1、培優點十八 幾何概型1.長度類幾何概型例1：已知函數，在定義域內任取一點，使的概率是（ ）ABCD 【答案】C【解析】先解出時的取值范圍：，從而在數軸上區間長度占區間長度的比例即為事件發生的概率，故選C2面積類幾何概型（1）圖形類幾何概型例2-1：如圖所示，在矩形中，圖中陰影部分是以為直徑的半圓，現在向矩形內隨機撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計），根據你所學的概率統計知識，下列四個選項中最有可能落在陰影部分內的豆子數目是（ ）A1000B2000C3000D4000【答案】C【解析】在矩形中，面積為，半圓的面積為，故由幾何概型可知，半圓所占比例為，隨機撒4000粒豆子，落在陰影部分內的豆子

2、數目大約為3000，故選C（2）線性規劃類幾何概型例2-2：甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時，假定他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率（ ）ABCD【答案】D【解析】設甲船到達的時間為，乙船到達的時間為，則所有基本事件構成的區域滿足，這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待包含的基本事件構成的區域滿足，作出對應的平面區域如圖所示：這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率為，故選D3體積類幾何概型例3：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點，一只蝴蝶在幾何體內自由飛翔，由它飛入幾何體內的概率為（ ）ABCD【答案】D【解析】所求概率為棱錐的體

3、積與棱柱體積的比值由三視圖可得，且，兩兩垂直，可得，棱錐體積，而，從而故選D對點增分集訓一、單選題1如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區域內的概率為則陰影區域的面積約為（ ）ABCD無法計算【答案】C【解析】設陰影區域的面積為，故選C2某景區在開放時間內，每個整點時會有一趟觀光車從景區入口發車，某人上午到達景區入口，準備乘坐觀光車，則他等待時間不多于10分鐘的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意，此人在50分到整點之間的10分鐘內到達，等待時間不多于10分鐘，概率故選B3一只螞蟻在邊長為4的正三角形區域內隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于2的區

4、域內的概率為（ ）ABCD 【答案】A【解析】滿足條件的正三角形如圖所示：其中正三角形的面積滿足到正三角形的頂點，的距離都小于2的平面區域如圖中陰影部分所示，則，則使取到的點到三個頂點，的距離都大于2的概率為：故選A4在區間上隨機取兩個數，記為事件的概率，則（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖所示，表示的平面區域為，平面區域內滿足的部分為陰影部分的區域，其中，結合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值為，故選D5在區間上隨機取一個數，的值介于0到之間的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得，或，或，記的值介于0到之間，則構成事件的區域長度為；全部結果的區域長度為2；，故選A6點在邊長為1的

5、正方形內運動，則動點到定點的距離的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】滿足條件的正方形，如圖所示：其中滿足動點到定點的距離的平面區域如圖中陰影部分所示，則正方形的面積，陰影部分的面積故動點到定點的距離的概率故選C7已知實數，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率為 （ ）ABCD【答案】B【解析】設實數，經過第一次循環得到，；經過第二次循環得到，；經過第三次循環得到，此時輸出，輸出的值為，令得，由幾何概型概率得到輸出的不小于103的概率為，故選B8九章算術中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問其內切圓的

6、直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得，內切圓的面積為，豆子落在其內切圓外部的概率是，故選C9把不超過實數的最大整數記為，則函數稱作取整函數，又叫高斯函數，在上任取，則的概率為（ ）ABCD【答案】D【解析】當時，則，滿足；當時，則，滿足；當時，則不滿足；當時，則，不滿足綜上，滿足的，則的概率為，故選D10關于圓周率，數學發展史上出現過許多有創意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個，都小于1的正實

7、數對，再統計其中x，y能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數，最后根據統計個數估計的值如果統計結果是，那么可以估計的值為（ ）ABCD【答案】B【解析】 由題意，120對都小于1的正實數，滿足，面積為1，兩個數能與1構成鈍角三角形的三邊的數對，滿足且，面積為，統計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數為，則，故選B11為了節省材料，某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形，這個曲邊三角形稱作“菜洛三角形”現有一顆質量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內，則彈珠恰好落在三角形內的概率為（ ）ABCD【答案】A【解析】彈珠落

8、在萊洛三角形內的每一個位置是等可能的，由幾何概型的概率計算公式可知所求概率：，(為萊洛三角形的面積），故選A12下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，的三邊所圍成的區域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為，則（ ）ABCD【答案】A【解析】設，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為，其余部分的面積為，有，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A二、填空題13在區間內任取一個實數，則使函數在上為減函數的概率是_【答案】【解析】函數在上為減函數

9、，因此所求概率為14記集合，集合表示的平面區域分別為，若在區域內任取一點，則點落在區域中的概率為_【答案】【解析】畫出表示的區域，即圖中以原點為圓心，半徑為2的圓；集合表示的區域，即圖中的陰影部分由題意可得，根據幾何概型概率公式可得所求概率為15任取兩個小于1的正數、，若、1能作為三角形的三條邊長，則它們能構成鈍角三角形三條邊長的概率是_【答案】【解析】根據題意可得，三邊可以構成三角形的條件為：這三個邊正好是鈍角三角形的三個邊，應滿足以下條件：，對應的區域如圖，由圓面積的為，直線和區域圍成的三角形面積是，則、1能作為三角形的三條邊長，則它們能構成鈍角三角形三條邊長的概率故答案為16父親節小明給爸爸從網上購買了一雙運動鞋，就在父親節的當天，快遞公司給小明打電話話說鞋子已經到達快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達時間為晚上6點到7點之間，小明的爸爸晚上5點下班之后需要坐公共汽車回家，到家的時間在晚上5點半到6點半之間求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快遞員把鞋子送到小明家的時候，會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中）為_【答案】【解析】設爸爸到家時間為，快遞員到達時間為，以橫