零解.sk1；,2,., sk20有非零解.ks1, 2,., s線性無關1, 2,., s(s 2)中任意一個向量都不能由其余向量線性表示。若k11k22 .kss 0,貝 Uk1k2.ks0。k11歹Uk行1, 2,，s 20只有零解ki,k2,.,ks20只有零解 .kss1特殊的，n個n維向量1, 2,., n線性相關| 1, 2,., n 0或2 0。 . n1n個n維向量1, 2,., n線性無關| 1, 2,., n|

6、。或2 。. n例 8、已知向量組 1t,2,1,22,t,0 ,31, 1,1 ,討論t使該向量組（1）線性相關（2）線性無關六、求向量組的秩，極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示設向量組A: 1, 2,., s,若從A中選出r個向量構成向量組A0： i1, i2,., ir 滿足：（1）人線性無關（2） A中的每一個向量都能由A。線性表示，條件（2）換一句話說A的任意r 1個向量（若有的話）都線性 相關，或者說從A中向4任意添加一個向量（若有的話），所得的向 量組都線性相關。則A0叫做A的極大線性無關向量組，簡稱極大無關組。向量組的極大無關組所含向量的個數叫做向量組的秩，記作 r

7、1, 2,., s r求向量組的秩的方法:(1)擴充法 (2)子式法m m n最高階非0子式的階數就是矩陣的秩，也就是這個向量組的秩，并且這個子式的行(列)對應的原向量組的向量就 是這個向量組的一個極大無關組。(3)初等變換法 同法二構成矩陣，對矩陣進行初等變換。例9、設向量組求(1)向量組的秩；(2)向量組的一個極大線性無關組，并把其余向量用這個極大線性無關組線性表示。七、相似矩陣的性質與矩陣可相似對角化問題相似矩陣的性質：1、相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，行列式，跡。特征值相同是兩個矩陣相似的必要而非充分條件。2、相似矩陣有相同的秩。秩相等是方陣相似的必要而非充分條件。3

8、、相似矩陣有相同的可逆性，當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。4、若A與B相似，則Ak與片相似，k N,則(A)與(B)相似。1A與2 相似OnAn有n個線性無關的特征向量P1,P2,., Pn ,且以它們為列向量組的矩陣P使P 1AP1, 2,，n分別為與Pi, P2,Pn對應的A的特征值。若A有n個互不相等的特征值1, 2,., n ,則A 一定與12 相似。 OnA與 相似 對應于A的每個特征值的線性無關的特征向量的個數等于該特征值的重數。n r( E A) k 其中k為的重數124500例10、設矩陣A2x2與B0y0相似421004(1) 求x與y;(2)求可逆矩陣P ,使P 1AP B。0 0 1例11、設A 1 1 a ,問a為何值時，矩陣A能相似對角化。1 0 0例12、設三階矩陣A的特征值為11 ,2 2 ,3 3 ,對應的特征向量依次為11,1,17 ,21,2,4 ,31,3",求矩陣A。例13、設三階實對稱矩陣A的特征向值1,1,1 ，與特征值1對應的 特征向量為11,1,1 ,求A。八、化二次型為標準型，并求所用