1、平面向量常見題型突破【例1】就口圖，D, E,考向一平面向量的線性運算F分別是 ABC的邊AB, BC, CA的中點，則().審題視點利用平面向量的線性運算并結合圖形可求.A. AD + BE+ CF = 0B.C.AD + CE CF = 0 一B.BD-CF+DF = 0D.B D-B E-F C =0解：. Ab+Bc+Ca=0,2AD+2B1 + 2cF = 0即Ab+B!+cF = 0. a方法總結：三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量，和 用平行四邊形法則，差用三角形法則.變式練習:)1.在 4ABC 中，AB=c, AC=b,若點 D 滿足 BD =

2、2DC,則 Ab=(A.|b+1cB.5c- 2b333312D.-b+-c33解：. BD= 2DC ,AD - AB= 2(AC - AD),3AD = 2AC+AB- Ad = |Ao+ 1AB= Ib+c.FH auur uuur uuur . uuu2.在ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD 2DB CD CA3uuuCB則等于(A. 3uiru 解：CDb.3 uuu uuru CB BDC. 3 uuu uuu CB DBD. 3 uuu uuru uu uu uu CB 1AB CB 1(CB CA) 333.在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CDBCuUU UU 1CA

3、 2CB. 33uuur的中點，或ACuuurAEuuinAF其中R,則uur解析：設BCuuuuuurb,BA a,則 AF2b-a,uuinAE2a，uuurAC= b-a.uuuuuuuuu4.設P是ABC所在平面內的一點,BC+ BA =2 BP,(uuu uunuuu uuuuun uuuuuuuuuuuuA. PA + PB =0 B. PC + PA =0 C.PB + PC =0 D. PA + PB + PC =0uuurOC0,那么(解析：因為Buu + Ba =2 Bp，所以點p為線段ac的中點，所以應該選b.uuu uuu6.已知O是ABC所在平面內一點，D為BC邊中點

4、，且2OA OBuuur uuurA. AO ODuuur uuurB. AO 2ODuuurC.AOuuur3ODunrD.2AOuuurODuur解析： OBunrODuuu DBuuurOCuuurODuuir uurDC 且 DBuuur DCuuu uur. 2OA OBunrOC0.uuu2OAuuirODuuurDBuuirODuuur DCuuu0,即 AOuuurOD .7.已知AD是 ABCuuur的中線，ADuuuABunrAC(R）,那么uuuruuiruuuruuir解：AD = AB + BD = ABuuir2BCuuir =ABuuur uum2(AC-ABuu

5、u1 AB 2uuirbC.考向二：平面向量基本定理的應用【例1】?（2012南京質檢）如圖所示，在4ABC中，H為BC上異于B, CAH的中點，若aM= AB+瓜C,則入+產解析由B, H, C三點共線，可令 AH=xAB+(1x)AC,又M是AH的所以 AM = 2,AH = xAB + (1 x)AC,又 AM = ?AB+ 隱C.所以答案的任一點，M為入+ 產-x + 2(1 -x)=-.方法總結：應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用.當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.變式練習：._-

6、. 一. .f1.如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.若AD = xAB+yAC,貝U x=, y =.解析 以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系如圖，令 AB=2,則 AB= (2,0), A0= (0,2),過 D 作 DF，AB 交 AB 的延長線于F,由已知得DF =bf=V3,則aD=(2+V3, V3).廠 廠. 2 + V3= 2x,. AD = xAB+yAC,(2 + 3, 3)=(2x,2y),即有V3=2y,解得x= 1+興23 y= 2 .另解：aD=aF + fD= 1+$aB+當品,所以x=1+乎,竟.考向三求兩平面向量的數量積 例：（2011合

7、肥*II擬）在4ABC中，M是BC的中點，|疝|= 1 ,京=2疝，則扇（尾+命）解：如圖，因 M是BC的中點，故PB + PC = 2pM ,以及解三角形等49.又AP = 2PM , |AM|= 1,所以 PA （晶+ PC）= PA 2PM = - 4|PM|2=_ 1|aM|2=_ *,故填 99方法總結：當向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要根據向量加減法運算的幾何法則進行轉化，把題目中未知的向量用已知的向 量表示出來，在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、 知識.變式練習:1.如圖，在菱形 ABCD中，若 AC=4,貝UCAAB =解析 AB=AO+OB,故CA

8、AB=CA （AO+OB）=CA AO+CA OB.而f 1 f,工 T T 1 c 一AO = CA, CA工OB.所以CAAB=-2CA2= - 8.2.如圖，在 ABC中ADuuur _AB BC . 3uuir uuiruuurBD,|AD |=1，則 ACuuurAD等于（A. 2 3B.C.D. 3解uuuACuuuACunr uuur uuurAD =| AC | | AD |cos|sin BAC =|DACuuiuBCuuur|AC|sinB=|cos DACuuu BC |uUUrBDJ3| Buu | -uu-3 .BD例：（2011湖南）在邊長為1的正三角形ABC中，設

9、BC=2Bd , Ca=3Ce,貝uADb|=解：由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底Ab, Ac,結合圖形可得 Ad=4（Ab+Ao）, ebe = Ae-Ab=?Ac-Ab, 23Ad be =2（ab+ac） |ac-ab 2於舌啟一頻 awwc 1-1cos 60 = 4.答案4變式練習：1. （2011 天津）已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, /ADC = 90, AD = 2, BC = 1, P 是腰 DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為.嘗試解析以D為原點，分別以 DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設 DC = a, DP = x./. D(

10、0,0), A(2,0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), RA=(2, -x), PB= (1, a-x),PA+ 3PB=(5,3a-4x), |PA+ 3PB|2= 25+(3a 4x)2+25, . |RA+3PB|的最小值為5.答案 5*考向四平面向量在平面幾何中的應用例：平面上O, A, B三點不共線，設OA=a, OB=b,則 OAB的面積等 石扃于().A.Ma|2|b|2- ab2 B.|a|2|b|2+ ab2C.2/|a|2|b|2- a b 2D.1J|a|2|b|2+ a b 2解析 cos/ BOA = -a-b.則 sin/BOA= /1一7

11、2, |a|b|a| |b|利用|a|可以求線段的SaOAB = *a|b| Aj1_2 = 1V|a|2|b|2_ a b2.答案C方法總結：平面向量的數量積是解決平面幾何中相關問題的有力工具:長度，利用cos 0= TaTb。為a與b的夾角)可以求角，利用 a b=0可以證明垂直，利用 a = 1a|b|4(bw0)可以判定平行.變式練習：1.設a, b, c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，ac,|a|=|c|,則|b c|的值一定等于().A.以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積B.以b, c為鄰邊的平行四邊形的面積C.以a, b為兩邊的三角形的面積D.以b

12、, c為兩邊的三角形的面積解析 |b c|= |b|c11cos 0|,如圖，.1 ac,，|b|cos q就是以 a, b 為鄰邊的平行四邊形的高h,而|a|= |c|,，|b c|= |a|(|b|cos。|),.|bc|表示以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積.A 一，一 AB AC 一 一 AB AC 1 一2. ABC中，已知向量AB與AC滿足 =+ BC = 0且下丁 = g,則 ABC為().A.等邊三角形B .直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形黑AB AC fAB AC 1解析由二B 十 一7 BC=0知4ABC為等腰三角形，AB=AC.由甘亭二：知，AB

13、, AC= 60,所以 ABC為等邊三角形，故選 A.一f 13.平面上有四個互異點 A、B、C、D,若(DB + DC 2DA) (ABAC)=0,則 ABC的形狀是().A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形D.無法確定解析 由(DB + DC 2DA) (ABAC)=0,得(DB DA) + (DC DA (ABAC)= 0,所以(AB+aC) (aB AC) = 0.所以 |aB|2一|aC|2=0,|AB|= |AC|,故 ABC是等腰三角形.4.已知ABC和點M滿足uuir uuirMA MBuuuu MC若存在實數uuu m使得ABuuirACuuur mAM立，則m

14、=()uur解：由ABuurACA. 2 uuuuB. uuumAM ，知 MB3uiru MAC.uuuu MC4uuru MAD. 5 uuu mMA所以(munruuu2)MA + MBuuuuMCr0,uuuu5.已知O, A,M ,B為平面上四點，且 OMuuuOBA .點M在線段AB上解：根據題意知BM上 uuuu uuu OM OBB.點B在線段D. O、A、M、uuu(1 )OA ,AM上B四點共線(1,2),則(uur uuuOA OAuur(OBuuu uuu uuuu uuuOA) OA,則 OM OAuuu (OBuurOA),uuur uuuAM AB.由(1,2)判

15、斷出點M在線段AB的延長線上，即點 B在線段AM上;6. O是平面上uuurOPuurOA，定點，uur AB uuu-A,B,C是平面上不共線的P滿足sin B | AB |uuirACuuunsin C | AC |0,)則P的軌跡一定通過ABC的解：過A作AHB.內心 C.重心BC于H點，取BC中點DD.垂心uuruuurnur由題意知 sin B|AB |=sinC | AC | = | AH |,uur uuuOP OA =uurABuuu-sin B | AB |uuirACuuunsinC | AC |unr 即APuuu uuir AB AC utur-,|AH |uur uu

16、ruuuruur(晶|ah |uur又因AB AC=2AD,得 APuur uuu), |AH |2 uuur uuur AD|AH |所以P的軌跡一定通過ABC的重心.7.如圖，半圓的直徑 AB 4,。為圓心，C是圓弧上不同于A, B的任意一點，若P為半徑OC上的動點， uuu uuu uuu則(PA PB) PC的最小值是uuu uuu uuu 解：(PA PB) PCuuir uur2PO PCuuur uuir2 PO PC uur等號在POuuurPC ,即P為OC的中點時成立.28.2012江蘇卷如圖在矩形 ABCD中，AB = V2, BC= 2,點E為BC的中點，點F在邊CD

17、上，若屆第=啦，則AEbF的值是.解析本題考查幾何圖形中的向量的數量積的求解，解題突破口為合理建立平面直角坐標系，確定點F的位置.以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則茹=(#, 0).設AF = (x,2),則由條件得 R二率,得x= 1,從而 F(1,2), AE=(y2, 1), Bf=(1-72, 2),于是 AIbF = W.，一，, ，一，一，一，一，,一一， 一一，7 79. 2012湖南卷如圖在平行四邊形 ABCD中，APXBD,垂足為P,且AP=3,則APAC =解析本題考查平面向量的數量積和向量的表示，意在考查考生對數量積的掌握和向量相 互轉化能力；具體

18、的解題思路和過程：把未知向量用已知向量來表示. a AP AC = AP (DB + 2BC) = 2AP BC= 2AP AD = 2|AP| |AP|= 18.易錯點本題易錯一：找不到已知向量，無法把未知向量用已知向量表示；易錯二：不會轉化ad = bc,把向量放到同一個直角三角形中；易錯三：發現不了aD在向量AP上的射影等于|Ap|.10.給出以下命題非零向量 a,b滿足a b,則|a b|a b|將y函數為yr r0 ,是a, b的夾角為銳角的充要條件;lg(x 1)函數的圖像向左平移1個單位，得到的圖像對應的ig x ；在 ABC中，若unr uiur uuuu(AB AC) (ABuuurAC) 0,則 ABC為等腰三角形;其中正確的命題有(只填正確命題的序號)D11.已知函數f (x) 3sin2x cos2x 1,(x R) ( I)當 x5 一,時，求函數f (x)取 12 12小值和最大值；(n )設 ABC的內角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且 c V3, f (C) 0,若向量 m (1,sinA)與向量n(2,si