1、培優點五 導數的應用1利用導數判斷單調性例1：求函數的單調區間【答案】見解析【解析】第一步：先確定定義域，定義域為，第二步：求導：，第三步：令，即，第四步：處理恒正恒負的因式，可得，第五步：求解，列出表格2函數的極值例2：求函數的極值【答案】的極大值為，無極小值【解析】令解得：，的單調區間為：的極大值為，無極小值3利用導數判斷函數的最值例3：已知函數在區間上取得最小值4，則_【答案】【解析】思路一：函數的定義域為，當時，當時，為增函數，所以，矛盾舍去；當時，若，為減函數，若，為增函數，所以為極小值，也是最小值；當，即時，在上單調遞增，所以，所以（矛盾）；當，即時，在上單調遞減，所以；當，即時，

2、在上的最小值為，此時（矛盾）綜上思路二：，令導數，考慮最小值點只有可能在邊界點與極值點處取得，因此可假設，分別為函數的最小值點，求出后再檢驗即可對點增分集訓一、單選題1函數的單調遞減區間為（ ）ABCD【答案】A【解析】函數的導數為，令，得，結合函數的定義域，得當時，函數為單調減函數因此，函數的單調遞減區間是故選A2若是函數的極值點，則（ ）A有極大值B有極小值C有極大值0D有極小值0【答案】A【解析】因為是函數的極值點，所以，當時，；當時，因此有極大值，故選A3已知函數在上單調遞減，且在區間上既有最大值，又有最小值，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】因為函數在上單調遞減，所以

3、對于一切恒成立，得，又因為在區間上既有最大值，又有最小值，所以，可知在上有零點，也就是極值點，即有解，在上解得，可得，故選C4函數是上的單調函數，則的范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】若函數是上的單調函數，只需恒成立，即，故選C5遇見你的那一刻，我的心電圖就如函數的圖象大致為（ ）ABCD【答案】A【解析】由，其定義域為，即，則函數為奇函數，故排除C、D，則函數在定義域內單調遞減，排除B，故選A6函數在內存在極值點，則（ ）ABC或D或【答案】A【解析】若函數在無極值點，則或在恒成立當在恒成立時，時，得；時，得；當在恒成立時，則且，得；綜上，無極值時或在在存在極值故選A7已知，若函數在區間

4、上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）A或B或C或D或【答案】D【解析】因為，函數在區間上單調遞減，所以在區間上恒成立，只需，即解得或，故選D8函數在定義域內可導，其圖像如圖所示記的導函數為，則不等式的解集為（ ）ABCD【答案】A【解析】由圖象知和上遞減，因此的解集為故選A9設函數，則（ ）A在區間，內均有零點B在區間，內均無零點C在區間內有零點，在區間內無零點D在區間內無零點，在區間內有零點【答案】D【解析】的定義域為，在單調遞減，單調遞增，當在區間上時，在其上單調，故在區間上無零點，當在區間上時，在其上單調，故在區間上有零點故選D10若函數既有極大值又有極小值，則實數的取值范圍為（ ）AB

5、C或D或【答案】D【解析】，函數既有極大值又有極小值，有兩個不等的實數根，則或，故選D11已知函數的兩個極值點分別在與內，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數，求導，的兩個極值點分別在區間與內，由的兩個根分別在區間與內，令，轉化為在約束條件為時，求的取值范圍，可行域如下陰影（不包括邊界），目標函數轉化為，由圖可知，在處取得最大值，在處取得最小值，可行域不包含邊界，的取值范圍本題選擇A選項12設函數在區間上的導函數為，在區間上的導函數為，若在區間上，則稱函數在區間上為“凹函數”，已知在區間上為“凹函數”，則實數的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】，函數在區間上為“凹函數”

6、，在上恒成立，即在上恒成立在上為單調增函數，故選D二、填空題13函數在區間上的最大值是_【答案】8【解析】，已知，當或時，在該區間是增函數，當時，在該區間是減函數，故函數在處取極大值，又，故的最大值是814若函數在，上都是單調增函數，則實數的取值集合是_【答案】【解析】，函數在，上都是單調增函數，則，即，解得，即，解得，則實數的取值集合是，故答案為15函數在內不存在極值點，則的取值范圍是_【答案】或【解析】函數在內不存在極值點在內單調函數或在內恒成立，由在內恒成立，即，同理可得，故答案為或16已知函數， 當時，有最大值； 對于任意的，函數是上的增函數； 對于任意的，函數一定存在最小值； 對于任

7、意的，都有其中正確結論的序號是_（寫出所有正確結論的序號）【答案】【解析】由函數的解析式可得：，當時，單調遞增，且，據此可知當時，單調遞增，函數沒有最大值，說法錯誤；當時，函數，均為單調遞增函數，則函數是上的增函數，說法正確；當時，單調遞增，且，且當，據此可知存在，在區間上，單調遞減；在區間上，單調遞增；函數在處取得最小值，說法正確；當時，由于，故，說法錯誤；綜上可得：正確結論的序號是三、解答題17已知函數（1）討論函數在上的單調性；（2）證明：恒成立【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）見解析【解析】（1），當時，恒成立，所以，在上單調遞增；當時，令，得到

8、，所以，當時，單調遞增，當時，單調遞減綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減（2）證法一：由（1）可知，當時，特別地，取，有，即，所以（當且僅當時等號成立），因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可，設 ，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增所以，當時，即在上恒成立因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，所以有恒成立證法二：記函數，則，可知在上單調遞增，又由，知，在上有唯一實根，且，則，即（*），當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以，結合（*）式，知，所以，則，即，所以有恒成立18已知函數，其導函數為（1）當時，若函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍；（2）設，點是曲線上的一個定點，是否存在實數使得成立？并證明你的結論【答案】（1）或；（2）不存在，見解析【解析】（1）當時，由題意得，即，令，則，解得，當